Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣AC∣=12|AC| = 12 cm olan ABCABC üçgeninde, AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen kenarortay uzunluğu ∣AD∣=x|AD| = x cm'dir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğuna göre, xx tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    17
  2. 25Cevap
  3. C
    33
  4. D
    42
  5. E
    60

Cevap

Kenarortay uzunluğunun alabileceği değerler toplamı 25'tir.
Doğru cevap, hem temel üçgen eşitsizliğini (2<x<102 < x < 10) hem de geniş açı kısıtlamasını (x2<52x^2 < 52) sağlayan tam sayıların (3, 4, 5, 6, 7) toplamıdır. Geniş açı şartı, kenarortayın uzunluğunu sınırlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğunu analiz etmek için üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemini uygula.
ADAD kenarortayını kendi uzunluğu kadar (xx) uzatıp EE noktası elde edilir. ABECABEC bir paralelkenar olur.
Bu yöntem, kenarortay uzunluğunu (xx) bir üçgenin kenarı haline getirerek (2x2x) hesaplamayı kolaylaştırır.
2
Oluşan ACEACE üçgeninde kenar uzunluklarını ve üçgen eşitsizliğini belirle.
ACEACE üçgeninin kenarları 1212, 88 ve 2x2x olur. Üçgen eşitsizliğinden: 12−8<2x<12+8⇒4<2x<20⇒2<x<1012-8 < 2x < 12+8 \Rightarrow 4 < 2x < 20 \Rightarrow 2 < x < 10.
Üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntıları sağlanmalıdır.
3
Açı koşulunun (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) kenarortay üzerindeki etkisini hesapla.
Paralelkenar özelliğinden, 2(AB2+AC2)=BC2+(2x)22(AB^2 + AC^2) = BC^2 + (2x)^2. AA açısı geniş olduğu için BC2>AB2+AC2BC^2 > AB^2 + AC^2 olur. Bu durumda kenarortay kısalır: x2<82+1224=2084=52x^2 < \frac{8^2 + 12^2}{4} = \frac{208}{4} = 52.
Geniş açı karşısındaki kenar uzarken, diğer köşegen (kenarortayın iki katı) kısalır.
4
Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve uygun tam sayıları topla.
x>2x > 2 ve x2<52x^2 < 52 (yani x≈7,2x \approx 7,2). Ortak çözüm: 2<x<522 < x < \sqrt{52}. Tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7. Toplam: 3+4+5+6+7=253+4+5+6+7 = 25.
Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açı genişledikçe karşısındaki kenar büyürken, o açıdan inen kenarortay kısalır. Kenarortay (VaV_a) ile kenarlar (b,cb, c) arasındaki ilişki: m(A^)>90∘⇒Va<b2+c22m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}.

İpuçları

1
ADAD kenarortayını, kendi uzunluğu kadar dışarıya doğru uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.
2
Oluşturduğunuz paralelkenarda kenarlar 8 ve 12 olacaktır. Köşegenin yarısı olan xx için üçgen eşitsizliğini yazın.
3
AA açısı 90∘90^\circ olsaydı x2=82+1224−a24x^2 = \frac{8^2 + 12^2}{4} - \frac{a^2}{4} formülü yerine, doğrudan 2x=b2+c22x = \sqrt{b^2+c^2} sınırını düşünün. Geniş açı olduğunda xx, 52\sqrt{52}'den küçük olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dar açı kısıtlaması ile çözerek farkı gözlemleyin.

Alternatif Yöntem

Kenarortay teoremi formülü üzerinden: 2x2+a22=b2+c22x^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2. Açı geniş olduğundan a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 olur. Bu eşitsizliği formülde yerine koyarak xx için üst sınırı bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru