Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu,

f(x)={2x−5,x<3x−4,x≥3 f(x) = \begin{cases} 2x - 5, & x < 3 \\ x - 4, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, ff fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Birebir ve örtendir
  2. Örtendir ancak birebir değildirCevap
  3. C
    Birebirdir ancak örten değildir
  4. D
    Ne birebir ne de örtendir
  5. E
    Sabit fonksiyondur

Cevap

Fonksiyon örtendir ancak birebir değildir
Doğru seçenek, fonksiyonun örten ancak birebir olmadığını belirtir. Analiz edildiğinde, birinci parça (−∞,1)(-\infty, 1) aralığını, ikinci parça ise [−1,∞)[-1, \infty) aralığını örter. Bu iki kümenin birleşimi tüm gerçel sayılar kümesidir (R\mathbb{R}), yani fonksiyon örtendir. Ancak [−1,1)[-1, 1) aralığındaki değerler her iki parça tarafından da üretildiği için (örneğin y=0y=0 değeri hem x=2.5x=2.5 hem de x=4x=4 için sağlanır), fonksiyon birebir değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parçanın (x<3x < 3) görüntü kümesini belirle.
x<3  ⟹  2x<6  ⟹  2x−5<1x < 3 \implies 2x < 6 \implies 2x - 5 < 1. Görüntü aralığı: (−∞,1)(-\infty, 1).
Fonksiyonun aldığı değerlerin aralığını bulmak için eşitsizlik çözümü yapılır.
2
İkinci parçanın (x≥3x \ge 3) görüntü kümesini belirle.
x≥3  ⟹  x−4≥3−4  ⟹  x−4≥−1x \ge 3 \implies x - 4 \ge 3 - 4 \implies x - 4 \ge -1. Görüntü aralığı: [−1,∞)[-1, \infty).
İkinci parçanın tanım aralığındaki değerleri fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesi bulunur.
3
Görüntü kümelerinin birleşimini ve kesişimini incele.
Birleşim: (−∞,1)∪[−1,∞)=R(-\infty, 1) \cup [-1, \infty) = \mathbb{R}. Kesişim: [−1,1)[-1, 1).
Örtenlik için birleşimin kodğer kümesine eşit olması, birebirlik için kesişimin boş küme olması gerekir.
4
Sonucu yorumla.
Birleşim R\mathbb{R} olduğu için fonksiyon örtendir. Kesişim boş küme olmadığı için (örneğin f(2.5)=0f(2.5)=0 ve f(4)=0f(4)=0) fonksiyon birebir değildir.
Tanım gereği, değer kümesindeki her elemanın en az bir karşılığı varsa örten, en fazla bir karşılığı varsa birebirdir.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlarda Birebir ve Örtenlik

İpuçları

1
Her iki parçanın görüntü kümesini (alabileceği değer aralıklarını) ayrı ayrı hesaplayın.
2
Birinci parça için x<3x < 3 olduğunda 2x−52x - 5 ifadesinin hangi aralıkta değer alacağını bulun.
3
Bulduğunuz iki aralığın birleşiminin tüm reel sayıları örtüp örtmediğine ve aralıkların kesişip kesişmediğine (çakışma olup olmadığına) bakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, parçaların görüntü kümeleri arasında boşluk kalacak şekilde (örneğin x<3x < 3 için x−5x-5 ve x≥3x \ge 3 için x+2x+2) çözerek 'içine fonksiyon' kavramını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru