Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)
mm ve nn birer doğal sayı olmak üzere,
m!n!=120 \frac{m!}{n!} = 120
eşitliğini sağlayan kaç farklı (m,n)(m, n) sıralı ikilisi vardır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. 4Cevap
  5. E
    5

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı (m,n)(m, n) sıralı ikilisi vardır.
Verilen eşitlik m!n!=120\frac{m!}{n!} = 120 şeklinde olup, bu ifade n+1n+1'den mm'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu belirtir. 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
1. 120120 (Tek terim) →m=120,n=119\rightarrow m=120, n=119
2. 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 (Üç terim) →m=6,n=3\rightarrow m=6, n=3
3. 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 (Dört terim) →m=5,n=1\rightarrow m=5, n=1
4. 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 (Beş terim) →m=5,n=0\rightarrow m=5, n=0

Bu durumlara karşılık gelen (m,n)(m, n) ikilileri (120,119),(6,3),(5,1)(120, 119), (6, 3), (5, 1) ve (5,0)(5, 0) olmak üzere toplam 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin anlamını analiz et
m!n!=120\frac{m!}{n!} = 120 ifadesi, n!n!'den sonra gelen ve mm'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir. Yani m(m−1)...(n+1)=120m(m-1)...(n+1) = 120 olmalıdır.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık sayıların çarpımı kalır.
2
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazma durumlarını incele (Tek terim)
Sadece bir sayı varsa: 120120. Bu durumda m=120m=120 ve sadeleşen kısım n=119n=119 olur. İkili: (120,119)(120, 119).
Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.
3
Ardışık iki veya üç sayının çarpımı durumlarını incele
İki sayı: x(x−1)=120x(x-1)=120 →\rightarrow Tam sayı çözüm yok (11⋅10=11011 \cdot 10 = 110, 12⋅11=13212 \cdot 11 = 132).
Üç sayı: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Bu durumda en büyük sayı m=6m=6, çarpıma girmeyen en büyük sayı n=3n=3 olur. İkili: (6,3)(6, 3).
120 sayısının çarpanlarını kontrol ederek ardışık dizilimler aranır.
4
Ardışık dört ve beş sayının çarpımı durumlarını incele
Dört sayı: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. Burada m=5m=5, n=1n=1 olur. İkili: (5,1)(5, 1).
Beş sayı: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Burada m=5m=5, n=0n=0 olur (0!=10! = 1). İkili: (5,0)(5, 0).
1 çarpanı sonucu değiştirmediği için n=1n=1 ve n=0n=0 durumları ayrı ayrı çözüm üretir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

İpuçları

1
m!n!\frac{m!}{n!} ifadesi, mm'den geriye doğru nn'ye kadar olan sayıların çarpımı demektir (n hariç).
2
120 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.
3
Çarpanların sonuna 1 eklemek sonucu değiştirmez ancak n değerini değiştirir (1!=11! = 1 ve 0!=10! = 1).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x!y!=24\frac{x!}{y!} = 24 eşitliğini sağlayan ikilileri bulunuz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru