Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için; ff sabit fonksiyon, gg birim fonksiyondur.

f(x)=(a−2)x2+(b−3)x+c3x2+1 f(x) = \frac{(a-2)x^2 + (b-3)x + c}{3x^2 + 1}
g(x)=(m−2)x+n+1 g(x) = (m-2)x + n + 1

eşitlikleri veriliyor.
f(2023)+g(4)=7 f(2023) + g(4) = 7

olduğuna göre, a+b+c+m+na + b + c + m + n toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. C
    16
  4. 19Cevap
  5. E
    21

Cevap

a, b, c, m ve n değerlerinin toplamı 19'dur.
Birim fonksiyon tanımından g(x)=x, dolayısıyla g(4)=4 bulunur. Verilen eşitlikten f(x)'in sabit değerinin 3 olduğu anlaşılır. f(x)=3 eşitliğinden payın, paydanın 3 katı olması gerektiği (3(3x²+1) = 9x²+3) görülür. Polinom eşitliğinden a=11, b=3, c=3, m=3, n=-1 bulunur. Toplamları 19'dur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) birim fonksiyon olduğu için g(x) = x kuralını uygula ve verilen g(x) polinomundaki katsayıları buna eşitle.
g(x) = (m-2)x + n + 1 = 1x + 0 olduğundan; m-2=1 ⇒ m=3 ve n+1=0 ⇒ n=-1 bulunur.
Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen (katsayısı 1, sabit terimi 0 olan) fonksiyondur.
2
Verilen f(2023) + g(4) = 7 eşitliğini kullanarak f fonksiyonunun sabit değerini (k) bul.
g(4) = 4 (birim fonksiyon). f(2023) + 4 = 7 ⇒ f(2023) = 3. f sabit fonksiyon olduğundan her x için f(x) = 3'tür.
Sabit fonksiyon her girdi için aynı çıktıyı verir.
3
f(x) rasyonel ifadesini sabit değer olan 3'e eşitle ve İçler-Dışlar çarpımı yaparak katsayıları bul.
[(a-2)x² + (b-3)x + c] / (3x² + 1) = 3 ⇒ (a-2)x² + (b-3)x + c = 9x² + 3. Buradan; a-2=9 ⇒ a=11, b-3=0 ⇒ b=3, c=3 bulunur.
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
4
Bulunan tüm değerleri topla.
a+b+c+m+n = 11 + 3 + 3 + 3 + (-1) = 19.
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyon f(x)=c formundadır. Birim fonksiyon g(x)=x formundadır. Rasyonel bir ifadenin sabit fonksiyon olması için pay ve payda arasındaki katsayı oranlarının eşit olması veya payın paydanın bir katı olması gerekir.

İpuçları

1
Birim fonksiyon g(x) = x kuralına sahiptir. Öncelikle g(4)'ün değerini bulun.
2
f(2023) + g(4) = 7 eşitliğinde g(4) yerine 4 yazarak f fonksiyonunun sabit değerini (k) hesaplayın. f(x) her zaman bu k sayısına eşittir.
3
f(x) = 3 bulduktan sonra, verilen kesirli ifadeyi 3'e eşitleyin: Pay = 3 × Payda. Polinomların katsayılarını eşitleyerek a, b, c'yi bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru