Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
n!+(n−1)!(n−1)!+(n−2)!=356 \frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! + (n-2)!} = \frac{35}{6}
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, (n−2)!(n-2)! ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. 24Cevap
  3. C
    120
  4. D
    720
  5. E
    5040

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6 olduğundan, (n-2)! = 24 sonucuna ulaşılır.
Verilen eşitlikte pay (n-1)! parantezine, payda ise (n-2)! parantezine alındığında ifade n−1/n=35/6 n - 1/n = 35/6 haline gelir. Buradan n=6 bulunur. İstenen değer (6-2)! = 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak sadeleştirme işlemi başlatılır.
Pay: (n-1)!(n + 1), Payda: (n-2)!(n-1 + 1) = (n-2)!n
Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin çarpım durumuna getirilmesi gerekir.
2
Elde edilen kesirli ifadeyi düzenleyerek denklemi n cinsinden yazılır.
(n−1)!(n+1)(n−2)!n=(n−1)n+1n=n2−1n=n−1n \frac{(n-1)!(n+1)}{(n-2)!n} = (n-1)\frac{n+1}{n} = \frac{n^2-1}{n} = n - \frac{1}{n}
(n-1)! / (n-2)! ifadesi (n-1)'e eşittir.
3
Denklem çözülerek n değeri bulunur.
n−1n=356⇒n−1n=6−16⇒n=6 n - \frac{1}{n} = \frac{35}{6} \Rightarrow n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6} \Rightarrow n=6
Denklemin yapısı incelendiğinde n=6 olduğu görülür (veya 6n² - 35n - 6 = 0 denklemi çözülür).
4
Bulunan n değeri kullanılarak istenen (n-2)! değeri hesaplanır.
(6−2)!=4!=24 (6-2)! = 4! = 24
Soruda n değil, (n-2)! sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürme

İpuçları

1
Pay kısmını (n−1)!(n-1)!, payda kısmını (n−2)!(n-2)! parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
İfade sadeleştiğinde n2−1n \frac{n^2-1}{n} veya n−1n n - \frac{1}{n} biçiminde bir denklem elde edeceksiniz.
3
n−1n=6−16 n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6} benzerliğini kullanarak n değerini doğrudan görebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

n! = A * B! formatındaki sadeleştirme sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem çözümü yerine şıklardan gitmek mümkün olmasa da, n için tam sayı değerleri (4, 5, 6...) denklemde yerine koyularak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru