Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|AB| = 5$ cm ve $|AC| = 8$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $BC$ kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

4

7

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 cm uzunluğu, verilen diğer iki kenarın toplamından büyük olduğu için bir üçgen oluşturamaz.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre

BC

kenarının uzunluğu,

|AB|

ve

|AC|

kenarlarının toplamından küçük olmalıdır (

BC < 5 + 8

). Yani

BC < 13

olmalıdır.

15

cm değeri

13

'ten büyük olduğu için bu kenar uzunluğuyla bir üçgen oluşturulamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.

|b - c| < a < b + c

Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

2

Verilen kenar uzunluklarını (

5

ve

8

) kullanarak sınırları belirle.

|8 - 5| < |BC| < 8 + 5

Üçüncü kenarın alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak gerekir.

3

Eşitsizliği sadeleştir.

3 < |BC| < 13

BC

kenarının uzunluğu

3

cm'den büyük ve

13

cm'den küçük olmalıdır.

4

Seçenekleri bu aralık (

3, 13

) ile karşılaştır.

15 > 13

olduğu için kurala uymaz.

15

cm değeri belirlenen üst sınır olan

13

cm'den büyük olduğu için bu kenar uzunluğuyla üçgen çizilemez.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.

İpuçları

1

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından her zaman daha kısa olmalıdır.

2

Verilen 5 cm ve 8 cm kenarlarını toplayarak

BC

kenarının aşamayacağı sınırı bulun.

3

BC

kenarı

5 + 8 = 13

cm'den küçük olmak zorundadır. Seçeneklerde bu sınırdan büyük olan değer cevaptır.

Daha Fazla Pratik

Üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmaya çalışarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 2Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarının uzunluğu 12 cm, $[AC]$ kenarının uzunluğu 18 cm'dir. $A$ açısının ölçüsünün $B$ açısının ölçüsünden daha büyük olduğu bilindiğine göre, $[BC]$ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaç santimetredir?

36

42

48

54

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 48 santimetredir.

Üçgen eşitsizliğine göre

[BC]

kenarı 6 ile 30 arasında olmalıdır. Ancak

A

açısının

B

açısından büyük olması,

A

'nın karşısındaki

BC

kenarının,

B

'nin karşısındaki 18 cm'lik kenardan daha uzun olmasını gerektirir (

|BC| > 18

). Bu durumda aralık

18 < |BC| < 30

olur. Alınabilecek en küçük tam sayı 19, en büyük tam sayı 29'dur. Toplamları ise 48'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|18 - 12| < |BC| < 18 + 12 \Rightarrow 6 < |BC| < 30

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntısını kullanarak sınırı daralt.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| > |AC| \Rightarrow |BC| > 18

Bir üçgende büyük açı karşısında daha uzun kenar bulunur.

3

İki koşulu birleştirerek tam sayı değer aralığını belirle.

18 < |BC| < 30

Hem üçgen eşitsizliği hem de açı koşulu aynı anda sağlanmalıdır.

4

En küçük ve en büyük tam sayı değerlerini topla.

En küçük: 19, En büyük: 29

\Rightarrow 19 + 29 = 48

İstenen değerlerin toplamı matematiksel olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ile açı ve kenar uzunlukları arasındaki doğru orantı ilişkisi.

İpuçları

1

Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.

2

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralını hatırlayın; hangi kenar 18 cm'den büyük olmalı?

3

|BC|

için bulduğunuz alt sınır 18, üst sınır ise 30'dur. Bu aralıktaki tam sayıları belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer sorularda 'geniş açı' veya 'dar açı' belirtilip belirtilmediğine dikkat ederek Pisagor bağıntısı ile sınırlandırma yapmayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|BC| = 7$ cm, $|AC| = (x+2)$ cm ve $|AB| = (2x-1)$ cm olarak verilmiştir.

m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})

olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

21

24

27

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Doğru cevap 30'dur.

Verilen açı sıralaması

m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})

olduğuna göre, karşılarındaki kenarlar da

|BC| < |AC| < |AB|

şeklinde sıralanmalıdır. Buradan

7 < x+2 < 2x-1

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

x > 5

bulunur. Ayrıca üçgen eşitsizliğine göre

7 + (x+2) > 2x-1

şartından

x < 10

elde edilir. İki şartın kesişimi olan

5 < x < 10

aralığındaki tam sayıların (6, 7, 8, 9) toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Açı ve kenar arasındaki ilişkiyi kurma

|BC| < |AC| < |AB|

yani

7 < x+2 < 2x-1

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

2

Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme

7 < x+2 \Rightarrow x > 5

ve

x+2 < 2x-1 \Rightarrow x > 3

. Ortak çözüm:

x > 5

.

Kenarlar arasındaki sıralamanın sağlanması için

x

değişkeninin alt sınırı belirlenmelidir.

3

Üçgen eşitsizliğini uygulama

(x+2) + 7 > 2x-1 \Rightarrow x+9 > 2x-1 \Rightarrow 10 > x

.

Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.

4

x

için uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama

5 < x < 10

aralığında

x = 6, 7, 8, 9

değerleri bulunur. Toplam:

6+7+8+9 = 30

.

Hem açı-kenar sıralamasını hem de üçgen eşitsizliğini sağlayan tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Üçgen Eşitsizliği

İpuçları

1

Üçgende en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur. Açıların sıralamasını kenarların sıralamasına dönüştürerek başlayın.

2

7 < x+2 < 2x-1

eşitsizliğini iki parça halinde çözerek

x

için bir alt sınır belirleyin.

3

Sadece kenar sıralaması yetmez; üçgenin çizilebilmesi için herhangi iki kenarın toplamının üçüncüden büyük olması gerektiğini (Üçgen Eşitsizliği) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'geniş açılı üçgen' şartı verildiğinde Pisagor bağıntısının eşitsizlik halini (a² + b² < c²) kullanmanız gerekecektir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Kenar uzunlukları tamsayı olan bir $ABC$ üçgeninde $|AC| = 15$ cm'dir.

Üçgenin açıları arasında;

m(\widehat{B}) > 90^\circ

m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin çevresinin santimetre cinsinden alabileceği en büyük ve en küçük tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

63

65

67

71

73

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Çevre değerlerinin toplamı 67 cm'dir.

Doğru çözümde üç koşulun kesişim kümesi alınmıştır: 1) Üçgen eşitsizliği (

a+c > 15

), 2) Geniş açı şartı (

a^2+c^2 < 225

), 3) Açı sıralaması (

c > a

). Bu koşulları sağlayan en küçük kenar çifti

(2, 14)

olup çevre 31 cm, en büyük kenar çifti

(10, 11)

olup çevre 36 cm'dir. Toplamları 67'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri matematiksel eşitsizliklere dök.

Kenarlar

a, b, c

olsun.

|AC|=b=15

.

m(\widehat{B}) > 90^\circ \implies b^2 > a^2 + c^2 \implies 225 > a^2 + c^2

.

m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \implies c > a

.

Geniş açı kuralı ve büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanmalıdır.

2

Üçgen eşitsizliği kuralını uygula.

a+c > b \implies a+c > 15

. Ayrıca

|a-c| < 15

(bu

a,c

pozitif ve

a+c>15

olduğu sürece sağlanır).

Bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenar toplamı üçüncüden büyük olmalıdır.

3

En küçük çevre değeri için

a+c

toplamını minimize et.

a+c > 15

olduğuna göre en küçük tamsayı toplam 16 olabilir.

c > a

ve

a^2+c^2 < 225

şartını sağlayan, toplamı 16 olan tamsayılar aranır.

a=2, c=14

için

2^2+14^2 = 200 < 225

sağlanır. Min Çevre =

15 + 16 = 31

.

Toplamı en küçük yaparken geniş açı şartının bozulmadığını kontrol etmek gerekir.

4

En büyük çevre değeri için

a+c

toplamını maksimize et.

c < 15

olmalıdır (çünkü

b=15

en uzun kenardır). En büyük

c=14

olabilir ama

c>a

ve

a^2+c^2 < 225

sınırı

a

'yı kısıtlar. Denemelerle:

c=11, a=10

çifti için

100+121=221 < 225

sağlanır. Toplam

a+c=21

. Max Çevre =

15 + 21 = 36

.

Kenarların kareleri toplamı 225'ten küçük kalacak şekilde en büyük sayı çifti seçilir.

5

Bulunan değerleri topla.

31 + 36 = 67

.

Soruda istenen sonuç.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Geniş Açı Kuralı

İpuçları

1

Geniş açılı bir üçgende, geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

2

|AC|=15

en büyük kenardır. Diğer kenarlar

a

ve

c

olsun.

a^2 + c^2 < 15^2

olmalıdır. Ayrıca üçgen oluşabilmesi için

a+c > 15

gereklidir.

3

En büyük çevre için

a^2+c^2 < 225

şartını sağlayan, birbirine en yakın ve toplamı en büyük

a, c

tamsayılarını; en küçük çevre için ise toplamı 15'ten büyük en küçük

a, c

tamsayılarını deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'dar açılı' şartıyla ve kenar uzunlukları değişken olan iki üçgenin birleşimi şeklinde sorunuz.

Alternatif Yöntem

Geometrik çizim yaparak, 15 cm'lik kenarı sabit tutup diğer kenarların oluşturduğu dik üçgen sınırını (çember yayı gibi) hayal edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

Kenar uzunlukları $|AB| = 8$ cm ve $|AC| = 12$ cm olan $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen kenarortay uzunluğu $|AD| = x$ cm'dir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $x$ tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

17

25

33

42

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Kenarortay uzunluğunun alabileceği değerler toplamı 25'tir.

Doğru cevap, hem temel üçgen eşitsizliğini (

2 < x < 10

) hem de geniş açı kısıtlamasını (

x^2 < 52

) sağlayan tam sayıların (3, 4, 5, 6, 7) toplamıdır. Geniş açı şartı, kenarortayın uzunluğunu sınırlar.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğunu analiz etmek için üçgeni paralelkenara tamamlama yöntemini uygula.

AD

kenarortayını kendi uzunluğu kadar (

x

) uzatıp

E

noktası elde edilir.

ABEC

bir paralelkenar olur.

Bu yöntem, kenarortay uzunluğunu (

x

) bir üçgenin kenarı haline getirerek (

2x

) hesaplamayı kolaylaştırır.

2

Oluşan

ACE

üçgeninde kenar uzunluklarını ve üçgen eşitsizliğini belirle.

ACE

üçgeninin kenarları

12

,

8

ve

2x

olur. Üçgen eşitsizliğinden:

12-8 < 2x < 12+8 \Rightarrow 4 < 2x < 20 \Rightarrow 2 < x < 10

.

Üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntıları sağlanmalıdır.

3

Açı koşulunun (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) kenarortay üzerindeki etkisini hesapla.

Paralelkenar özelliğinden,

2(AB^2 + AC^2) = BC^2 + (2x)^2

.

A

açısı geniş olduğu için

BC^2 > AB^2 + AC^2

olur. Bu durumda kenarortay kısalır:

x^2 < \frac{8^2 + 12^2}{4} = \frac{208}{4} = 52

.

Geniş açı karşısındaki kenar uzarken, diğer köşegen (kenarortayın iki katı) kısalır.

4

Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve uygun tam sayıları topla.

x > 2

ve

x^2 < 52

(yani

x \approx 7,2

). Ortak çözüm:

2 < x < \sqrt{52}

. Tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7. Toplam:

3+4+5+6+7 = 25

.

Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açı genişledikçe karşısındaki kenar büyürken, o açıdan inen kenarortay kısalır. Kenarortay (

V_a

) ile kenarlar (

b, c

) arasındaki ilişki:

m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

.

İpuçları

1

AD

kenarortayını, kendi uzunluğu kadar dışarıya doğru uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.

2

Oluşturduğunuz paralelkenarda kenarlar 8 ve 12 olacaktır. Köşegenin yarısı olan

x

için üçgen eşitsizliğini yazın.

3

A

açısı

90^\circ

olsaydı

x^2 = \frac{8^2 + 12^2}{4} - \frac{a^2}{4}

formülü yerine, doğrudan

2x = \sqrt{b^2+c^2}

sınırını düşünün. Geniş açı olduğunda

x

,

\sqrt{52}

'den küçük olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dar açı kısıtlaması ile çözerek farkı gözlemleyin.

Alternatif Yöntem

Kenarortay teoremi formülü üzerinden:

2x^2 + \frac{a^2}{2} = b^2 + c^2

. Açı geniş olduğundan

a^2 > b^2 + c^2

olur. Bu eşitsizliği formülde yerine koyarak

x

için üst sınırı bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm ve $|AC| = 10$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{A}) < m(\widehat{B})$ olduğu bilindiğine göre, $BC$ kenarının santimetre cinsinden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

4

5

6

10

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen koşulları sağlayan en küçük tam sayı değeri 5'tir.

Üçgen eşitsizliğine göre kenar uzunluğu 4 ile 16 arasında olmalıdır. Ayrıca

m(\widehat{A}) < m(\widehat{B})

şartı gereği

BC

kenarı

AC

kenarından (10 cm) kısa olmalıdır. Bu durumda kenar uzunluğu 4 ile 10 arasında değer alabilir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliğini uygulayın.

|10 - 6| < |BC| < 10 + 6 \Rightarrow 4 < |BC| < 16

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntısını uygulayın.

m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| < |AC| \Rightarrow |BC| < 10

Bir üçgende küçük açının karşısında daha kısa kenar bulunur.

3

Elde edilen iki eşitsizliği birleştirin.

4 < |BC| < 10

Kenar uzunluğu her iki matematiksel koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

4

Aralıktaki en küçük tam sayıyı belirleyin.

|BC| = 5

4'ten büyük olan en küçük tam sayı 5'tir.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ve açı-kenar arasındaki doğru orantı ilişkisi.

İpuçları

1

Bir üçgenin bir kenarı her zaman diğer iki kenarın farkı ile toplamı arasındadır.

2

Açıların ölçüleri arasındaki sıralama, karşılarındaki kenarların uzunlukları için de geçerlidir.

m(\widehat{A}) < m(\widehat{B})

ise

|BC| < |AC|

olur.

3

Önce üçgen eşitsizliğinden

|BC|

için bir aralık bulun, sonra açı şartını kullanarak bu aralığı daraltın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en büyük tam sayı değeri' için çözerek sınırları pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 7Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|BC| = 12$ cm, $|AB| = x$ cm ve $|AC| = (x + 4)$ cm olarak verilmiştir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu ve $x$ 'in bir tam sayı olduğu bilindiğine göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

5

11

15

18

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

x'in alabileceği değerler toplamı 11'dir.

Doğru cevap, hem üçgenin var olabilmesi için gereken temel eşitsizliği (

x > 4

) hem de A açısının geniş olması şartını (

x^2 + 4x - 64 < 0

) sağlayan tam sayıların toplamıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar sadece 5 ve 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını uygula (

|b-c| < a < b+c

).

|(x+4)-x| < 12 < (x+4)+x \Rightarrow 4 < 12 < 2x+4

. Buradan

2x > 8 \Rightarrow x > 4

bulunur.

Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Geniş açı şartını (

m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2

) uygula.

12^2 > x^2 + (x+4)^2 \Rightarrow 144 > x^2 + x^2 + 8x + 16

.

A açısı

90^\circ

'den büyükse, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır.

3

Elde edilen ikinci derece eşitsizliği düzenle ve köklerini bul.

128 > 2x^2 + 8x \Rightarrow 64 > x^2 + 4x \Rightarrow x^2 + 4x - 64 < 0

. Kökler:

x \approx 6,25

ve

x \approx -10,25

.

Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.

4

Her iki koşulu sağlayan tam sayıları belirle ve topla.

Üçgen eşitsizliğinden

x > 4

, geniş açı şartından

x < 6,25

. Ortak aralık:

4 < x < 6,25

. Bu aralıktaki tam sayılar

\{5, 6\}

'dır. Toplam:

5 + 6 = 11

.

x değeri hem üçgen oluşma şartını hem de geniş açı şartını aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

İpuçları

1

Bir üçgenin çizilebilmesi için her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.

2

A açısı

90^\circ

'den büyükse, Pisagor teoremi (

a^2 = b^2 + c^2

) eşitsizliğe dönüşür:

a^2 > b^2 + c^2

.

3

12^2 > x^2 + (x+4)^2

eşitsizliğini çözerek x'in üst sınırını bulun ve bunu üçgen eşitsizliğinden gelen alt sınır (

x>4

) ile birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, açının

90^\circ

'den küçük (dar açı) olduğu durum için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin x=7 için kenarlar 7, 11, 12 olur.

12^2 = 144

,

7^2+11^2 = 49+121 = 170

.

144 > 170

olmadığı için (Geniş açı şartı sağlanmaz) x=7 olamaz. x=4 için kenarlar 4, 8, 12 olur;

4+8=12

olduğu için üçgen oluşmaz (çizgi olur).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8Soru →

$|AB|$ ve $|AC|$ kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir $ABC$ üçgeninde, bu iki kenarın uzunlukları toplamı 15 cm'dir.

Üçgenin iç açıları arasında $m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})$ sıralaması olduğuna göre, $|BC|$ kenar uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5 farklı değer

Verilen

m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})

şartı, kenarlar arasında

|AC| > |AB| > |BC|

(yani

b > c > a

) sıralamasını gerektirir.

b+c=15

eşitliğini sağlayan ve

b>c

olan tam sayı ikilileri incelendiğinde, sadece

(8,7)

ve

(9,6)

çiftleri için geçerli bir

a

tam sayısı bulunabilir.

(8,7)

çifti için

a \in \{2,3,4,5,6\}

ve

(9,6)

çifti için

a \in \{4,5\}

değerleri elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi

\{2,3,4,5,6\}

olup toplam 5 farklı değer vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştür.

m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow b > c > a

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır. Burada

|AC|=b

,

|AB|=c

,

|BC|=a

olarak adlandırılmıştır.

2

Verilen toplam (

b+c=15

) ve sıralama (

b>c

) şartını sağlayan tam sayı ikililerini listele.

Olası

(b, c)

ikilileri:

(8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3), (13, 2), (14, 1)

b

ve

c

tam sayı olmalı ve toplamları 15 etmelidir. Ayrıca

b > c

şartı sağlanmalıdır.

3

Her ikili için üçgen eşitsizliği (

b-c < a < b+c

) ve kenar sıralaması (

a < c

) şartlarını kontrol et.

Şart:

b-c < a < c

olmalıdır.
1. Durum (8, 7):

1 < a < 7 \Rightarrow a \in \{2, 3, 4, 5, 6\}

(5 değer)
2. Durum (9, 6):

3 < a < 6 \Rightarrow a \in \{4, 5\}

(2 değer)
3. Durum (10, 5):

5 < a < 5

(Çözüm yok)
Diğer durumlarda

b-c \ge c

olduğu için çözüm yoktur.

Üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca sorudaki açı sıralaması gereği

a

en kısa kenar olmalıdır.

4

Bulunan değerlerin birleşim kümesini oluştur ve eleman sayısını bul.

Küme 1:

\{2, 3, 4, 5, 6\}

Küme 2:

\{4, 5\}

Birleşim:

\{2, 3, 4, 5, 6\}

Eleman Sayısı: 5

Aynı değerler tekrar sayılmaz, farklı tam sayı değerleri sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ilkesi ve üçgen eşitsizliğinin ortak çözümü.

İpuçları

1

Açı sıralamasını kenar sıralamasına dönüştürün: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

2

|AC|=b

,

|AB|=c

ve

|BC|=a

olsun.

b > c > a

sıralamasını ve

b+c=15

şartını sağlayan

(b,c)

tam sayı çiftlerini deneyin.

3

Her

(b,c)

çifti için üçgen eşitsizliği

|b-c| < a < b+c

ile sorudaki

a < c

şartını kesiştirerek

a

'nın alabileceği değerleri bulun.

Daha Fazla Pratik

Toplamları sabit olan iki kenarın farkının mutlak değeri arttıkça, üçüncü kenarın alabileceği değer aralığının nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları cm cinsinden verilmiştir. $ABC$ üçgeni çeşitkenar bir üçgen olup $x$ bir tam sayıdır.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

42

48

50

56

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

x değerlerinin toplamı 42'dir.

Doğru cevap, üçgen eşitsizliğinden gelen

4 < x < 12

aralığındaki tam sayılardan (

5,6,7,8,9,10,11

), üçgenin çeşitkenar olmasını engelleyen değerlerin (

x=6

ve

x=8

) çıkarılmasıyla kalan sayıların (

5,7,9,10,11

) toplanması sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını (

|b-c| < a < b+c

) uygula.

|(2x-4) - x| < 8 < (2x-4) + x

Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Eşitsizliğin sol ve sağ kısımlarını ayrı ayrı çöz.

Sol kısım:

|x-4| < 8 \Rightarrow -8 < x-4 < 8 \Rightarrow -4 < x < 12

. Sağ kısım:

8 < 3x-4 \Rightarrow 12 < 3x \Rightarrow x > 4

. Kesişim aralığı:

4 < x < 12

.

x değeri her iki koşulu da sağlamalıdır. Ayrıca uzunluk negatif olamayacağı için

2x-4>0 \Rightarrow x>2

şartı da zaten sağlanmış olur.

3

Bulunan aralıktaki tam sayıları listele.

x tam sayıları: {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Soruda x'in tam sayı olduğu belirtilmiştir.

4

Çeşitkenar üçgen olma şartını kontrol et ve uygun olmayan değerleri ele.

1)

x \neq 8

(8 elendi). 2)

2x-4 \neq 8 \Rightarrow 2x \neq 12 \Rightarrow x \neq 6

(6 elendi). 3)

x \neq 2x-4 \Rightarrow x \neq 4

(Aralıkta değil). Kalan değerler: {5, 7, 9, 10, 11}

Çeşitkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır (

|AB| \neq |AC|

,

|BC| \neq |AB|

,

|AC| \neq |BC|

).

5

Kalan değerleri topla.

5 + 7 + 9 + 10 + 11 = 42

Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Çeşitkenar Üçgen Özellikleri

Soru 10Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm ve $|AC| = 15$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $BC$ kenarına ait kenarortayın uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.

Soruda verilen kenarortay uzunluğu

x

olsun. Kenarortay teoremi gereği

x

değeri

\frac{|b-c|}{2} < x < \frac{b+c}{2}

aralığındadır; yani

3,5 < x < 11,5

. Ancak

m(\widehat{A}) > 90^\circ

şartı verildiğinden, kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısa olmalıdır. Dik üçgen olsaydı hipotenüs

17

ve kenarortay

8,5

olurdu. Geniş açıda

x < 8,5

olmalıdır. Bu iki şartın kesişimi

3,5 < x < 8,5

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8 olmak üzere toplam 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu (

V_a

) için genel sınırları belirle.

\frac{|15-8|}{2} < V_a < \frac{15+8}{2} \Rightarrow 3,5 < V_a < 11,5

Bir üçgende bir kenara ait kenarortay, diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının mutlak değerinin yarısından büyüktür.

2

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

şartının kenarortay üzerindeki etkisini incele.

V_a < \frac{\sqrt{8^2 + 15^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{17}{2} = 8,5

A açısı

90^\circ

olsaydı

V_a = \frac{a}{2} = 8,5

olurdu. A açısı büyüdükçe (

>90^\circ

) karşı kenar (

a

) uzar, ancak kenarortay (

V_a

) kısalır.

3

Elde edilen iki eşitsizliği birleştir ve tam sayıları say.

3,5 < V_a < 8,5

aralığındaki tam sayılar:

\{4, 5, 6, 7, 8\}

(Toplam 5 adet)

Her iki koşulu da (genel üçgen olma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi

İpuçları

1

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

V_a

), diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının yarısından büyüktür.

2

Eğer

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı, muhteşem üçlü gereği kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olurdu (8-15-17 üçgenini hatırla).

3

Açının

90^\circ

'den büyük olması (geniş açı), karşısındaki kenarı uzatırken, o köşeden çıkan kenarortayı kısaltır. Yani

V_a < \text{Hipotenüs}/2

olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

m(\widehat{A}) < 90^\circ

(dar açı) şartıyla çözerek kenarortayın alt sınırının nasıl değiştiğini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Kenarortayı

x

kadar dışarı uzatarak bir paralelkenar oluşturulabilir. Kenarları 8 ve 15 olan bu paralelkenarın bir köşegeni

2x

olur. Geniş açının bütünleri dar açı olacağından, oluşan üçgende

2x

gören açı

<90^\circ

olur. Buradan

(2x)^2 < 8^2 + 15^2

eşitsizliği kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Çevresi $48$ cm olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. Üçgenin eşit kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olduğuna göre, bu uzunluğun alabileceği kaç farklı değer vardır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşit kenar uzunluğunun alabileceği 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Doğru cevap, hem üçgen olma şartını (

12 < x < 24

) hem de tepe açısının geniş olma şartını (

x < 14.04

) sağlayan tam sayıların sayısıdır. Bu iki şartın kesişimi

12 < x < 14.04

aralığını verir ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve çevre bağıntısını kur.

Eşit kenarlara

x

, tabana

y

diyelim.

2x + y = 48 \Rightarrow y = 48 - 2x

.

Soruda verilen çevre bilgisi ve ikizkenarlık özelliği matematiksel ifadeye dökülmelidir.

2

Üçgen olma şartını (üçgen eşitsizliği) uygula.

|x - x| < y < x + x \Rightarrow 0 < 48 - 2x < 2x

. Buradan

48 < 4x \Rightarrow x > 12

. Ayrıca

y > 0 \Rightarrow x < 24

. Yani

12 < x < 24

.

Bir üçgenin kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

3

Geniş açı şartını (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) uygula.

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür:

y^2 > x^2 + x^2 \Rightarrow y^2 > 2x^2

.

Soruda verilen açı bilgisi, kenar uzunlukları arasında bir eşitsizlik oluşturur.

4

Elde edilen eşitsizliği

x

cinsinden çöz.

(48 - 2x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 4(24-x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 2(24-x)^2 > x^2

. Her iki tarafın karekökünü alalım:

\sqrt{2}(24-x) > x \Rightarrow 24\sqrt{2} - x\sqrt{2} > x \Rightarrow 24\sqrt{2} > x(1+\sqrt{2})

. Buradan

x < \frac{24\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

.

Eşitsizlik sisteminin çözüm aralığını bulmak için cebirsel işlemler yapılır.

5

Yaklaşık değer hesapla ve tam sayıları bul.

\sqrt{2} \approx 1.41

alırsak,

x < \frac{24 \times 1.41}{2.41} \approx \frac{33.84}{2.41} \approx 14.04

. Üçgen eşitsizliğinden

x > 12

bulmuştuk. Kesişim:

12 < x < 14.04

. Bu aralıktaki tam sayılar:

13

ve

14

.

Bulunan aralıktaki tam sayı değerleri tespit edilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür (

a^2 > b^2 + c^2

). Ayrıca üçgen eşitsizliği (

|b-c| < a < b+c

) her zaman sağlanmalıdır.

İpuçları

1

İkizkenar üçgenin eşit kenarlarına

x

, tabanına

y

diyerek çevre bağıntısını yazın:

2x + y = 48

.

2

Üçgen eşitsizliğini (

y < 2x

) ve geniş açı şartını (

y^2 > x^2 + x^2

) kullanarak

x

için bir aralık belirleyin.

3

y

yerine

48-2x

koyduğunuzda, geniş açı şartı

(48-2x)^2 > 2x^2

eşitsizliğine dönüşür. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı

x

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'dar açılı üçgen' şartı ile çözerek çözüm kümesinin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de yaklaşılabilir:

y^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(A)

.

A > 90^\circ

olduğu için

\cos(A)

negatiftir, bu da

y^2 > 2x^2

sonucunu verir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 12Soru →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $ADC$ birer üçgendir. $|AB| = 5$ cm, $|BC| = 12$ cm ve $|CD| = 8$ cm'dir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Doğru cevap olan 6,

ABC

üçgenindeki geniş açı bilgisinden türetilen

AC > 13

şartı ile

ADC

üçgenindeki üçgen eşitsizliğinin (

x > AC - 8

) birleştirilmesiyle bulunur.

x > 13 - 8

işlemi bizi

x > 5

sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde

[AC]

kenarının sınır değerini belirle.

m(\widehat{ABC}) = 90^\circ

olsaydı,

AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 \implies AC = 13

cm olurdu.

Pisagor bağıntısı yardımıyla açının geniş olması durumundaki alt sınırı bulmak için.

2

Açı kuralını uygula.

m(\widehat{ABC}) > 90^\circ

verildiği için

AC^2 > 5^2 + 12^2

olmalı, yani

AC > 13

cm'dir.

Geniş açının karşısındaki kenar, dik açı durumundaki kenardan daha uzundur.

3

ADC

üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygula.

|AC - CD| < x < AC + CD \implies |AC - 8| < x < AC + 8

.

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır.

4

x

için alt sınırı hesapla.

AC > 13

olduğundan,

x > 13 - 8 \implies x > 5

cm elde edilir.

AC

değeri 13'ten büyük olduğu sürece

x

değeri de 5'ten büyük kalacaktır.

5

En küçük tam sayı değerini bul.

x > 5

koşulunu sağlayan en küçük tam sayı 6'dır.

Soru bizden en küçük tam sayı değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde açı-kenar bağıntıları ve üçgen eşitsizliğinin birlikte kullanımı.

Soru 13Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 10$ cm ve $|AC| = 24$ cm uzunlukları verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu ve $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğunun santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu kenarortayın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.

Üçgende bir köşedeki açı

90^\circ

olduğunda kenarortay uzunluğu

x = \sqrt{10^2+24^2}/2 = 13

olur. Açı

90^\circ

'den büyük olduğunda, kenarortay uzunluğu kısalır, yani

x < 13

olur. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden

x > (24-10)/2 = 7

olmalıdır. Bu durumda

7 < x < 13

aralığındaki tam sayılar 8, 9, 10, 11 ve 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğuna

x

diyelim.

ABC

üçgenini bir paralelkenara tamamlayarak veya kenarortay formülü ile

2x

uzunluğunun bulunduğu üçgeni (kenarları 10, 24 ve

2x

) oluşturalım.

Üçgen eşitsizliğinden:

|24 - 10| < 2x < 24 + 10 \Rightarrow 14 < 2x < 34 \Rightarrow 7 < x < 17

.

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, diğer iki kenarın farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

Soruda verilen

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini inceleyelim.

m(\widehat{A}) > 90^\circ

ise, kenarortay uzunluğunun karesi için

2x^2 < 10^2 + 24^2 - \frac{a^2}{2}

bağıntısı yerine daha pratik olarak;

A

açısı geniş ise kenarortay 'kısalır'. Sınır durumunda (

A=90^\circ

)

x = \frac{a}{2} = 13

olurdu. Açı büyüdükçe kenarortay küçüleceğinden

x < 13

olmalıdır.

Geniş açılı üçgenlerde, geniş açıdan çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüse ait kenarortay uzunluğundan (muhteşem üçlü durumundan) daha kısadır.

3

Her iki eşitsizlik sistemini (genel aralık ve açı kısıtlaması) birleştirerek çözüm kümesini bulalım.

Genel aralık

7 < x < 17

ve açı şartı

x < 13

. Kesişim:

7 < x < 13

.

Kenarortay hem var olma şartını (üçgen eşitsizliği) hem de açı şartını aynı anda sağlamalıdır.

4

Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip sayalım.

Alabileceği değerler: 8, 9, 10, 11, 12. Toplam 5 tane.

Aralık uç noktaları (7 ve 13) eşitsizliğe dahil değildir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgende kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısadır (

V_a < \frac{a_{dik}}{2}

).

Soru 14Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|AB| = (x + 5)$ cm, $|AC| = (2x + 1)$ cm ve $|BC| = 14$ cm olarak verilmiştir.

Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında $m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ sıralaması olduğuna göre, $x$ değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

6

11

15

18

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Değişkenin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 11'dir.

Doğru cevap olan 11 değeri, verilen açı sıralamasına göre

14 > 2x + 1

ve

2x + 1 > x + 5

eşitsizliklerinin çözümünden gelen

4 < x < 6,5

aralığındaki 5 ve 6 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Açı-kenar bağıntısını uygulayarak ilk eşitsizliği kurun.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| > |AC| \Rightarrow 14 > 2x + 1

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

2

Elde edilen ilk eşitsizliği

x

için çözün.

13 > 2x \Rightarrow x < 6,5

Değişkenin üst sınırını belirlemek için denklem çözümü yapılır.

3

Açı-kenar bağıntısını uygulayarak ikinci eşitsizliği kurun.

m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \Rightarrow |AC| > |AB| \Rightarrow 2x + 1 > x + 5

Açıların sıralaması kenarların uzunluk sıralamasını doğrudan belirler.

4

İkinci eşitsizliği

x

için çözün.

x > 4

Değişkenin alt sınırını belirlemek için terimler düzenlenir.

5

Üçgen eşitsizliğini kontrol edin.

(2x + 1) + (x + 5) > 14 \Rightarrow 3x + 6 > 14 \Rightarrow 3x > 8 \Rightarrow x > 2,66...

Herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.

6

Tüm koşulları birleştirerek tam sayı değerlerini bulun.

4 < x < 6,5

aralığından

x \in \{5, 6\}

ve toplam

5 + 6 = 11

Açı sıralaması ve üçgen olma kuralı aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açıların ölçüleri arasındaki sıralama, bu açıların karşısındaki kenarların uzunluk sıralaması ile aynıdır.

Soru 15Soru →

Aşağıdaki $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$ köşegeni çizilmiştir. $|AB| = 7$ cm, $|BC| = 11$ cm ve $|AD| = 5$ cm uzunlukları verilmiştir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{ADC}) < 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

$|AC|$ ve $|DC|$ uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre, $|DC|$ 'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

|DC|

uzunluğu 8 farklı tam sayı değeri alabilir.

Çözüm iki aşamalıdır. Önce

ABC

üçgeninde geniş açı ve üçgen eşitsizliği kullanılarak ortak kenar

|AC|

'nin alabileceği tam sayı değerleri bulunur (

\{14, 15, 16, 17\}

). Sonra her bir

|AC|

değeri için

ADC

üçgeninde dar açı şartı (

b^2 < 5^2 + x^2

) ve üçgen eşitsizliği analiz edilerek

|DC|

'nin (

x

) alabileceği değerler kümesi oluşturulur. Bu kümelerin birleşimi 14'ten 21'e kadar olan tam sayılardır (8 adet).

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeni için

|AC| = b

diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygula:

|11-7| < b < 11+7 \Rightarrow 4 < b < 18

.

4 < b < 18

Bir üçgenin kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

2

m(\widehat{ABC}) > 90^\circ

(geniş açı) şartını uygula:

b^2 > 7^2 + 11^2 \Rightarrow b^2 > 49 + 121 \Rightarrow b^2 > 170

.

b > \sqrt{170} \approx 13,03

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.

3

|AC|

bir tam sayı olduğundan, 1. ve 2. adımdaki şartları sağlayan

b

değerlerini belirle.

b \in \{14, 15, 16, 17\}

13^2=169

(küçük),

14^2=196

(uygun). Üst sınır 18 dahil değil.

4

Her bir

b

değeri için

ADC

üçgeninde (

|AD|=5

,

|DC|=x

,

|AC|=b

) dar açı ve üçgen eşitsizliği şartlarını incele.

m(\widehat{D}) < 90^\circ \Rightarrow b^2 < 5^2 + x^2 \Rightarrow x > \sqrt{b^2-25}

.

Analiz başlangıcı

D

açısı dar ise karşısındaki

b

kenarının karesi, diğerlerinin kareleri toplamından küçüktür.

5

b=14

için:

x > \sqrt{196-25}=\sqrt{171}\approx13,07

ve

9 < x < 19

.

x \in \{14, 15, 16, 17, 18\}

x

en az 14 olabilir, üst sınır üçgen eşitsizliğinden (

14+5

) gelir.

6

b=15

için:

x > \sqrt{200}\approx14,1

.

10 < x < 20

.

\rightarrow x \in \{15, 16, 17, 18, 19\}

b=16

için:

x > \sqrt{231}\approx15,2

.

11 < x < 21

.

\rightarrow x \in \{16, 17, 18, 19, 20\}

b=17

için:

x > \sqrt{264}\approx16,2

.

12 < x < 22

.

\rightarrow x \in \{17, 18, 19, 20, 21\}

Tüm kümelerin birleşimi:

\{14, 15, ..., 21\}

Her durumdan gelen çözüm kümelerini birleştiriyoruz.

7

Elde edilen farklı tam sayı değerlerini say.

8 değer

14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden tam sayı kısıtlamaları ve açı-kenar bağıntılarının (dar/geniş açı) birlikte analizi.

Soru 16Soru →

Çevresi 40 cm olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm'dir.

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1

2

3

5

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sadece 13 ve 14 olmak üzere 2 farklı değer alır.

Üçgenin kenar uzunlukları için iki temel kısıtlama vardır: Genel üçgen eşitsizliği ve geniş açı kısıtlaması. Çevresi 40 ve bir kenarı 8 olan üçgende diğer iki kenarın toplamı 32'dir (

a+b=32

). Üçgen eşitsizliğinden (

|a-b|<8

)

a

kenarının

(12, 20)

aralığında olması gerekir. Ancak

B

açısının geniş olması (

b^2 > a^2 + 8^2

),

a

'nın 15'ten küçük olmasını gerektirir. Bu iki koşulun kesişimi

(12, 15)

aralığıdır ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 tam sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri değişkenlerle ifade et.

|AB|=c=8

,

|BC|=a

,

|AC|=b

. Çevre

= a+b+8 = 40 \Rightarrow a+b=32 \Rightarrow b = 32-a

.

Soruyu çözebilmek için kenarlar arasında tek değişkene bağlı bir ilişki kurmak gerekir.

2

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|a-b| < c < a+b \Rightarrow |a-(32-a)| < 8

. Buradan

|2a-32| < 8

elde edilir.

-8 < 2a-32 < 8 \Rightarrow 24 < 2a < 40 \Rightarrow 12 < a < 20

.

Bir üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntılarının sağlanması gerekir.

3

Geniş açı (

m(\widehat{B}) > 90^\circ

) şartını uygula.

b^2 > a^2 + c^2

olmalıdır.

(32-a)^2 > a^2 + 8^2

.

Açı

90^\circ

'den büyük olduğunda, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olur.

4

Eşitsizliği çöz.

1024 - 64a + a^2 > a^2 + 64 \Rightarrow 960 > 64a \Rightarrow 15 > a

.

Açı şartının getirdiği üst sınırı belirlemek için işlem yapılır.

5

İki koşulu birleştirerek çözüm kümesini bul.

Üçgen eşitsizliğinden

12 < a < 20

ve açı şartından

a < 15

bulundu. Ortak çözüm:

12 < a < 15

. Bu aralıktaki tam sayılar: 13 ve 14.

Her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerler geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenar uzunlukları hem üçgen eşitsizliğini (

|a-b|<c<a+b

) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizliği) sağlamalıdır.

Soru 17Soru →

Bir izci kampında $A, B$ ve $C$ noktaları bir üçgensel bölge oluşturmaktadır. Yapılan ölçümlerde $A$ noktasındaki iç açının ölçüsü $45^\circ$ , $B$ noktasındaki iç açının ölçüsü ise $75^\circ$ olarak belirlenmiştir. Bu noktaları birleştiren yolların uzunlukları $|BC| = a$ , $|AC| = b$ ve $|AB| = c$ birimdir.

Buna göre; $a, b$ ve $c$ uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

a > c > b

b > c > a

c > b > a

b > a > c

a = b = c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b > c > a$

Cevap

Üçgenin iç açıları ve karşılarındaki kenarlar arasındaki ilişkiye göre doğru sıralama

b > c > a

şeklindedir.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

olduğundan, verilmeyen

C

açısı

180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ

olarak bulunur. Açılar büyükten küçüğe

75^\circ (B) > 60^\circ (C) > 45^\circ (A)

şeklinde sıralanır. Açı-kenar bağıntısına göre büyük açının karşısında daha uzun kenar bulunacağından sıralama

b > c > a

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin verilmeyen üçüncü iç açısını hesaplayınız.

m(\widehat{C}) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

2

Üçgenin tüm iç açılarını büyüklüklerine göre sıralayınız.

75^\circ > 60^\circ > 45^\circ

yani

m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A})

Kenar uzunluklarını belirlemek için önce açıların büyüklük sıralamasını bilmemiz gerekir.

3

Açı-kenar bağıntısını uygulayarak kenarları sıralayınız.

b > c > a

Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında ise kısa kenar bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açılar arasındaki sıralama ile bu açıların karşısındaki kenarlar arasındaki sıralama aynıdır: Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

İpuçları

1

Bir üçgenin iç açılarının toplamının kaç derece olduğunu hatırlayarak işe başlayabilirsiniz.

2

C

köşesindeki açıyı bulmak için

180^\circ

'den diğer iki açının toplamını çıkarın.

3

Bulduğunuz açıları sıralayın: En büyük açının karşısındaki kenar en uzun, en küçük açının karşısındaki kenar ise en kısadır.

Daha Fazla Pratik

Farklı açılara sahip bir üçgen çizerek kenar uzunluklarını cetvelle ölçüp bu kuralı doğrulayabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 18Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 24$ cm ve $|AC| = 7$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu ve $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğunun ( $V_a$ ) santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, $V_a$ 'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

30

42

55

84

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Kenarortayın alabileceği değerler toplamı 42'dir.

Üçgende kenarortay teoremi ve açı-kenar bağıntıları birlikte düşünüldüğünde,

V_a

değeri hem genel sınırlara (

8.5 < V_a < 15.5

) hem de geniş açı şartına (

V_a < 12.5

) uymalıdır. Bu kesişimdeki tam sayılar 9, 10, 11 ve 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu

V_a

için genel üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.

\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2} \Rightarrow \frac{24-7}{2} < V_a < \frac{24+7}{2} \Rightarrow 8.5 < V_a < 15.5

Bir üçgende kenarortay uzunluğu, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini uygula.

V_a < \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{\sqrt{7^2 + 24^2}}{2} \Rightarrow V_a < \frac{25}{2} \Rightarrow V_a < 12.5

A açısı

90^\circ

olsaydı

V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

(Muhteşem Üçlü) olurdu. A açısı genişledikçe kenarortay kısalır.

3

İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm kümesini bul.

8.5 < V_a < 12.5

Her iki koşulu da (üçgen oluşma şartı ve geniş açı şartı) aynı anda sağlamalıdır.

4

Aralıktaki tam sayıları belirle ve topla.

Tam sayılar: 9, 10, 11, 12. Toplam:

9+10+11+12 = 42

.

Soruda kenarortayın tam sayı olduğu ve değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan (hipotenüsün yarısı) daha küçüktür.

İpuçları

1

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

V_a

), kenarlar

b

ve

c

olmak üzere,

\frac{|b-c|}{2} < V_a < \frac{b+c}{2}

aralığındadır.

2

Eğer

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı, muhteşem üçlü gereği

V_a = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

olurdu.

3

m(\widehat{A}) > 90^\circ

olduğu için kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki değerden daha küçük olmalıdır (

V_a < 12.5

).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

m(\widehat{A}) < 90^\circ

(dar açı) şartıyla çözerek aralığın nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kenarortayı 2 katına uzatarak (

2V_a

) bir paralelkenar oluşturma yöntemiyle de kenar uzunlukları 7, 24 ve köşegeni

2V_a

olan bir üçgen elde edip, bu üçgende geniş açı yorumu yaparak çözüm yapılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 19Soru →

Aşağıdaki şekilde, $[BC]$ kenarı ortak olan $ABC$ ve $DBC$ üçgenleri verilmiştir.

Üçgenlere ait kenar uzunlukları ve açı bilgileri şöyledir:
* $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm
* $|DB| = 9$ cm, $|DC| = 12$ cm
* $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$
* $DBC$ üçgeni çeşitkenar bir üçgendir.

Buna göre, $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

13

24

25

36

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

|BC|

kenarının alabileceği değerler 11 ve 13 olup, toplamları 24'tür.

Soruda verilen iki üçgenin kısıtlamaları ortak çözülmelidir.

ABC

üçgeninde

A

açısı geniş (

>90^\circ

) olduğundan, Pisagor teoremine referansla

|BC| > \sqrt{6^2+8^2} = 10

olmalıdır. Üçgen eşitsizliğinden ise

|BC| < 14

bulunur.

DBC

üçgeni için

|BC|

3 ile 21 arasında olmalıdır. Kesişim kümesi

\{11, 12, 13\}

tamsayılarıdır. Ancak

DBC

çeşitkenar olduğu için

|BC| \neq 12

(

|DC|

'ye eşit olamaz) şartı sağlanmalıdır. Kalan değerler 11 ve 13 olup toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeni için üçgen eşitsizliğini ve geniş açı şartını uygula.

Üçgen eşitsizliğinden

8-6 < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14

. Geniş açı (

>90^\circ

) şartından

|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 100 \Rightarrow |BC| > 10

. Kesişim:

10 < |BC| < 14

.

Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca açı şartı kenar uzunluğu alt sınırını belirler.

2

DBC

üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygula.

12-9 < |BC| < 12+9 \Rightarrow 3 < |BC| < 21

.

İkinci üçgenin de oluşabilmesi için kenar uzunlukları bu aralıkta olmalıdır.

3

İki üçgenin şartlarını sağlayan ortak tamsayıları belirle.

Ortak aralık:

(10 < |BC| < 14) \cap (3 < |BC| < 21) \Rightarrow 10 < |BC| < 14

. Bu aralıktaki tamsayılar:

\{11, 12, 13\}

.

|BC|

her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da sağlamalıdır.

4

DBC

üçgeninin çeşitkenar olma şartını kontrol et ve değerleri topla.

DBC

kenarları: 9, 12 ve

|BC|

. Çeşitkenar olması için

|BC| \neq 9

ve

|BC| \neq 12

olmalıdır. Aday kümesinden

\{11, 12, 13\}

12 elenir. Kalanlar: 11 ve 13. Toplam:

11 + 13 = 24

.

Soruda

DBC

üçgeninin çeşitkenar olduğu belirtilmiştir, bu nedenle ikizkenar yapan değerler çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

İpuçları

1

Önce her iki üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) yazarak

|BC|

'nin aralığını bulun.

2

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

şartı,

|BC|

kenarının uzunluğu için bir alt sınır belirler (

a^2 > b^2 + c^2

). Bunu

ABC

üçgeni için uygulayın.

3

Bulduğunuz tamsayı adayları arasından,

DBC

üçgenini 'ikizkenar' yapacak olan değeri eleyin (soru 'çeşitkenar' diyor).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'dar açı' şartı ile çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiler verilmiştir. $|AB| = 12$ cm ve $|BC| = 7$ cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})$ bağıntısı olduğuna göre, $|AC|$ kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

6

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar 5 ile 19 arasında olmalıdır. Ancak soruda verilen

m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})

koşulu, kenarlar arasında

12 > |AC| > 7

bağıntısını zorunlu kılar. Bu iki koşulun kesişimi alındığında

|AC|

'nun 7 ile 12 arasında olması gerektiği görülür. Bu aralıktaki tam sayılar 8, 9, 10 ve 11 olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayın.

|12 - 7| < |AC| < |12 + 7| \Rightarrow 5 < |AC| < 19

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntısını kullanarak kenarlar arasındaki sıralamayı belirleyin.

m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow |AB| > |AC| > |BC|

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

3

Verilen kenar uzunluklarını sıralamada yerine koyun.

12 > |AC| > 7

|AB| = 12

cm ve

|BC| = 7

cm olarak verilmiştir.

4

Elde edilen iki eşitsizliğin kesişim kümesini bulun.

Ortak aralık:

7 < |AC| < 12

Kenar uzunluğu hem üçgen eşitsizliğini hem de açı koşulunu aynı anda sağlamalıdır.

5

Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.

8, 9, 10, 11 (Toplam 4 adet)

7 ile 12 arasındaki tam sayılar istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasındaki temel ilişki: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve her kenar üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

İpuçları

1

Üçgen eşitsizliğini kullanarak

|AC|

için geniş bir aralık belirleyin.

2

Açı sıralamasına bakın:

m(\widehat{C})

açısı 12 cm'lik kenarı görüyorsa,

m(\widehat{B})

açısının gördüğü

|AC|

kenarı 12'den küçük olmalıdır.

3

Benzer şekilde

m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})

olduğu için

|AC| > 7

olmalıdır. Bulduğunuz tüm sınırları birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Bir dahaki soruda bir açının 90 dereceden büyük veya küçük olma durumunun kenar uzunluğunu nasıl etkilediğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde hem

(5, 19)

aralığını hem de

(7, 12)

aralığını çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm