\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{6} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} \nişleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{6} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{6} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

İşlemin sonucu 2'dir.

Verilen işlemde ilk kesrin paydası

(1+\sqrt{2}) + \sqrt{3}

şeklinde gruplandırılıp

(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}

ile çarpıldığında

√2 + 2 - √6

ifadesi elde edilir. İkinci kesir ise

a^3-b^3

açılımı kullanılarak rasyonel hale getirildiğinde

\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}

sonucuna ulaşılır. Tüm terimler toplandığında irrasyonel ifadeler birbirini yok eder ve geriye sadece 2 kalır.

İlk kesrin paydasını eşleniği ile çarparak rasyonel hale getirmek.

\frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - 3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{1+2+2\sqrt{2}-3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}

Üç terimli paydalarda gruplandırma yapılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

Küpkök içeren ikinci kesrin paydasını rasyonel hale getirmek.

\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{3-2} = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

özdeşliğinden faydalanarak paydayı kökten kurtarmak gerekir.

Bulunan ifadeleri ana denklemde yerine koyarak sadeleştirme yapmak.

(\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}) + \sqrt{6} - \sqrt{2} + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2} = 2

Zıt işaretli köklü terimlerin toplamı sıfıra eşit olduğu için sadece tam sayı olan terim kalır.

Köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması (eşlenik) ve küp açılımı özdeşliklerinin kullanımı.