Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣AC∣=15|AC| = 15 cm olarak verilmiştir. m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, BCBC kenarına ait kenarortayın uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.
Soruda verilen kenarortay uzunluğu xx olsun. Kenarortay teoremi gereği xx değeri ∣b−c∣2<x<b+c2\frac{|b-c|}{2} < x < \frac{b+c}{2} aralığındadır; yani 3,5<x<11,53,5 < x < 11,5. Ancak m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ şartı verildiğinden, kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısa olmalıdır. Dik üçgen olsaydı hipotenüs 1717 ve kenarortay 8,58,5 olurdu. Geniş açıda x<8,5x < 8,5 olmalıdır. Bu iki şartın kesişimi 3,5<x<8,53,5 < x < 8,5 aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8 olmak üzere toplam 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğu (VaV_a) için genel sınırları belirle.
∣15−8∣2<Va<15+82⇒3,5<Va<11,5\frac{|15-8|}{2} < V_a < \frac{15+8}{2} \Rightarrow 3,5 < V_a < 11,5
Bir üçgende bir kenara ait kenarortay, diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının mutlak değerinin yarısından büyüktür.
2
m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ şartının kenarortay üzerindeki etkisini incele.
Va<82+1522⇒Va<172=8,5V_a < \frac{\sqrt{8^2 + 15^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{17}{2} = 8,5
A açısı 90∘90^\circ olsaydı Va=a2=8,5V_a = \frac{a}{2} = 8,5 olurdu. A açısı büyüdükçe (>90∘>90^\circ) karşı kenar (aa) uzar, ancak kenarortay (VaV_a) kısalır.
3
Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve tam sayıları say.
3,5<Va<8,53,5 < V_a < 8,5 aralığındaki tam sayılar: {4,5,6,7,8}\{4, 5, 6, 7, 8\} (Toplam 5 adet)
Her iki koşulu da (genel üçgen olma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi

İpuçları

1
Bir üçgende kenarortay uzunluğu (VaV_a), diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının yarısından büyüktür.
2
Eğer m(A^)=90∘m(\widehat{A}) = 90^\circ olsaydı, muhteşem üçlü gereği kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olurdu (8-15-17 üçgenini hatırla).
3
Açının 90∘90^\circ'den büyük olması (geniş açı), karşısındaki kenarı uzatırken, o köşeden çıkan kenarortayı kısaltır. Yani Va<Hipotenu¨s/2V_a < \text{Hipotenüs}/2 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu m(A^)<90∘m(\widehat{A}) < 90^\circ (dar açı) şartıyla çözerek kenarortayın alt sınırının nasıl değiştiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Kenarortayı xx kadar dışarı uzatarak bir paralelkenar oluşturulabilir. Kenarları 8 ve 15 olan bu paralelkenarın bir köşegeni 2x2x olur. Geniş açının bütünleri dar açı olacağından, oluşan üçgende 2x2x gören açı <90∘<90^\circ olur. Buradan (2x)2<82+152(2x)^2 < 8^2 + 15^2 eşitsizliği kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru