Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyon (Seçme)

Bir kamu kurumunun teknik hizmetler biriminde görev yapan 55 mühendis ve 44 mimar arasından 44 kişilik bir proje denetim komisyonu oluşturulacaktır. Komisyonun seçiminde aşağıdaki şartlara uyulması zorunludur:

1. Komisyonda en az 22 mühendis bulunmalıdır.
2. Mühendislerden Elif Hanım ile Mimarlardan Kemal Bey, kurum içi çalışma prensipleri gereği aynı komisyonda birlikte görev almamalıdır.

Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    75
  2. B
    84
  3. 87Cevap
  4. D
    105
  5. E
    126

Cevap

Komisyon 8787 farklı şekilde oluşturulabilir.
Problemin çözümü için 'Tüm Geçerli Durumlar' kümesinden 'Kısıtlamaya Uymayan Durumlar' alt kümesinin çıkarılması gerekir. Öncelikle 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm gruplar hesaplanır (105). Daha sonra bu grupların içinden Elif ve Kemal'in birlikte bulunduğu durumlar (18) çıkarılır. Sonuç 105−18=87105 - 18 = 87 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci şartı (en az 2 mühendis) sağlayan tüm olası grupların sayısını hesapla.
(52)⋅(42)+(53)⋅(41)+(54)⋅(40)=(10⋅6)+(10⋅4)+(5⋅1)=60+40+5=105\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2} + \binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1} + \binom{5}{4}\cdot\binom{4}{0} = (10\cdot6) + (10\cdot4) + (5\cdot1) = 60 + 40 + 5 = 105
Komisyonda 2 mühendis, 3 mühendis veya 4 mühendis bulunabilir.
2
Birinci şartı sağlayan gruplar içinden, ikinci şarta uymayan (Elif ve Kemal'in birlikte olduğu) durumları tespit et.
Elif (Mühendis) ve Kemal (Mimar) seçildiğinde, geriye kalan 2 kişi için kalan havuzdan (44 Mühendis, 33 Mimar) seçim yapılır. Toplam mühendis sayısının en az 2 olması gerektiğinden, kalan 2 kişiden en az biri daha mühendis olmalıdır:
1 Mu¨h+1 Mim: (41)⋅(31)=121 \text{ Müh} + 1 \text{ Mim: } \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{1} = 12
2 Mu¨h+0 Mim: (42)⋅(30)=62 \text{ Müh} + 0 \text{ Mim: } \binom{4}{2}\cdot\binom{3}{0} = 6
Toplam İstenmeyen Durum: 12+6=1812 + 6 = 18
Elif ve Kemal birlikteyken toplam mühendis sayısının 2'nin altına düşmemesi gerekir. (Sadece 2 mimar seçilirse toplam 1 mühendis olur, bu durum zaten Adım 1'deki 105 sayısına dahil değildir, o yüzden çıkarılmaz).
3
Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
105−18=87105 - 18 = 87
Genel kümeden kısıtlamayı ihlal eden alt küme çıkarılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemleri (Tüm Durum - İstenmeyen Durum)

İpuçları

1
Problemi iki aşamada düşünün: Önce yasaklı ikili şartını yok sayarak 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm durumları hesaplayın.
2
Bulduğunuz tüm durumlardan, 'hem en az 2 mühendis şartını sağlayan hem de Elif ve Kemal'in birlikte olduğu' istenmeyen durumları çıkarın.
3
İstenmeyen durumda Elif ve Kemal zaten seçilidir. Yanlarına seçilecek 2 kişinin, grubun toplam mühendis sayısını 2 veya üzerine tamamlaması gerektiğini unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon (Seçme)

Bu konudan daha fazla soru