Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları tamsayı olan bir ABCABC üçgeninde ∣AC∣=15|AC| = 15 cm'dir.

Üçgenin açıları arasında;
m(B^)>90∘m(\widehat{B}) > 90^\circ
m(C^)>m(A^)m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})
bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, ABCABC üçgeninin çevresinin santimetre cinsinden alabileceği en büyük ve en küçük tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    63
  2. B
    65
  3. 67Cevap
  4. D
    71
  5. E
    73

Cevap

Çevre değerlerinin toplamı 67 cm'dir.
Doğru çözümde üç koşulun kesişim kümesi alınmıştır: 1) Üçgen eşitsizliği (a+c>15a+c > 15), 2) Geniş açı şartı (a2+c2<225a^2+c^2 < 225), 3) Açı sıralaması (c>ac > a). Bu koşulları sağlayan en küçük kenar çifti (2,14)(2, 14) olup çevre 31 cm, en büyük kenar çifti (10,11)(10, 11) olup çevre 36 cm'dir. Toplamları 67'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri matematiksel eşitsizliklere dök.
Kenarlar a,b,ca, b, c olsun. ∣AC∣=b=15|AC|=b=15. m(B^)>90∘  ⟹  b2>a2+c2  ⟹  225>a2+c2m(\widehat{B}) > 90^\circ \implies b^2 > a^2 + c^2 \implies 225 > a^2 + c^2. m(C^)>m(A^)  ⟹  c>am(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \implies c > a.
Geniş açı kuralı ve büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanmalıdır.
2
Üçgen eşitsizliği kuralını uygula.
a+c>b  ⟹  a+c>15a+c > b \implies a+c > 15. Ayrıca ∣a−c∣<15|a-c| < 15 (bu a,ca,c pozitif ve a+c>15a+c>15 olduğu sürece sağlanır).
Bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenar toplamı üçüncüden büyük olmalıdır.
3
En küçük çevre değeri için a+ca+c toplamını minimize et.
a+c>15a+c > 15 olduğuna göre en küçük tamsayı toplam 16 olabilir. c>ac > a ve a2+c2<225a^2+c^2 < 225 şartını sağlayan, toplamı 16 olan tamsayılar aranır. a=2,c=14a=2, c=14 için 22+142=200<2252^2+14^2 = 200 < 225 sağlanır. Min Çevre = 15+16=3115 + 16 = 31.
Toplamı en küçük yaparken geniş açı şartının bozulmadığını kontrol etmek gerekir.
4
En büyük çevre değeri için a+ca+c toplamını maksimize et.
c<15c < 15 olmalıdır (çünkü b=15b=15 en uzun kenardır). En büyük c=14c=14 olabilir ama c>ac>a ve a2+c2<225a^2+c^2 < 225 sınırı aa'yı kısıtlar. Denemelerle: c=11,a=10c=11, a=10 çifti için 100+121=221<225100+121=221 < 225 sağlanır. Toplam a+c=21a+c=21. Max Çevre = 15+21=3615 + 21 = 36.
Kenarların kareleri toplamı 225'ten küçük kalacak şekilde en büyük sayı çifti seçilir.
5
Bulunan değerleri topla.
31+36=6731 + 36 = 67.
Soruda istenen sonuç.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Geniş Açı Kuralı

İpuçları

1
Geniş açılı bir üçgende, geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
2
∣AC∣=15|AC|=15 en büyük kenardır. Diğer kenarlar aa ve cc olsun. a2+c2<152a^2 + c^2 < 15^2 olmalıdır. Ayrıca üçgen oluşabilmesi için a+c>15a+c > 15 gereklidir.
3
En büyük çevre için a2+c2<225a^2+c^2 < 225 şartını sağlayan, birbirine en yakın ve toplamı en büyük a,ca, c tamsayılarını; en küçük çevre için ise toplamı 15'ten büyük en küçük a,ca, c tamsayılarını deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'dar açılı' şartıyla ve kenar uzunlukları değişken olan iki üçgenin birleşimi şeklinde sorunuz.

Alternatif Yöntem

Geometrik çizim yaparak, 15 cm'lik kenarı sabit tutup diğer kenarların oluşturduğu dik üçgen sınırını (çember yayı gibi) hayal edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru