Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Temel)
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!+(n−1)!(n−1)!=n2−19 \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = n^2 - 19
eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.
Verilen eşitlikte sol taraf faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirildiğinde n+1n+1 ifadesi elde edilir. Bu ifade n2−19n^2 - 19 ifadesine eşitlendiğinde n2−n−20=0n^2 - n - 20 = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki kesirli ifadeyi sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−1)!=n⋅(n−1)!+(n−1)!(n−1)! \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)! + (n-1)!}{(n-1)!}
Faktöriyel tanımı gereği n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! şeklinde yazılabilir.
2
Pay kısmını (n−1)!(n-1)! ortak parantezine alıp sadeleştirme yapın.
(n−1)!⋅(n+1)(n−1)!=n+1 \frac{(n-1)! \cdot (n + 1)}{(n-1)!} = n + 1
Pay ve paydadaki (n−1)!(n-1)! çarpanları birbirini götürür.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeyi denklemde yerine yazıp ikinci dereceden denklemi kurun.
n+1=n2−19⇒n2−n−20=0 n + 1 = n^2 - 19 \Rightarrow n^2 - n - 20 = 0
Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek tüm terimler bir tarafa toplanır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.
(n−5)(n+4)=0 (n - 5)(n + 4) = 0
Çarpımları -20, toplamları -1 olan sayılar -5 ve +4'tür.
5
Uygun n değerini belirleyin.
n=5n = 5 veya n=−4n = -4. Ancak nn pozitif tam sayı olduğu için sonuç 55'tir.
Negatif sayıların faktöriyel tanımı doğal sayılar kümesinde geçerli değildir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denkleme dönüştürülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru