Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2+mx−12x2−x−6 \frac{x^2 + mx - 12}{x^2 - x - 6}
ifadesi sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, mm'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    -5
  2. -3Cevap
  3. C
    1
  4. D
    3
  5. E
    5

Cevap

m değerlerinin toplamı -3'tür.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay kısmındaki x2+mx−12x^2 + mx - 12 ifadesinin, paydadaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesinin çarpanlarından en az birini barındırması gerekir. Paydanın çarpanları (x−3)(x-3) ve (x+2)(x+2)'dir. Bu çarpanlar payı sıfır yapan değerlerdir. x=3x=3 için m=1m=1 ve x=−2x=-2 için m=−4m=-4 bulunur. Bu değerlerin toplamı -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Payda ifadesini çarpanlarına ayırarak köklerini bul.
x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) olduğu için, ifadenin tanımsız olduğu noktalar x=3x = 3 ve x=−2x = -2'dir.
Kesrin sadeleşebilmesi için pay ve paydanın en az bir ortak çarpanı olmalıdır. Bu ortak çarpan paydanın çarpanlarından biri, yani (x−3)(x-3) veya (x+2)(x+2) olmalıdır.
2
Pay ifadesinde xx yerine paydanın köklerini yazarak mm değerlerini hesapla (Polinom bölmesi kalanı 0 olmalı mantığıyla).
Durum 1: Ortak çarpan (x−3)(x-3) ise, pay x=3x=3 için 0 olmalıdır. 32+3m−12=0⇒9+3m−12=0⇒3m=3⇒m=13^2 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 9 + 3m - 12 = 0 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1.
Eğer (x−3)(x-3) ortak çarpansa, pay polinomu x−3x-3'e tam bölünür, yani P(3)=0P(3)=0 olur.
3
İkinci kök için işlemi tekrarla.
Durum 2: Ortak çarpan (x+2)(x+2) ise, pay x=−2x=-2 için 0 olmalıdır. (−2)2+(−2)m−12=0⇒4−2m−12=0⇒−2m=8⇒m=−4(-2)^2 + (-2)m - 12 = 0 \Rightarrow 4 - 2m - 12 = 0 \Rightarrow -2m = 8 \Rightarrow m = -4.
Eğer (x+2)(x+2) ortak çarpansa, pay polinomu x+2x+2'ye tam bölünür, yani P(−2)=0P(-2)=0 olur.
4
Bulunan mm değerlerini topla.
1+(−4)=−31 + (-4) = -3.
Soruda mm'nin alabileceği değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi için pay ve paydanın ortak bir çarpana (köke) sahip olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru