Kombinasyon (Seçme) Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı bünyesinde bir vergi denetimi sırasında incelenmek üzere $7$ farklı Gelir Vergisi dosyası ve $5$ farklı Kurumlar Vergisi dosyası arasından toplam $4$ dosya seçilecektir. Seçilecek dosyaların tam olarak $2$ tanesinin Gelir Vergisi dosyası olması şartıyla bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

31

210

495

840

105

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $210$

Cevap

İstenen şartlara uygun olarak yapılabilecek seçim sayısı

210

'dur.

Toplam seçilmesi gereken 4 dosyanın yarısının (2 dosya) Gelir Vergisi dosyalarından (

C(7,2)

), diğer yarısının ise Kurumlar Vergisi dosyalarından (

C(5,2)

) seçilmesi gerekmektedir. Bu iki bağımsız grup seçiminin kombinasyon değerlerinin çarpımı doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Gelir Vergisi dosyaları arasından seçim yapılması

C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21

Soruda toplam

4

dosyanın

2

tanesinin Gelir Vergisi olması istendiğinden, mevcut

7

Gelir Vergisi dosyası arasından

2

tanesi seçilmelidir.

2

Geriye kalan dosya sayısı için Kurumlar Vergisi dosyaları arasından seçim yapılması

C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Toplamda

4

dosya seçilmesi gerektiği için,

4 - 2 = 2

dosya daha seçilmelidir. Bu seçim mevcut

5

Kurumlar Vergisi dosyası arasından yapılmalıdır.

3

Bulunan sonuçların çarpılması (Saymanın Çarpma Kuralı)

21 \times 10 = 210

Bu iki seçim işlemi birbirine bağlı olarak gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1

Toplam

4

dosya seçileceğini ve bunlardan tam olarak

2

tanesinin Gelir Vergisi dosyası olması gerektiğini unutmayın.

2

Eğer

2

dosya Gelir Vergisi ise, kalan

2

dosyanın Kurumlar Vergisi dosyaları arasından seçilmesi gerekir.

3

7

dosyadan

2

seçimi (

C(7,2)

) ile

5

dosyadan

2

seçimi (

C(5,2)

) işlemlerini yapıp sonuçları çarpın.

Daha Fazla Pratik

Seçilen dosya türlerinin 'en az' veya 'en fazla' kısıtlaması içerdiği benzer durumları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir il milli eğitim müdürlüğünde görev yapan birbirinden farklı $8$ aday öğretmen arasından, Ankara'da düzenlenecek bir mesleki gelişim seminerine gönderilmek üzere $3$ kişilik bir temsilci heyeti seçilecektir. Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

24

28

56

168

336

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

8 öğretmen arasından 3 kişilik heyetin 56 farklı şekilde seçilebileceğini belirten seçenek doğrudur.

Verilen problemde 8 farklı kişi arasından sırasız bir şekilde 3 kişi seçilmektedir. Matematikte seçme işlemleri kombinasyon ile ifade edilir.

C(8, 3)

hesaplandığında pay kısmına

8 \cdot 7 \cdot 6

, payda kısmına ise

3 \cdot 2 \cdot 1

yazılır. İşlem sonucunda 56 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle

Seçme (Kombinasyon)

Öğretmenlerin gruptaki sırası önemli değildir, sadece kimlerin heyette yer alacağı önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula

C(8, 3) = \binom{8}{3}

n

elemanlı bir kümeden

r

eleman seçme formülü

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

şeklindedir.

3

Hesaplamayı gerçekleştir

\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

Paydaki

6

değeri ile paydadaki

3 \times 2 = 6

değeri birbirini sadeleştirir, geriye

8 \times 7 = 56

kalır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme), bir küme içerisinden elemanların sırasına bakılmaksızın alt gruplar oluşturma işlemidir. Temel özellik olarak

C(n, n) = 1

(herkesin seçilmesi) ve

C(n, 0) = 1

(kimsenin seçilmemesi) durumları bilinmelidir.

İpuçları

1

Soruda 'seçme' ve 'grup oluşturma' ifadeleri geçtiği için kombinasyon formülünü kullanmanız gerekir.

2

8 eleman içinden 3 eleman seçtiğiniz için

C(8, 3)

değerini hesaplamalısınız.

3

Kombinasyon hesaplarken paya 8'den geriye doğru 3 sayı çarpımı (

8 \cdot 7 \cdot 6

), paydaya ise 3'ün faktöriyelini (

3 \cdot 2 \cdot 1

) yazarak sadeleştirme yapabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer heyetteki öğretmenlerden biri belirli biriyse (örneğin Ali Öğretmen heyette kesin varsa), kalan 7 öğretmen arasından 2 kişi seçerek (

C(7, 2)

) çözümün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun pratik yolu olarak

n

sayısını

r

kadar geri açıp

r!

sayısına bölebilirsiniz. Örn:

8

sayısını

3

adım geri aç (

8 \cdot 7 \cdot 6

) ve

3!

(

6

) ile böl.

Tahmini Süre:45s

Soru 3Soru →

Bir devlet hastanesinin satın alma birimi, firmalar tarafından numune olarak gönderilen birbirinden farklı $9$ adet tıbbi cihaz arasından teknik inceleme yapmak üzere $2$ tanesini seçecektir. Buna göre, bu inceleme heyeti cihaz seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

18

36

45

72

81

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Heyet, 9 farklı cihaz arasından 2 tanesini 36 farklı şekilde seçebilir.

Doğru yanıt olan 36 değeri, 9 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısını veren

C(9, 2)

işleminin sonucudur. Sıralama önemsiz olduğu için paydaki

9 \times 8

çarpımı, seçilen 2 elemanın kendi arasındaki yer değişimini (2!) elemek için 2'ye bölünmüştür.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri belirleme

n = 9

(toplam cihaz sayısı),

r = 2

(seçilecek cihaz sayısı)

Kombinasyon hesabında kümenin toplam eleman sayısı ve seçilecek eleman sayısı temel verilerdir.

2

Yöntemi belirleme

Kombinasyon

C(n, r)

formülü seçilir.

Soruda cihazların hangi sırayla seçildiğinin bir önemi yoktur; sadece bir 'seçme' işlemi yapılmaktadır. Bu durum kombinasyon kullanılmasını gerektirir.

3

Hesaplama yapma

C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36

9'un 2'li kombinasyonu, 9'dan geriye 2 çarpan yazılıp 2 faktöriyele bölünerek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme), bir küme içerisinden sıra gözetmeksizin belirli sayıda eleman belirleme işlemidir.

İpuçları

1

Cihazların hangi sırayla seçildiğinin seçim sayısını değiştirip değiştirmediğini düşünün.

2

Bu bir seçme problemidir, dolayısıyla kombinasyon formülünü (

C(n,r)

) kullanmalısınız.

3

9 eleman arasından 2 eleman seçmek için

C(9, 2) = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Seçilen cihazların belirli görevlere (örneğin biri röntgen, diğeri tomografi servisine) atanması istenseydi sıralama önemli hale gelir ve permütasyon kullanılırdı.

Alternatif Yöntem

Küçük bir örnekle mantığı kavrayabilirsiniz: A, B, C cihazları arasından 2 tane seçilseydi bunlar {A,B}, {A,C} ve {B,C} olmak üzere 3 tane olurdu (

C(3,2)=3

). Aynı mantığı 9 cihaz için uyguluyoruz.

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan 5 idareci ve 6 uzman personel arasından, yaklaşan bir proje için 4 kişilik bir çalışma ekibi oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu ekipte en az 2 idarecinin bulunması zorunlu olduğuna göre, kaç farklı seçim yapılabilir?

210

215

315

330

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 215

Cevap

Şartları sağlayan 3 farklı durumun toplamı olan 215 farklı seçim yapılabilir.

Soruda 'en az 2 idareci' şartı olduğu için durumları parçalayarak incelememiz gerekir. Toplam kişi sayısı 5 idareci ve 6 uzmandır.

1. Durum (2 İdareci, 2 Uzman):

\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150

2. Durum (3 İdareci, 1 Uzman):

\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60

3. Durum (4 İdareci):

\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5

Toplam farklı seçim sayısı:

150 + 60 + 5 = 215

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi olası durumlara ayırarak analiz et.

Ekipte en az 2 idareci olması gerektiği için üç farklı durum söz konusudur:
1. Durum: 2 İdareci ve 2 Uzman
2. Durum: 3 İdareci ve 1 Uzman
3. Durum: 4 İdareci ve 0 Uzman

Kombinasyon problemlerinde 'en az' ifadesi kullanıldığında, şartı sağlayan tüm ayrık durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.

2

Birinci durumu (2 İdareci, 2 Uzman) hesapla.

C(5,2) \times C(6,2) = 10 \times 15 = 150

5 idareciden 2'sini ve 6 uzmandan 2'sini seçiyoruz. Gruplar birbirinden bağımsız olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

3

İkinci durumu (3 İdareci, 1 Uzman) hesapla.

C(5,3) \times C(6,1) = 10 \times 6 = 60

5 idareciden 3'ünü ve 6 uzmandan 1'ini seçiyoruz.

4

Üçüncü durumu (4 İdareci, 0 Uzman) hesapla.

C(5,4) \times C(6,0) = 5 \times 1 = 5

Ekibin tamamı idarecilerden oluşabilir.

5

Tüm durumları topla.

150 + 60 + 5 = 215

Ayrık durumların toplamı, istenen sonucun tamamını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Gruplama (Seçme)

Soru 5Soru →

Bir belediye, 'Sıfır Atık' projesi kapsamında düzenleyeceği bir farkındalık seminerinde sunum yapması için belirlenen birbirinden farklı $6$ çevre uzmanı arasından $2$ kişiyi konuşmacı olarak seçecektir.

Buna göre, bu $2$ kişilik konuşmacı grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

8

12

15

30

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

6 uzman arasından 2 kişinin seçimi 15 farklı şekilde yapılabilir.

Verilen problemde 6 farklı uzman arasından 2 kişinin seçilmesi istenmektedir. Kişilerin hangi sırayla seçildiği grubun yapısını değiştirmediği için bu bir kombinasyon problemidir.

C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

işlemi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nesne sayısını (

n

) ve seçilecek nesne sayısını (

r

) belirleyin.

n = 6

(uzmanlar) ve

r = 2

(seçilecek kişiler).

Kombinasyon formülünde kullanılacak temel değişkenleri belirlemek gerekir.

2

Kombinasyon formülünü (

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

) uygulayın.

C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}

Nesnelerin seçim sırası önemli olmadığında (grup oluşturma) kombinasyon kullanılır.

3

İşlemi sonuçlandırın.

\frac{30}{2} = 15

6 ve 5'in çarpımı olan 30'u, 2'ye bölerek sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme): Bir küme içerisinden sırasına bakılmaksızın belirli sayıda eleman seçme işlemidir. Temel özellikleri arasında

C(n, n) = 1

(hepsini seçme) ve

C(n, 0) = 1

(hiç seçmeme) yer alır.

İpuçları

1

Soruda 'seçme' ve 'grup oluşturma' ifadeleri geçtiği için kombinasyon yöntemini kullanmalısınız.

2

6 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçmek için

C(6, 2)

formülünü hatırlayın.

3

C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}

işlemini yaparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kişi sayısının 2 değil de 6 olduğu durumu (

C(6, 6)

) düşünerek temel özellikleri pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik yol olarak

n

sayısını

r

defa geriye doğru açıp (

6 \cdot 5

), bunu

r!

(

2 \cdot 1

) değerine bölebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir kaymakamlık makamı tarafından yürütülecek "İlçe Tanıtım Projesi" kapsamında $5$ idari personel ve $4$ saha personeli arasından $3$ kişilik bir çalışma komisyonu kurulacaktır. Kurulacak komisyonda her iki gruptan da (idari ve saha) en az birer personel bulunması zorunlu olduğuna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

60

70

80

84

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $70$

Cevap

Komisyon, her iki gruptan da en az bir kişi bulunması şartıyla toplam

70

farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru yanıt olan 70 sonucuna, istenen şartları sağlayan iki farklı senaryonun ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla ulaşılır. 2 idari ve 1 saha personelinin seçildiği durum 40 farklı şekilde, 1 idari ve 2 saha personelinin seçildiği durum ise 30 farklı şekilde gerçekleşebilir. Bu iki durumun toplamı olan 70, her iki gruptan en az birer personelin bulunduğu tüm olası kombinasyonları verir.

Adım Adım Çözüm

1

Grupları ve kontenjanı belirle.

İdari Personel:

5

, Saha Personeli:

4

, Toplam Seçilecek:

3

.

Problemi çözmek için mevcut havuzu ve kısıtları tanımlamamız gerekir.

2

Her iki gruptan en az birer kişi bulunma şartına uygun durumları listele.

Durum 1:

2

İdari ve

1

Saha personeli; Durum 2:

1

İdari ve

2

Saha personeli.

Üç kişilik grupta 'her iki gruptan en az bir kişi' şartı ancak bu iki senaryo ile sağlanabilir.

3

Birinci durum için kombinasyon hesabını yap.

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40

.

5

idari personelden

2

'si ve

4

saha personelinden

1

'i seçilir.

4

İkinci durum için kombinasyon hesabını yap.

\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30

.

5

idari personelden

1

'i ve

4

saha personelinden

2

'si seçilir.

5

Tüm uygun durumları topla.

40 + 30 = 70

.

Farklı olasılıklar toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplama Problemleri

İpuçları

1

3 kişilik komisyonda her iki gruptan da en az bir kişi olması demek, grubun '2 idari + 1 saha' veya '1 idari + 2 saha' şeklinde olması demektir.

2

Grup seçimlerinde sıralama önemli olmadığı için kombinasyon formülünü (

C(n,r)

) kullanmalısınız.

3

Tüm seçimlerin sayısından (

C(9,3)

), sadece idari personelin seçildiği durumları ve sadece saha personelinin seçildiği durumları çıkartarak da sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az 2 idari personel' şartı olsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz: Tüm olası 3 kişilik seçimlerin sayısından (

C(9,3) = 84

), istenmeyen durumları (hepsinin idari personel olduğu

C(5,3) = 10

durum ve hepsinin saha personeli olduğu

C(4,3) = 4

durum) çıkartalım:

84 - (10 + 4) = 70

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Bir Adalet Sarayı bünyesinde kurulan Uzlaştırma Komisyonu'nda görevlendirilmek üzere $6$ avukat ve $4$ ekonomist arasından $3$ kişilik bir heyet seçilecektir. Oluşturulacak bu heyette en az $2$ avukatın bulunması zorunlu olduğuna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

80

60

120

96

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Heyette en az 2 avukat bulunması şartıyla toplam 80 farklı seçim yapılabilir.

Toplam 80 farklı seçim, 2 avukatlı durum (

60

) ile 3 avukatlı durumun (

20

) toplanmasıyla elde edilir. Bu çözüm, sorudaki 'en az 2 avukat' şartını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Heyet için geçerli olan durumları belirlemek.

Durum 1: 2 Avukat ve 1 Ekonomist; Durum 2: 3 Avukat ve 0 Ekonomist.

"En az 2 avukat" ifadesi, 2 veya daha fazla (bu soruda en fazla 3) avukatın seçilebileceği anlamına gelir.

2

Durum 1 için seçim sayısını hesaplamak (

C(6,2) \times C(4,1)

).

C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

ve

C(4,1) = 4

olduğundan;

15 \times 4 = 60

.

6 avukat arasından 2 kişi ve 4 ekonomist arasından 1 kişi seçilmelidir.

3

Durum 2 için seçim sayısını hesaplamak (

C(6,3)

).

C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

.

Heyetin tamamının (3 kişi) avukatlardan oluşması durumudur.

4

Ayrı durumların sonuçlarını toplamak.

60 + 20 = 80

.

Birbirinden bağımsız iki farklı geçerli durum olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon kullanarak belirli şartlara uygun gruplar oluşturma ve toplama yoluyla sayma.

İpuçları

1

"En az 2 avukat" demek, heyette ya 2 avukat ya da 3 avukat olacağı anlamına gelir.

2

2 avukat seçtiğinizde yanına 1 ekonomist seçmelisiniz; 3 avukat seçtiğinizde yanına ekonomist seçmenize gerek kalmaz.

3

C(6,2) x C(4,1) işlemini ve C(6,3) işlemini ayrı ayrı yapıp sonuçları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer heyette 'en fazla 1 ekonomist' bulunması gerekseydi sonuç nasıl değişirdi? (Bu soruyla aynı anlama gelirdi!)

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarabiliriz. Tüm seçimler: C(10,3) = 120. İstenmeyen durumlar: 0 avukat seçimi (C(4,3) = 4) ve 1 avukat seçimi (C(6,1) x C(4,2) = 6 x 6 = 36). Toplam istenmeyen: 4 + 36 = 40. Sonuç: 120 - 40 = 80.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir belediyenin park ve bahçeler müdürlüğü, bir dinlenme alanına dikilmek üzere $5$ farklı çınar ağacı ve $4$ farklı ıhlamur ağacı fidanı arasından toplam $4$ fidan seçecektir. Seçilecek fidanlar arasında en az $3$ çınar ağacı fidanı bulunması gerektiğine göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

45

40

126

20

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $45$

Cevap

Seçim yapılabilecek toplam durum sayısı

45

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan 45 değeri, en az 3 çınar fidanı seçilmesi gereken iki senaryonun ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Birinci senaryo 3 çınar ve 1 ıhlamur seçimini (

10 \times 4 = 40

), ikinci senaryo ise sadece 4 çınar seçimini (

5 \times 1 = 5

) temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Koşula uygun durumların belirlenmesi

Durum 1:

3

çınar ve

1

ıhlamur; Durum 2:

4

çınar ve

0

ıhlamur.

Soruda 'en az 3 çınar' ifadesi kullanıldığı için çınar sayısının

3

veya daha fazla olması gerekir.

2

Durum 1 için kombinasyon hesaplanması

C(5, 3) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40

5

çınar arasından

3

,

4

ıhlamur arasından

1

fidan seçilir.

3

Durum 2 için kombinasyon hesaplanması

C(5, 4) \times C(4, 0) = 5 \times 1 = 5

5

çınar arasından

4

,

4

ıhlamur arasından hiç fidan seçilmemesi durumudur.

4

Toplam durum sayısının bulunması

40 + 5 = 45

Ayrı durumların toplamı, kısıta uygun tüm seçenekleri verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Toplama-Çarpma Yoluyla Sayma

İpuçları

1

'En az 3' ifadesi, çınar fidanı sayısının 3 veya 4 olabileceği anlamına gelir.

2

Toplam 4 fidan seçileceği için, 3 çınar seçildiğinde yanında mutlaka 1 ıhlamur fidanı da seçilmelidir.

3

Ayrı durumları (3Ç-1I ve 4Ç-0I) hesaplayıp sonuçları toplamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Koşulun 'en çok 2 çınar' olduğu durumu hesaplayarak farkı kavrayabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunda aday memur eğitimi alan $5$ kişi arasından, kurum içi bir projede görevlendirilmek üzere $2$ kişilik bir çalışma grubu seçilecektir.

Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

7

10

15

20

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Yapılabilecek farklı seçimlerin sayısı

10

olarak bulunur.

Verilen problemde

5

kişi arasından sıraya bakılmaksızın

2

kişi seçilmektedir. Bu bir kombinasyon problemidir ve

C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

formülü ile çözülür.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin bir seçme (kombinasyon) mi yoksa sıralama (permütasyon) mı olduğunu belirleyin.

Kombinasyon (Seçme)

Grupta seçilen kişilerin kendi aralarındaki sırası önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü (

C(n, r)

) yazın.

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

n

elemanlı bir kümeden

r

elemanlı alt kümeler oluşturmak için bu genel formül kullanılır.

3

n = 5

ve

r = 2

değerlerini formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

5! / (2! \cdot 3!)

işlemi sadeleştirildiğinde pay kısmında

5 \times 4

, payda kısmında ise

2 \times 1

kalır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme), nesnelerin sırasına bakılmaksızın oluşturulan gruplardır.

İpuçları

1

Bu soruda kişilerin hangi sırayla seçildiği bir fark yaratır mı, yoksa sadece kimlerin seçildiği mi önemlidir?

2

Sıralama önemli değilse bu bir kombinasyon problemidir. 'Seçme' kelimesine odaklanın.

3

5

elemanlı bir kümeden

2

eleman seçmek için

C(5, 2)

hesaplamasını yapmalısınız:

(5 \times 4) / (2 \times 1)

.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kişi sayısını artırarak (örneğin 3 kişi seçmek) sonucun değişip değişmediğini kontrol edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı olarak da düşünülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir yükseköğretim kurumunda oluşturulacak etik kurul için $6$ hukukçu ve $5$ akademisyen aday olarak belirlenmiştir. Bu adaylar arasından $4$ kişilik bir kurul oluşturulacaktır. Kurulda yer alacak hukukçu sayısının, akademisyen sayısından fazla olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

100

115

150

265

330

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 115

Cevap

115 farklı seçim yapılabilir.

Kurulda hukukçu sayısının akademisyen sayısından fazla olması için olası senaryoları ayrı ayrı hesaplayıp toplamalıyız. 4 kişilik bir kurulda hukukçuların çoğunlukta olduğu sadece iki senaryo vardır: ya 3 hukukçu 1 akademisyen seçilir ya da 4 üyenin tamamı hukukçu olur. Bu hesaplamalar sonucunda toplam 115 farklı seçim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen koşulları sağlayan durumları belirle

4 kişilik kurulda hukukçu sayısının akademisyen sayısından fazla olması için iki durum vardır:
1. Durum: 3 Hukukçu, 1 Akademisyen
2. Durum: 4 Hukukçu, 0 Akademisyen

Hukukçu sayısı > Akademisyen sayısı eşitsizliğini sağlayan tamsayı ikilileri (3,1) ve (4,0)'dır. (2,2) eşitliktir, sağlanmaz.

2

Birinci durum için kombinasyon sayısını hesapla (3 Hukukçu, 1 Akademisyen)

C(6,3) \times C(5,1) = 20 \times 5 = 100

6 hukukçudan 3'ü ve 5 akademisyenden 1'i seçilmelidir.

3

İkinci durum için kombinasyon sayısını hesapla (4 Hukukçu, 0 Akademisyen)

C(6,4) \times C(5,0) = 15 \times 1 = 15

6 hukukçudan 4'ü seçilmeli, akademisyen seçilmemelidir.

4

Tüm geçerli durumları topla

100 + 15 = 115

Bu iki durum birbirinden ayrı (ayrık) olaylar olduğu için sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Ayrık Durumların Toplanması

İpuçları

1

4 kişilik bir kurulda hukukçuların akademisyenlerden sayıca fazla olabileceği tüm sayısal dağılımları (Hukukçu, Akademisyen) yazarak başlayın.

2

Kurulda (3 Hukukçu, 1 Akademisyen) veya (4 Hukukçu, 0 Akademisyen) olabilir. Eşitlik durumu (2, 2) istenen şartı sağlamaz.

3

İki ayrı durumu hesaplayın:

C(6,3) \times C(5,1)

ve

C(6,4) \times C(5,0)

. Sonuçları toplayın.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Bir bakanlık bünyesinde yürütülen bir proje için $7$ kişilik bir aday listesi belirlenmiştir. Bu adaylar arasından, projeyi sahada takip etmek üzere $3$ kişilik bir denetim komisyonu oluşturulacaktır. Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde seçilebilir?

21

35

42

120

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Denetim komisyonu 35 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda verilen 7 aday arasından 3 kişilik bir grup seçilmesi istendiği için bu bir kombinasyon problemidir. Kombinasyon formülü gereği 7'nin 3'lüsü hesaplandığında (

C(7,3)

), sonuç 35 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle.

Sıralama önemli olmadığı, sadece bir grup seçildiği için kombinasyon (

C

) kullanılmalıdır.

Bir komisyon veya grup oluşturulurken kişilerin kendi içindeki sırası sonucu değiştirmez.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}

n

eleman arasından

r

eleman seçme formülü

C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

şeklindedir.

3

Matematiksel işlemi tamamla.

C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35

Ardışık çarpımlar yapılarak ve paydadaki

3!

(6) değerine bölünerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1

Soruda seçilen kişilerin sırasının önemli olup olmadığını düşünün.

2

Grup veya kurul oluşturma sorularında kombinasyon (

C(n,r)

) formülü kullanılır.

3

C(7,3)

hesaplamasında pay kısmına

7 \cdot 6 \cdot 5

, payda kısmına ise

3 \cdot 2 \cdot 1

yazarak sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Kombinasyonun temel mantığını kavradıktan sonra, 'en az bir' veya 'belirli bir kişinin bulunması' şartı içeren daha karmaşık soruları çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde bulunan $8$ farklı klasörden $4$ tanesi, dijitalleştirme işlemi için seçilecektir. Bu klasörlerden $2$ tanesi "Çok Gizli" ibaresine sahip olup, yapılacak seçimde bu iki klasörden en çok bir tanesinin yer alması istenmektedir. Buna göre, bu dijitalleştirme işlemi için yapılacak seçim kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?

15

40

50

55

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Arşiv birimindeki seçim işlemi, kısıtlamaya uygun olarak 55 farklı şekilde gerçekleştirilebilir.

En çok bir klasör seçilmesi şartı, 'hiç gizli klasör seçilmemesi' veya 'sadece bir gizli klasör seçilmesi' durumlarının toplamını ifade eder. 6 normal klasör arasından 4 normal klasörün seçilmesi

\binom{6}{4}=15

farklı şekilde; 2 gizli klasörden 1'i ve 6 normal klasörden 3'ünün seçilmesi ise

\binom{2}{1} \times \binom{6}{3} = 2 \times 20 = 40

farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki durumun toplamı 55 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Grupları ve seçim kısıtlamasını belirleme

Toplam

8

klasör;

2

adet Çok Gizli,

6

adet Normal klasör bulunmaktadır.

4

klasör seçilecektir ve Çok Gizli klasör sayısı

\leq 1

olmalıdır.

Problemi çözmek için uygun olan durumları kategorize etmek gerekir.

2

Hiç Çok Gizli klasörün seçilmediği durumu hesaplama

\binom{2}{0} \times \binom{6}{4} = 1 \times 15 = 15

"En çok bir" kısıtlaması, 0 adet gizli klasör seçilmesini kapsar.

3

Tam olarak bir adet Çok Gizli klasörün seçildiği durumu hesaplama

\binom{2}{1} \times \binom{6}{3} = 2 \times 20 = 40

"En çok bir" kısıtlaması, 1 adet gizli klasör seçilmesini kapsar.

4

Elde edilen durum sayılarını toplama

15 + 40 = 55

Birbirinden ayrık olan bu iki durumun toplamı, istenen kısıtlamaya uygun tüm seçimleri verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kısıtlı Durum Analizi

İpuçları

1

"En çok bir" ifadesi, 0 veya 1 adet gizli klasör seçilebileceği anlamına gelir.

2

Klasörleri 'Gizli' ve 'Normal' olarak iki gruba ayırıp, her durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalısın.

3

Toplam seçim sayısından (

C(8,4)

), her iki gizli klasörün de seçildiği (

C(2,2) \times C(6,2)

) durumları çıkararak da sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir' kısıtlamasıyla çözerek arasındaki mantık farkını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumların sayısından istenmeyen durumların (her iki gizli klasörün de seçildiği durumlar) çıkarılması:

\binom{8}{4} - \binom{2}{2} \times \binom{6}{2} = 70 - (1 \times 15) = 55

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir üniversitenin proje geliştirme biriminde 5 matematikçi ve 4 fizikçi görev yapmaktadır. Bu 9 kişilik ekipten 3 kişilik bir komisyon kurulacaktır.

Kurulacak komisyonda;
I. En az bir fizikçi bulunması,
II. Matematikçi Ahmet ile Fizikçi Burak'ın aynı anda bulunmaması
istenmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

63

67

70

74

77

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67

Cevap

Komisyon 67 farklı şekilde seçilebilir.

Problemi çözmek için 'Tümleyen Yöntemi' en pratik yoldur. Toplam seçim sayısından istenmeyen durumlar çıkarılır.

1. Tüm Durumlar: 9 kişiden 3 kişi seçimi:

C(9,3) = 84

.
2. İstenmeyen Durum 1 (Hiç Fizikçi Yok): Sadece 5 matematikçiden 3 kişi seçilirse fizikçi olmaz.

C(5,3) = 10

.
3. İstenmeyen Durum 2 (Ahmet ve Burak Birlikte): Ahmet ve Burak seçilirse, yanlarına 1 kişi daha gerekir (Kalan 7 kişiden).

C(7,1) = 7

.

Bu iki istenmeyen küme birbirinden bağımsızdır (ayrıktır). Çünkü 'Hiç fizikçi olmayan' grupta fizikçi Burak bulunamaz. Bu yüzden kesişim yoktur.

Sonuç:

84 - 10 - 7 = 67

.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası durumların sayısını hesapla (hiçbir koşul yokmuş gibi).

C(9,3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

Toplam 5 matematikçi + 4 fizikçi = 9 kişi vardır. Bunlardan 3 kişi seçilecektir.

2

Birinci koşula uymayan (hiç fizikçi olmayan) durumları hesapla.

C(5,3) = 10

En az bir fizikçi olması istendiğine göre, grubun tamamının matematikçilerden oluştuğu durumlar çıkarılmalıdır. 5 matematikçiden 3'ü seçilir.

3

İkinci koşula uymayan (Ahmet ve Burak'ın birlikte olduğu) durumları hesapla.

C(7,1) = 7

Ahmet (Mat) ve Burak (Fiz) grupta ise, kalan 1 kişi diğer 7 kişiden seçilir. Not: Bu durumlarda zaten bir fizikçi (Burak) bulunduğu için, bu durumlar 'sadece matematikçi' kümesiyle kesişmez.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

84 - 10 - 7 = 67

İstenmeyen iki durum birbirinden ayrıktır (birinde hiç fizikçi yok, diğerinde Burak var). Bu yüzden her ikisi de toplamdan doğrudan çıkarılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Tümleyen Yöntemi

İpuçları

1

Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen iki durum var: 1) Grupta hiç fizikçi olmaması, 2) Ahmet ve Burak'ın birlikte olması.

3

'Hiç fizikçi olmayan grup' (sadece matematikçiler) ile 'Ahmet ve Burak'ın olduğu grup' (Burak fizikçidir) birbirinden tamamen farklı durumlardır. Bu iki sayıyı toplam durumdan ayrı ayrı çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalara sahip, ancak 'veya' bağlacı içeren olasılık soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Durumları tek tek toplayarak çözüm:
1) 1 Fizikçi, 2 Matematikçi:
- Fizikçi Burak ise (Ahmet olamaz): 1 seçim * C(4,2) = 6 durum
- Fizikçi Burak değilse (3 aday): C(3,1) * C(5,2) = 3 * 10 = 30 durum
Toplam: 36
2) 2 Fizikçi, 1 Matematikçi:
- Fizikçilerden biri Burak ise (Ahmet olamaz): C(3,1) * C(4,1) = 12 durum
- Fizikçilerden biri Burak değilse: C(3,2) * C(5,1) = 15 durum
Toplam: 27
3) 3 Fizikçi, 0 Matematikçi: C(4,3) = 4 durum

Genel Toplam: 36 + 27 + 4 = 67

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 14Soru →

Bir Tapu ve Kadastro Müdürlüğü'nün arşiv biriminde görevli 6 memur arasından, yıl sonu dosya sayım işlemlerini yürütmek üzere 2 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Bu komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

8

12

15

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Komisyon 15 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda verilen 6 memur arasından 2 kişinin seçilmesi istenmektedir. Komisyon oluşturulurken seçilen kişilerin sıralaması önemli değildir (Ali ile Veli'nin seçilmesi, Veli ile Ali'nin seçilmesi aynı durumu ifade eder). Bu nedenle işlem bir kombinasyon (seçme) işlemidir. 6'nın 2'li kombinasyonu C(6,2) = (6.5)/(2.1) = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle

Sıralama önemli olmadığı için kombinasyon işlemi kullanılmalıdır.

Komisyon üyelerinin seçilme sırası (örneğin Ali-Ayşe veya Ayşe-Ali) sonucu değiştirmez, bu bir seçme (kombinasyon) problemidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula

C(6, 2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15

6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için C(n,r) = n! / [r!(n-r)!] formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

Soru 15Soru →

Ticaret Bakanlığı bünyesinde oluşturulacak $5$ kişilik bir "Fuar Denetim Heyeti" için, kurumda görevli $4$ Dış Ticaret Uzmanı ve $6$ Gümrük Denetmeni aday olarak belirlenmiştir.

Heyetin oluşturulmasında;
* Her iki unvandan da (Uzman ve Denetmen) en az $2$ 'şer kişinin bulunması,
* Dış Ticaret Uzmanları arasından, evli olan Kemal ve Lale'nin çıkar çatışması nedeniyle aynı heyette birlikte yer almaması

şartları aranmaktadır.

Buna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

110

120

130

150

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

Heyet 130 farklı şekilde seçilebilir.

Toplam 5 kişilik heyet için 'en az 2 Uzman ve en az 2 Denetmen' şartı, heyetin ya (2 Uzman, 3 Denetmen) ya da (3 Uzman, 2 Denetmen) şeklinde olmasını gerektirir. Bu iki durumun toplam olasılığı 180'dir. Ancak Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu durumlar yasaklanmıştır. Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu alt durumlar hesaplandığında (20 + 30 = 50) bulunur. Tüm durumlardan bu sayı çıkarıldığında 130 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm geçerli gruplandırmaları belirle (Kemal ve Lale kısıtı olmadan).

5 kişilik heyet için 'En az 2 Uzman, En az 2 Denetmen' şartını sağlayan iki durum vardır: (2 Uzman, 3 Denetmen) veya (3 Uzman, 2 Denetmen).

Toplam kişi sayısı 5 olduğu için ve her gruptan en az 2 kişi istendiği için dağılım sadece 2+3 veya 3+2 şeklinde olabilir.

2

Her bir durumun kombinasyon sayısını hesapla ve topla.

Durum 1 (2U, 3D):

C(4,2) \times C(6,3) = 6 \times 20 = 120

. Durum 2 (3U, 2D):

C(4,3) \times C(6,2) = 4 \times 15 = 60

. Toplam (Kısıtsız):

120 + 60 = 180

.

Olası tüm heyet seçimlerinin sayısı (evlilik kısıtı gözetilmeksizin) 180'dir.

3

İstenmeyen durumu (Kemal ve Lale'nin birlikte olduğu) hesapla.

Kemal ve Lale heyetteyse, geriye 3 koltuk kalır. Bu koltuklar, ana şartı (en az 2U, 2D) bozmayacak şekilde doldurulmalıdır.
1. Durum (2U, 3D idiyse): K ve L zaten 2 Uzman kotasını doldurur. Geriye 0 Uzman, 3 Denetmen seçilmelidir:

C(2,0) \times C(6,3) = 1 \times 20 = 20

.
2. Durum (3U, 2D idiyse): K ve L alındı, 1 Uzman daha lazım. Geriye 1 Uzman, 2 Denetmen seçilmelidir:

C(2,1) \times C(6,2) = 2 \times 15 = 30

.
Toplam İstenmeyen:

20 + 30 = 50

.

Bu 50 durumda Kemal ve Lale birlikte bulunmaktadır, bu yüzden toplamdan çıkarılmalıdır.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

180 - 50 = 130

.

Toplam geçerli olasılık - Kısıtlı olasılık = Sonuç.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemlerinde 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' Yöntemi

İpuçları

1

Önce Kemal ve Lale kısıtlamasını görmezden gelerek, 'En az 2 Uzman, En az 2 Denetmen' şartını sağlayan tüm heyetlerin sayısını bulun.

2

Heyet ya (2 Uzman + 3 Denetmen) ya da (3 Uzman + 2 Denetmen) şeklinde oluşabilir. Bu iki durumun toplam sayısını hesaplayın.

3

Toplam sayıdan (180), Kemal ve Lale'nin 'birlikte' bulunduğu ve şartları sağlayan istenmeyen durumları (50) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az 1'i bulunsun' şartıyla veya 'birbirine küs 3 kişi' senaryosuyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Direkt yöntem: Kemal ve Lale'nin olmadığı, sadece Kemal'in olduğu, sadece Lale'nin olduğu tüm durumları ayrı ayrı toplayabilirsiniz. (K yok L yok) + (K var L yok) + (L var K yok).

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Kombinasyon (seçme), bir küme içerisinden elemanların sıralamasına bakılmaksızın belirli bir grup oluşturma işlemidir. Bir belediyenin fen işleri daire başkanlığında görevli birbirinden farklı $7$ mimar arasından, bir restorasyon projesinde görevlendirilmek üzere $2$ kişilik bir çalışma ekibi seçilecektir. Buna göre, bu çalışma ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

42

21

14

7

49

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Verilen 7 mimar arasından 2 kişilik bir grubun seçilmesi işlemi 21 farklı şekilde yapılabilir.

Soruda birbirinden farklı

7

mimar arasından

2

kişilik bir çalışma grubunun seçilmesi istenmektedir. Gruptaki kişilerin kendi aralarındaki sıralaması (örneğin Ali ve Ayşe'nin seçilmesi ile Ayşe ve Ali'nin seçilmesi) sonucu değiştirmediği için kombinasyon işlemi yapılır.

C(7, 2)

işlemi sonucunda

21

farklı grup oluşturulabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Kombinasyon formülünü belirle

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

Sıralamanın önemli olmadığı seçme işlemlerinde kombinasyon formülü kullanılır.

2

Değerleri formülde yerine yaz

C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}

Toplam mimar sayısı

n=7

ve seçilecek kişi sayısı

r=2

olarak belirlenmiştir.

3

Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek hesapla

C(7, 2) = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21

İşlemi kolaylaştırmak için

7!

ifadesi

5!

ifadesine kadar açılır ve paydadaki

5!

ile sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1

Bu soruda kişilerin seçilme sırası önemli midir yoksa sadece hangi iki kişinin grupta olduğu mu önemlidir?

2

Bir kümeden eleman seçmek için kombinasyon (

C(n, r)

) formülü kullanılır. Burada

n=7

ve

r=2

değerlerini kullanmalısın.

3

İşlemi hızlandırmak için

C(7, 2)

ifadesini

\frac{7 \times 6}{2 \times 1}

şeklinde pratik olarak hesaplayabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Kombinasyonun temelini kavradıktan sonra, belirli kişilerin mutlaka grupta bulunması gereken veya bulunmaması gereken durumları içeren soruları çözmeyi deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun özelliklerinden biri

C(n, r) = C(n, n-r)

olmasıdır. Yani

7

kişiden

2

kişiyi seçmek, dışarıda kalacak olan

5

kişiyi seçmekle aynı sayıda durum (

C(7, 5)

) oluşturur.

Tahmini Süre:45s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumu tarafından personelin mesleki gelişimi için $8$ farklı uzmanlık eğitimi açılmıştır. Bir memurun bu eğitimlerden herhangi $2$ tanesini seçerek bir eğitim paketi oluşturması istenmektedir. Buna göre, bu memur kaç farklı eğitim paketi oluşturabilir?

16

24

28

56

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $28$

Cevap

Memur,

8

farklı eğitim arasından

2

tanesini

28

farklı şekilde seçerek eğitim paketi oluşturabilir.

Doğru cevap olan

28

seçeneği,

8

farklı nesne arasından

2

tanesinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren

C(8, 2)

işleminin sonucudur. Matematiksel olarak

\frac{8 \times 7}{2 \times 1}

işlemi bizi bu sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle.

Kombinasyon (Seçme)

Soruda eğitimlerin seçilme sırası önemli değil, sadece hangi eğitimlerin bir araya getirildiği (grup oluşturma) önemli olduğu için kombinasyon kullanılır.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)! \cdot 2!}

n

elemanlı bir kümeden

r

eleman seçme formülü

C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}

şeklindedir.

3

İşlemi sadeleştirerek sonucu bul.

\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28

Faktöriyel açılımı yapıldığında pay kısmındaki

8 \cdot 7

ifadesi, paydadaki

2

ile sadeleşerek sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.

İpuçları

1

Bu soruda eğitimlerin hangi sırayla seçildiği değil, hangi eğitimlerin seçildiği önemlidir. Bu durum bizi kombinasyona yönlendirir.

2

8

elemanlı bir kümenin

2

elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmalısınız.

C(8, 2)

formülünü hatırlayın.

3

C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}

işlemini yaparak sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Seçilen eğitim sayısı

3

olsaydı sonucun nasıl değişeceğini hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonu pratik yoldan hesaplamak için

n

sayısını

r

kadar geriye doğru açıp (

8 \cdot 7

),

r

faktöriyele (

2 \cdot 1

) bölebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 18Soru →

Bir Kalkınma Ajansı, bölgesel kalkınma planı hazırlıkları kapsamında $5$ farklı Doğu Anadolu bölgesi ve $4$ farklı Güneydoğu Anadolu bölgesi arasından inceleme yapmak üzere toplam $3$ bölgeyi seçecektir. Seçilecek bölgeler arasında her iki gruptan da en az birer tane bölge bulunması şartıyla, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

30

40

70

84

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $70$

Cevap

Seçim, koşulları sağlayan durumların toplamı olan 70 farklı şekilde yapılabilir.

Doğru cevap olan 70, soruda belirtilen 'her iki gruptan en az birer bölge seçilmesi' şartına uyan iki farklı senaryonun toplamıdır: (1 Doğu, 2 Güneydoğu) seçimi 30 farklı yolla, (2 Doğu, 1 Güneydoğu) seçimi ise 40 farklı yolla yapılır. Toplamda 70 farklı seçim imkanı doğar.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullara uygun durumları belirle.

Durum 1: 1 Doğu ve 2 Güneydoğu bölgesi. Durum 2: 2 Doğu ve 1 Güneydoğu bölgesi.

Toplam 3 bölge seçilmesi gerektiği ve her iki gruptan da en az birer tane olması şartı bu iki senaryoyu zorunlu kılar.

2

Durum 1 için kombinasyonları hesapla.

\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30

.

5 Doğu bölgesinden 1 tane ve 4 Güneydoğu bölgesinden 2 tane seçme işlemidir.

3

Durum 2 için kombinasyonları hesapla.

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40

.

5 Doğu bölgesinden 2 tane ve 4 Güneydoğu bölgesinden 1 tane seçme işlemidir.

4

Elde edilen sonuçları topla.

30 + 40 = 70

.

Farklı seçim senaryoları toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplandırma

İpuçları

1

Soruda 'en az bir' şartı varsa, olası tüm senaryoları (1D-2G veya 2D-1G) ayrı ayrı düşünmelisiniz.

2

Doğu bölgesi için

\binom{5}{r}

ve Güneydoğu bölgesi için

\binom{4}{k}

kombinasyonlarını çarpıp sonuçları toplayın.

3

\binom{5}{1} \cdot \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \cdot \binom{4}{1}

işleminin sonucunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Seçilecek bölge sayısı 4 olsaydı ve şart aynı kalsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan kısıta uymayanları çıkarabilirsiniz. Tüm durumlar

\binom{9}{3} = 84

. Kısıta uymayanlar: Sadece Doğu seçilmesi

\binom{5}{3} = 10

, Sadece Güneydoğu seçilmesi

\binom{4}{3} = 4

.

84 - (10 + 4) = 70

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir Bakanlığın Teftiş Kurulu Başkanlığında görevli $4$ müfettiş, $5$ uzman ve $3$ denetçi arasından, yürütülecek özel bir soruşturma için $4$ kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Bu grupta her unvandan (müfettiş, uzman ve denetçi) en az bir kişinin bulunması zorunludur. Ayrıca, müfettişlerden biri olan Ahmet Bey ile uzmanlardan biri olan Banu Hanım'ın, geçmişte aynı dosyada görev aldıkları için bu grupta birlikte yer almamaları gerekmektedir.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

222

246

258

270

285

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 246

Cevap

Çalışma grubu 246 farklı şekilde oluşturulabilir.

Sorunun çözümü iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada, özel kısıtlama (Ahmet ve Banu durumu) yok sayılarak, 'her unvandan en az bir kişi' şartını sağlayan tüm olası gruplar hesaplanır. 4 kişilik bir ekip 3 farklı unvana şu şekillerde dağılabilir: (2M, 1U, 1D), (1M, 2U, 1D) veya (1M, 1U, 2D). Bu durumların toplamı 270'tir. İkinci aşamada, Ahmet ve Banu'nun birlikte olduğu durumlar hesaplanır. Ahmet ve Banu seçildiğinde geriye 2 kişi seçilmelidir ve bu kişiler kalan havuzdan seçilirken 'en az bir Denetçi' şartı korunmalıdır. Bu hesaptan 24 istenmeyen durum bulunur. Sonuç 270 - 24 = 246'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm gruplardan en az bir kişinin bulunması şartını sağlayan dağılımları belirle.

3 farklı dağılım senaryosu vardır: (2 Müfettiş, 1 Uzman, 1 Denetçi), (1 Müfettiş, 2 Uzman, 1 Denetçi) ve (1 Müfettiş, 1 Uzman, 2 Denetçi).

Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 farklı unvan var. Bu durumda bir unvandan 2 kişi, diğerlerinden 1'er kişi seçilmelidir.

2

Her senaryo için 'birlikte bulunmama' şartı olmaksızın toplam durum sayısını hesapla.

Senaryo 1: C(4,2)·C(5,1)·C(3,1) = 6·5·3 = 90. Senaryo 2: C(4,1)·C(5,2)·C(3,1) = 4·10·3 = 120. Senaryo 3: C(4,1)·C(5,1)·C(3,2) = 4·5·3 = 60. Toplam: 270.

Kombinasyon formülü C(n,r) kullanılarak her grubun seçim sayısı çarpılır ve senaryolar toplanır.

3

Ahmet Bey ve Banu Hanım'ın BİRLİKTE bulunduğu istenmeyen durumları hesapla.

Ahmet (Müfettiş) ve Banu (Uzman) seçildiğinde, kalan 2 kişi için en az 1 Denetçi şartı sağlanmalıdır. Kalan havuz: 3 Müfettiş, 4 Uzman, 3 Denetçi. Seçimler: (1D, 1M), (1D, 1U) veya (2D).

Grupta zaten 1 Müfettiş ve 1 Uzman olduğu için, kalan 2 kişinin seçimi Denetçi şartına göre yapılmalıdır.

4

İstenmeyen durumların sayısal değerini bul.

(1 Denetçi, 1 Müfettiş): C(3,1)·C(3,1) = 9. (1 Denetçi, 1 Uzman): C(3,1)·C(4,1) = 12. (2 Denetçi): C(3,2) = 3. Toplam İstenmeyen = 9 + 12 + 3 = 24.

Ahmet ve Banu'nun yanına eklenecek kişilerin kombinasyonları hesaplanır.

5

Toplam durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkar.

270 - 24 = 246.

Tüm geçerli dağılımlardan kısıtlanan özel durumu çıkarmak (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum) en güvenilir yöntemdir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Koşullu Seçme ve Ayrık Durumlar)

İpuçları

1

Önce Ahmet Bey ve Banu Hanım kısıtlamasını görmezden gelerek, 4 kişilik ekibin unvanlara göre nasıl dağılabileceğini (örneğin kaç müfettiş, kaç uzman...) düşünün.

2

Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 unvan var. Dağılım ancak (2,1,1) şeklinde olabilir. Üç farklı durumu (Müfettiş çoğunlukta, Uzman çoğunlukta, Denetçi çoğunlukta) ayrı ayrı toplayın.

3

Tüm durumlardan (270), Ahmet ve Banu'nun BİRLİKTE olduğu durumları çıkarın. Ahmet ve Banu zaten seçiliyse, yanlarına 2 kişi daha gerekir ve bunlardan en az biri Denetçi olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en az bir' şartı yerine 'en çok bir' şartı olan ve yine belirli kişilerin çakışmasını içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrudan Yöntem: Ahmet Var/Banu Yok + Ahmet Yok/Banu Var + Ahmet Yok/Banu Yok durumlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz. Ancak bu yöntem daha uzun sürer ve işlem hatası riski daha yüksektir.

Tahmini Süre:3m 30s

Soru 20Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü bünyesinde görevlendirilmek üzere oluşturulacak $3$ kişilik bir mobil sağlık ekibi için $5$ doktor ve $6$ hemşire arasından seçim yapılacaktır.

Oluşturulacak bu ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire bulunması zorunlu olduğuna göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

75

145

135

155

165

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

Ekipte en az bir doktor ve bir hemşire bulunması şartıyla toplam 135 farklı seçim yapılabilir.

Doğru yanıt olan 135, problemin gerektirdiği her iki geçerli durumu (1 doktor - 2 hemşire veya 2 doktor - 1 hemşire) kapsar. Alternatif bir yöntem olarak, tüm durumların sayısından (

\binom{11}{3}=165

), istenmeyen durumlar olan 'hiç doktor olmaması' (

\binom{6}{3}=20

) ve 'hiç hemşire olmaması' (

\binom{5}{3}=10

) çıkarılarak da

165 - 20 - 10 = 135

sonucuna ulaşılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geçerli senaryoları belirle

Durum 1: 1 Doktor ve 2 Hemşire, Durum 2: 2 Doktor ve 1 Hemşire

Toplam 3 kişi seçilecek ve her gruptan en az birer kişi olması gerekmektedir.

2

Birinci durum için kombinasyonları hesapla

\binom{5}{1} \times \binom{6}{2} = 5 \times 15 = 75

5 doktor arasından 1, 6 hemşire arasından 2 kişi seçilir.

3

İkinci durum için kombinasyonları hesapla

\binom{5}{2} \times \binom{6}{1} = 10 \times 6 = 60

5 doktor arasından 2, 6 hemşire arasından 1 kişi seçilir.

4

Bulunan sonuçları topla

75 + 60 = 135

İki farklı bağımsız durumun toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli kısıtlamalar altında alt küme oluşturma (Kombinasyon)

İpuçları

1

3 kişilik ekipte en az bir doktor ve en az bir hemşire olması gerekiyorsa, ekipte kaç doktor olabilir?

2

Ekip ya '1 doktor, 2 hemşire' ya da '2 doktor, 1 hemşire' şeklinde olmalıdır. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

3

Tüm olası 3'lü seçimlerin sayısından, sadece doktorlardan veya sadece hemşirelerden oluşan seçimleri çıkararak daha hızlı sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Seçilecek kişi sayısı 4'e çıkarılsaydı ve şartlar aynı kalsaydı çözüm nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar - (Sadece Doktorlar + Sadece Hemşireler) =

\binom{11}{3} - (\binom{5}{3} + \binom{6}{3}) = 165 - (10 + 20) = 135

.

Tahmini Süre:1m 30s

Kombinasyon (Seçme)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram