Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Temel)
nn pozitif bir tam sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!+n!(n+2)!−(n+1)!−n!=75 \frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{7}{5}
eşitliğini sağlayan nn sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.
Verilen eşitlikte pay ve paydadaki terimler n!n! parantezine alındığında, pay kısmı (n+2)2(n+2)^2, payda kısmı ise n(n+2)n(n+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ifade n+2n\frac{n+2}{n} haline gelir. Bu ifade 7/57/5'e eşitlendiğinde, içler dışlar çarpımı sonucunda n=5n=5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin pay ve paydasındaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n!n! parantezine alalım.
Pay: n![(n+2)(n+1)+(n+1)+1]n![(n+2)(n+1) + (n+1) + 1], Payda: n![(n+2)(n+1)−(n+1)−1]n![(n+2)(n+1) - (n+1) - 1]
Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak paranteze alınmalıdır.
2
Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenleyelim.
Pay: n!(n2+3n+2+n+1+1)=n!(n2+4n+4)n!(n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1) = n!(n^2 + 4n + 4), Payda: n!(n2+3n+2−n−1−1)=n!(n2+2n)n!(n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1) = n!(n^2 + 2n)
Çarpanlara ayırma işlemini görebilmek için ifadelerin açık halleri yazılıp toparlanmalıdır.
3
Elde edilen ifadeleri çarpanlarına ayıralım ve sadeleştirelim.
n!(n+2)2n!⋅n(n+2)=n+2n \frac{n!(n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}
n2+4n+4n^2+4n+4 tam kare ifadedir ve (n+2)2(n+2)^2'ye eşittir; paydadaki ifade ise n(n+2)n(n+2) parantezine alınır.
4
Sadeleşmiş hali verilen değere eşitleyip denklemi çözelim.
n+2n=75⇒5(n+2)=7n⇒5n+10=7n⇒2n=10⇒n=5 \frac{n+2}{n} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5(n+2) = 7n \Rightarrow 5n + 10 = 7n \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5
Tek bilinmeyenli basit denklemin çözümü ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde dört işlem yaparken, terimler en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

İpuçları

1
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için, tüm terimleri ifadedeki en küçük faktöriyel cinsinden yazıp ortak paranteze almalısınız.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru