Examkin

Çarpanlara Ayırma

41 soru

Soru 1Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x3−3x2+3x−2 x^3 - 3x^2 + 3x - 2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x^2 - x + 1

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri x2−x+1x^2 - x + 1 ifadesidir.
Verilen ifade (x−1)3−1(x-1)^3 - 1 şeklinde düzenlendiğinde, iki küp farkı özdeşliği kullanılarak (x−2)(x2−x+1)(x-2)(x^2 - x + 1) çarpanlarına ulaşılır. Seçenekler arasında bu çarpanlardan biri olan x2−x+1x^2 - x + 1 bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin ilk üç terimini inceleyerek tam küp açılımına benzetme
x3−3x2+3xx^3 - 3x^2 + 3x ifadesi, (x−1)3=x3−3x2+3x−1(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 açılımını çağrıştırır.
Çarpanlara ayırmada terim ekleyip çıkarma veya gruplandırma yapabilmek için bilinen özdeşliklere benzetmek gerekir.
2
Verilen ifadeyi (x−1)3(x-1)^3 cinsinden yazmak için düzenleme
x3−3x2+3x−2=(x3−3x2+3x−1)−1=(x−1)3−13x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 1 = (x-1)^3 - 1^3
İfadeyi iki küp farkı özdeşliğine dönüştürerek çarpanlarına ayırılabilir hale getirmek.
3
İki küp farkı özdeşliğini uygulama: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Burada a=x−1a = x-1 ve b=1b = 1 alınırsa:
((x−1)−1)⋅((x−1)2+(x−1)(1)+12)((x-1) - 1) \cdot ((x-1)^2 + (x-1)(1) + 1^2)
Özdeşliği kullanarak ifadeyi çarpım durumuna getirmek.
4
Parantez içlerini düzenleyerek en sade hali bulma
Birinci çarpan: (x−2)(x - 2)
İkinci çarpan: (x2−2x+1)+(x−1)+1=x2−x+1(x^2 - 2x + 1) + (x - 1) + 1 = x^2 - x + 1
Sonuç: (x−2)(x2−x+1)(x-2)(x^2 - x + 1)
Seçeneklerdeki doğru çarpanı tespit etmek.

Anahtar Kavram

İki Küp Farkı ve Tam Küp Açılımı

İpuçları

1
İfadenin ilk üç terimi (x3−3x2+3xx^3 - 3x^2 + 3x), tanıdık bir özdeşliğin açılımına benzemektedir.
2
Bu ifadeyi (x−1)3(x-1)^3 açılımına benzetmeye çalışın. Sabit sayı olan -2'yi nasıl parçalayabileceğinizi düşünün.
3
İfadeyi (x−1)3−1(x-1)^3 - 1 şeklinde yazın ve a3−b3a^3 - b^3 (iki küp farkı) özdeşliğini uygulayın.

Daha Fazla Pratik

x^3 + 3x^2 + 3x + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılması sorusu ile tam küp toplamı ve terim ekleme konusunu pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemi: Seçeneklerdeki ifadelerin köklerini deneyerek (örneğin x=2 kökü denklemi sağlar mı?) veya ifadeyi (x-2)'ye bölerek diğer çarpan bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →
xx gerçel sayısı için,
x4+64x2−4x+8=14x \frac{x^4 + 64}{x^2 - 4x + 8} = 14x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

x değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen ifadenin payı olan x4+64x^4 + 64, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (x2+4x+8)(x2−4x+8)(x^2+4x+8)(x^2-4x+8) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu işlem sonucunda paydadaki ifade ile sadeleşme gerçekleşir ve geriye x2+4x+8x^2+4x+8 kalır. Bu ifade 14x14x'e eşitlendiğinde x2−10x+8=0x^2-10x+8=0 denklemi elde edilir. Kökler toplamı formülü (−b/a-b/a) uygulandığında cevap 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için terim ekleyip çıkararak tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.
x4+64=x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−(4x)2x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2
Bu ifade Sophie Germain özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
2
Elde edilen iki kare farkı ifadesi açılır.
(x2+8−4x)(x2+8+4x)=(x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x) = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
3
Kesirli ifade sadeleştirilir.
(x2−4x+8)(x2+4x+8)x2−4x+8=x2+4x+8 \frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 - 4x + 8} = x^2 + 4x + 8
Pay ve paydadaki ortak çarpan olan (x2−4x+8)(x^2 - 4x + 8) sadeleşir.
4
Elde edilen ifade verilen eşitliğin sağ tarafına (14x14x) eşitlenerek ikinci dereceden denklem oluşturulur.
x2+4x+8=14x⇒x2−10x+8=0x^2 + 4x + 8 = 14x \Rightarrow x^2 - 10x + 8 = 0
Denklemin köklerini bulmak veya kökler toplamını hesaplamak için standart forma getirilir.
5
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı hesaplanır.
x1+x2=−ba=−−101=10x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denklemi için kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma (Sophie Germain Özdeşliği)

İpuçları

1
x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için ifadeyi (x2+8)2(x^2+8)^2 tam karesine benzetmeye çalışın.
2
İfadeye 16x216x^2 ekleyip çıkararak iki kare farkı oluşturun: (x2+8)2−(4x)2(x^2+8)^2 - (4x)^2.

Daha Fazla Pratik

x4+4x^4 + 4 ifadesinin çarpanlarını bulmayı deneyerek bu yöntemi pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yaparak x4+64x^4+64 ifadesini x2−4x+8x^2-4x+8 ifadesine bakkal bölmesi yöntemiyle de bölebilirsiniz, ancak bu daha uzun sürer.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Bir belediye, alanı 14x214x^2 metrekare olan bir park alanının 21x21x metrekarelik kısmına çocuk oyun grubu kurmayı planlamaktadır. Buna göre, parkın oyun grubu dışında kalan kısmının alanını metrekare cinsinden ifade eden çarpanlara ayrılmış biçim aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7x(2x−3)7x(2x - 3)

Cevap

Parkın kalan alanını veren ifade 7x(2x−3)7x(2x - 3) şeklindedir.
Verilen 14x2−21x14x^2 - 21x ifadesinde, 1414 ve 2121 sayılarının her ikisi de 77 ile tam bölünür. Ayrıca her iki terimde de en az bir tane xx değişkeni bulunmaktadır. Dolayısıyla ortak çarpan 7x7x olarak belirlenir. Bu çarpan dışarı alındığında 14x2/7x=2x14x^2 / 7x = 2x ve −21x/7x=−3-21x / 7x = -3 değerleri parantez içine yazılır, böylece 7x(2x−3)7x(2x - 3) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan alanı matematiksel olarak ifade edin.
14x2−21x14x^2 - 21x
Toplam alandan (14x214x^2) kullanılan alanın (21x21x) çıkarılması gerekir.
2
Katsayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) belirleyin.
EBOB(14,21)=7EBOB(14, 21) = 7
Her iki terimi de tam bölen en büyük sayıyı dışarı alarak ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
3
Değişkenlerin ortak çarpanını belirleyin.
x2x^2 ve xx terimleri için ortak çarpan xx olur.
Her iki terimde de bulunan değişkenin en küçük üssü ortak çarpan olarak alınır.
4
İfadeyi ortak çarpan parantezine alın.
7x(2x−3)7x(2x - 3)
Dışarı alınan 7x7x çarpanı ile terimlerin bölünmesi sonucu elde edilen değerler (2x2x ve −3-3) parantez içine yazılır.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma, bir ifadedeki her terimi bölen en büyük sayı ve değişkenin parantez dışına çıkarılması işlemidir.

İpuçları

1
Önce 1414 ve 2121 sayılarını tam bölen en büyük sayıyı düşünün.
2
Hem x2x^2 hem de xx ifadesinde ortak olan en büyük değişken çarpanını belirleyin.
3
Bulduğunuz ortak çarpanı (7x7x) parantez dışına yazıp, her bir terimi bu çarpana bölerek parantez içini doldurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 12a2+8a12a^2 + 8a ifadesini ortak çarpan parantezine almayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x4+64x2+4x+8−x2+4x \frac{x^4 + 64}{x^2 + 4x + 8} - x^2 + 4x
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin en sade hâli 8 sayısıdır.
Verilen rasyonel ifadenin payı olan x4+64x^4 + 64 ifadesi, 16x216x^2 eklenip çıkarılarak (x2+8)2−(4x)2(x^2+8)^2 - (4x)^2 biçimine dönüştürülür. İki kare farkı ile çarpanlarına ayrıldığında (x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2-4x+8)(x^2+4x+8) elde edilir. Paydadaki terimle sadeleşme sonrası kalan x2−4x+8x^2-4x+8 ifadesi, dışarıdaki −x2+4x-x^2+4x ile toplandığında tüm değişkenler birbirini yok eder ve sonuç sabit bir değer olan 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x4+64x^4 + 64 ifadesini tam kareye tamamlamak için gerekli terimi belirleme
x4=(x2)2x^4 = (x^2)^2 ve 64=8264 = 8^2 olduğundan, ifadenin (x2+8)2(x^2+8)^2 olabilmesi için 2⋅x2⋅8=16x22 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2 terimi gereklidir.
İfadeyi tam kare farkı biçimine getirebilmek için uygun bir terim ekleyip çıkarmak gerekir (Sophie Germain Özdeşliği).
2
16x216x^2 terimini ekleyip çıkarma ve gruplandırma
x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−(4x)2x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2+8)^2 - (4x)^2
Tam kare ifade elde edildikten sonra dışarıda kalan terimin de bir tam kare olması, iki kare farkı uygulanmasını sağlar.
3
İki kare farkı özdeşliğini uygulama
(x2+8−4x)(x2+8+4x)(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralı kullanılarak pay kısmı çarpanlarına ayrılır.
4
Rasyonel ifadeyi sadeleştirme
(x2−4x+8)(x2+4x+8)x2+4x+8=x2−4x+8 \frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 + 4x + 8} = x^2 - 4x + 8
Pay ve paydadaki ortak olan (x2+4x+8)(x^2 + 4x + 8) terimleri sadeleşir.
5
Kalan terimler ile çıkarma işlemini tamamlama
(x2−4x+8)−x2+4x=8(x^2 - 4x + 8) - x^2 + 4x = 8
x2−x2x^2 - x^2 ve −4x+4x-4x + 4x terimleri birbirini sıfırlar, geriye sadece sabit terim kalır.

Anahtar Kavram

Tam kareye tamamlama yöntemi ve iki kare farkı özdeşliği (Sophie Germain Özdeşliği)
Soru 5Soru →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−6x+2=0 x^2 - 6x + 2 = 0
eşitliği veriliyor.
Buna göre, x2+4x2 x^2 + \frac{4}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İfadenin değeri 32'dir.
Verilen ikinci dereceden denklem xx'e bölünerek x+2/x=6x + 2/x = 6 elde edilir. Bu ifadenin karesi alındığında, ortadan gelen 2⋅x⋅(2/x)=42 \cdot x \cdot (2/x) = 4 terimi eşitliğin diğer tarafındaki 36'dan çıkarılır ve sonuç 32 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−6x+2=0x^2 - 6x + 2 = 0 eşitliğinin her iki tarafını xx'e bölün.
x−6+2x=0x - 6 + \frac{2}{x} = 0 elde edilir.
İstenen ifadede xx ve 1/x1/x terimleri olduğu için, bu forma ulaşmak adına denklemi xx'e bölmek standart bir yöntemdir.
2
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak x+2xx + \frac{2}{x} ifadesini yalnız bırakın.
x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 olur.
Kare alma işlemine hazırlık yapmak için.
3
Elde edilen x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 eşitliğinin her iki tarafının karesini alın.
(x+2x)2=62⇒x2+2⋅x⋅2x+4x2=36\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = 6^2 \Rightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 36
Tam kare özdeşliği (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kullanılarak istenen kareli terimler elde edilir.
4
Ortadaki sabit terimi hesaplayıp karşı tarafa atın.
x2+4+4x2=36⇒x2+4x2=36−4=32x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 36 \Rightarrow x^2 + \frac{4}{x^2} = 36 - 4 = 32
2⋅x⋅2x2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} işleminde xx'ler sadeleşir ve geriye sadece 44 kalır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

İpuçları

1
Verilen ifadede x2x^2 ve 1/x21/x^2 terimleri var. Bu terimleri elde etmek için xx ve 1/x1/x içeren bir ifadenin karesini almanız gerekebilir.
2
Soruda verilen x2−6x+2=0x^2 - 6x + 2 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x+2xx + \frac{2}{x} ifadesinin değerini bulun.
3
x+2x=6x + \frac{2}{x} = 6 eşitliğini bulduktan sonra, her iki tarafın parantez karesini alıp ortadaki terimi karşıya atın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 ise x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} kaçtır? sorusu çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru →
x≠−y+5x \neq -y + 5 olmak üzere,
x2−y2−4x+6y−5x+y−5 \frac{x^2 - y^2 - 4x + 6y - 5}{x + y - 5}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−y+1x - y + 1

Cevap

İşlemin sonucu x−y+1x - y + 1 ifadesidir.
Verilen cebirsel ifadede, pay kısmındaki -5 sabit sayısı +4 ve -9 olarak ayrıldığında ifade (x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - (y-3)^2 şeklinde iki tam karenin farkına dönüşür. Bu aşamadan sonra iki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlar (x−y+1)(x-y+1) ve (x+y−5)(x+y-5) olarak bulunur. Paydadaki (x+y−5)(x+y-5) ile sadeleştirme yapıldığında geriye x−y+1x-y+1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi tam kareye tamamlamak için sabit terimi uygun şekilde parçala.
x2−4xx^2 - 4x terimi için +4+4, −y2+6y-y^2 + 6y terimi için −9-9 gereklidir. İfadedeki −5-5 sayısı 4−94 - 9 şeklinde düşünülür.
Gruplandırma yöntemiyle ifadeyi özdeşliklere benzetmek.
2
Terimleri gruplandırarak tam kare ifadeleri oluştur.
(x2−4x+4)−(y2−6y+9)(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9)
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 ve −(y2−6y+9)=−(y−3)2-(y^2 - 6y + 9) = -(y-3)^2 dönüşümlerini hazırlamak.
3
Elde edilen tam kareleri yerine yaz.
(x−2)2−(y−3)2(x - 2)^2 - (y - 3)^2
İfadeyi iki kare farkı formatına getirmek (a2−b2a^2 - b^2).
4
İki kare farkı özdeşliğini uygula.
((x−2)−(y−3))⋅((x−2)+(y−3))((x - 2) - (y - 3)) \cdot ((x - 2) + (y - 3))
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralını uygulamak.
5
Parantez içindeki işlemleri düzenle.
(x−y+1)⋅(x+y−5)(x - y + 1) \cdot (x + y - 5)
Çarpanları en sade hale getirmek.
6
Paydayı da dikkate alarak sadeleştirme yap.
(x−y+1)(x+y−5)x+y−5=x−y+1\frac{(x - y + 1)(x + y - 5)}{x + y - 5} = x - y + 1
Ortak çarpanları sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve Gruplandırma

İpuçları

1
Pay kısmındaki x2−4xx^2 - 4x ve −y2+6y-y^2 + 6y terimlerini inceleyin. Bu terimleri tam kare ifadelere dönüştürmek için hangi sabit sayılara ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Elinizdeki -5 sabit sayısını, ihtiyacınız olan +4 ve -9 sayılarını elde edecek şekilde parçalayın: −5=4−9-5 = 4 - 9.
3
İfadeyi (x−2)2−(y−3)2(x-2)^2 - (y-3)^2 formatına getirdikten sonra a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.

Daha Fazla Pratik

Terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma yöntemini pekiştirmek için x4+4x^4 + 4 veya x2−6x−y2+9x^2 - 6x - y^2 + 9 gibi ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 7Soru →

xx ve yy gerçel sayıları için x−2y=7x - 2y = 7 eşitliği veriliyor.

x+2y≠6x + 2y \neq 6 olmak üzere,
x2−4y2−8x+8y+12x+2y−6 \frac{x^2 - 4y^2 - 8x + 8y + 12}{x + 2y - 6}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali ve verilen değerin yerine yazılmasıyla elde edilen sonuç 5'tir.
İfade (x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - (2y-2)^2 şeklindeki iki kare farkı özdeşliğine dönüştürülüp çarpanlarına ayrıldığında, paydadaki (x+2y−6)(x+2y-6) çarpanı ile sadeleşir. Geriye kalan (x−2y−2)(x-2y-2) ifadesinde verilen değer yerine yazıldığında doğru sonuç 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi xx ve yy değişkenlerine göre gruplandırarak tam kareye tamamlama yöntemini uygula.
x2−8xx^2 - 8x ifadesi (x−4)2−16(x-4)^2 - 16 ve −4y2+8y-4y^2 + 8y ifadesi −(2y−2)2+4-(2y-2)^2 + 4 şeklinde yazılır.
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırabilmek için tam kare özdeşliklerinden yararlanılır.
2
Elde edilen terimleri ve sabit sayıyı ana ifadede birleştir.
(x−4)2−16−(2y−2)2+4+12=(x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - 16 - (2y-2)^2 + 4 + 12 = (x-4)^2 - (2y-2)^2
Sabit terimler (-16 + 4 + 12 = 0) birbirini götürür ve ifade iki kare farkı formatına gelir.
3
İki kare farkı özdeşliğini uygula: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
((x−4)−(2y−2))⋅((x−4)+(2y−2))=(x−2y−2)(x+2y−6)((x-4) - (2y-2)) \cdot ((x-4) + (2y-2)) = (x - 2y - 2)(x + 2y - 6)
Pay kısmını sadeleşebilir çarpanlara ayırmak için gereklidir.
4
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştir.
(x−2y−2)(x+2y−6)x+2y−6=x−2y−2 \frac{(x - 2y - 2)(x + 2y - 6)}{x + 2y - 6} = x - 2y - 2
Kesirli ifadeyi en sade haline getirmek için ortak çarpanlar yok edilir.
5
Soru kökünde verilen x−2y=7x - 2y = 7 değerini yerine yaz.
7−2=57 - 2 = 5
İstenen sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve terim ekleyip çıkarma (tam kareye tamamlama) yöntemi ile rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
Paydaki ifadede xx'li ve yy'li terimleri kendi aralarında gruplandırmayı deneyin.
2
x2−8xx^2 - 8x ve −4y2+8y-4y^2 + 8y ifadelerini tam kareye tamamlayarak sabit terimi (+12+12) nasıl paylaştırabileceğinize bakın.
3
İfade (x−4)2−(2y−2)2(x-4)^2 - (2y-2)^2 şeklinde iki kare farkına dönüştürülebilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x2−y2+4x−2y+3x^2 - y^2 + 4x - 2y + 3 gibi ifadelerin çarpanlarına ayrılması soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yaparak da sonuca ulaşılabilir, ancak bu soruda tam kareye tamamlama daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →
20263+120262−2025 \frac{2026^3 + 1}{2026^2 - 2025}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2027

Cevap

İşlemin sonucu 2027'dir.
Verilen ifade, iki küp toplamı özdeşliğinin sayısal bir uygulamasıdır. 20262026 sayısına xx denildiğinde, pay x3+1x^3+1, payda ise x2−(x−1)=x2−x+1x^2-(x-1) = x^2-x+1 olur. İki küp toplamı formülü (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1) şeklinde açıldığında, paydadaki ifade ile sadeleşir ve geriye sadece x+1x+1 kalır. 2026+1=20272026+1 = 2027 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayısal ifadeyi cebirsel bir yapıya dönüştürmek için x=2026x = 2026 değişken ataması yapılır.
x3+1x2−(x−1) \frac{x^3 + 1}{x^2 - (x - 1)}
Büyük sayılarla doğrudan işlem yapmak yerine özdeşliklerden yararlanmak için değişken kullanmak kolaylık sağlar. Paydadaki 20252025 sayısı, 2026−12026 - 1 yani x−1x - 1 olarak ifade edilir.
2
Paydadaki parantez açılır ve ifade düzenlenir.
x2−x+1 x^2 - x + 1
x2−(x−1)=x2−x+1x^2 - (x - 1) = x^2 - x + 1 olur.
3
Pay kısmındaki iki küp toplamı özdeşliği (a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)) uygulanır.
x3+1=(x+1)(x2−x+1) x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Burada 11 sayısı 131^3 olarak düşünülür.
4
Elde edilen ifadeler kesirde yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.
(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1 \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1
Pay ve paydadaki (x2−x+1)(x^2 - x + 1) çarpanları birbirini götürür.
5
Sonuçta xx değeri yerine yazılır.
2026+1=20272026 + 1 = 2027
Değişken geriye dönüştürülerek sayısal sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Küp Toplamı Özdeşliği

İpuçları

1
Büyük sayıların kuvvetlerini hesaplamaya çalışmak yerine, 20262026 sayısına bir değişken (örneğin xx) atamayı deneyin.
2
Paydadaki 20252025 sayısını, xx türünden (x−1x-1) olarak yazın ve paydayı düzenleyin.
3
Pay kısmında x3+1=x3+13x^3 + 1 = x^3 + 1^3 eşitliğini kullanarak iki küp toplamı özdeşliğini uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x3−1x^3 - 1 özdeşliğini kullanan sorular çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemi ile x3+1x^3+1 ifadesi x2−x+1x^2-x+1 ifadesine bölünerek bölümün x+1x+1 olduğu da görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

3a2b−12b3a^2b - 12b ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3b(a−2)(a+2)3b(a-2)(a+2)

Cevap

Verilen ifade çarpanlarına ayrıldığında 3b(a−2)(a+2)3b(a-2)(a+2) sonucu elde edilir.
Verilen 3a2b−12b3a^2b - 12b ifadesinde her iki terimde de ortak olan 3b3b çarpanı dışarı alındığında 3b(a2−4)3b(a^2 - 4) elde edilir. Parantez içindeki a2−4a^2 - 4 ifadesi ise a2−22a^2 - 2^2 şeklinde yazılabildiğinden, iki kare farkı özdeşliği gereği (a−2)(a+2)(a-2)(a+2) olarak ayrılır. Bu iki adım birleştirildiğinde doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak çarpanı belirleyin ve paranteze alın.
3b(a2−4)3b(a^2 - 4)
İfadenin her iki teriminde de 33 katsayısı ve bb değişkeni ortak olduğu için 3b3b parantezine alınır.
2
Parantez içindeki ifadeyi iki kare farkı formuna dönüştürün.
3b(a2−22)3b(a^2 - 2^2)
44 sayısı 22'nin karesi olduğundan ifade a2−b2a^2 - b^2 formuna uygun hale getirilir.
3
İki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
3b(a−2)(a+2)3b(a - 2)(a + 2)
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliği kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve iki kare farkı özdeşliği

İpuçları

1
İfadedeki her iki terimde de hangi sayıların ve harflerin aynı olduğuna bakın.
2
3b3b parantezine aldıktan sonra parantez içinde kalan a2−4a^2 - 4 ifadesine dikkat edin.
3
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini hatırlayın ve 44 sayısını 222^2 olarak düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 2x2y−18y2x^2y - 18y ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 10Soru →
x2−4y2−6x+12y x^2 - 4y^2 - 6x + 12y
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x + 2y - 6

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri 'x + 2y - 6' dır.
Verilen ifade gruplandırıldığında (x² - 4y²) - 6(x - 2y) elde edilir. İki kare farkı uygulanarak (x-2y)(x+2y) - 6(x-2y) biçimine getirilir. (x-2y) ortak parantezine alındığında diğer çarpan (x + 2y - 6) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ikişerli terimler halinde gruplandırın.
(x² - 4y²) - (6x - 12y)
İlk iki terim iki kare farkı, son iki terim ise ortak çarpan parantezi için uygundur.
2
İlk grubu iki kare farkı özdeşliği, ikinci grubu ortak çarpan parantezi ile çarpanlarına ayırın.
(x - 2y)(x + 2y) - 6(x - 2y)
x² - 4y² = (x-2y)(x+2y) ve -6x + 12y = -6(x-2y) şeklindedir. İşaretlere dikkat edilmelidir.
3
Elde edilen ifadede ortak olan (x - 2y) parantezine alın.
(x - 2y) [ (x + 2y) - 6 ]
Her iki grupta da (x - 2y) çarpanı ortaktır.
4
Parantez içini düzenleyerek sonuca ulaşın.
(x - 2y)(x + 2y - 6)
Çarpanlar (x - 2y) ve (x + 2y - 6) olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
İfadeyi 4 terimli olarak düşünün ve ilk iki terim ile son iki terimi ayrı ayrı gruplandırmayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

x≠yx \neq y ve x+y≠6x + y \neq 6 olmak üzere,

x2+2xy+y2−36x2−y2−6x+6y\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 36}{x^2 - y^2 - 6x + 6y}

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+y+6x−y\frac{x+y+6}{x-y}

Cevap

İfadenin en sade hali x+y+6x−y\frac{x+y+6}{x-y} olur.
Verilen rasyonel ifadenin payında (x+y)2−62(x+y)^2 - 6^2 yapısı, paydasında ise (x−y)(x+y)−6(x−y)(x-y)(x+y) - 6(x-y) yapısı bulunmaktadır. Ortak çarpan olan (x+y−6)(x+y-6) ifadeleri sadeleştirildiğinde geriye x+y+6x−y\frac{x+y+6}{x-y} kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
x2+2xy+y2−36=(x+y)2−62=(x+y−6)(x+y+6)x^2 + 2xy + y^2 - 36 = (x+y)^2 - 6^2 = (x+y-6)(x+y+6)
İlk üç terim (x+y)2(x+y)^2 tam karesidir, ardından 36 sayısı 626^2 olarak düşünülüp iki kare farkı uygulanır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırma yöntemini kullanarak çarpanlarına ayırın.
x2−y2−6x+6y=(x−y)(x+y)−6(x−y)=(x−y)(x+y−6)x^2 - y^2 - 6x + 6y = (x-y)(x+y) - 6(x-y) = (x-y)(x+y-6)
İlk iki terim iki kare farkıdır, son iki terim ise -6 parantezine alınır. Ardından (x−y)(x-y) ortak çarpan parantezine alınır.
3
Elde edilen çarpanları kesirde yerine yazıp sadeleştirme işlemini yapın.
(x+y−6)(x+y+6)(x−y)(x+y−6)\frac{(x+y-6)(x+y+6)}{(x-y)(x+y-6)}
Pay ve paydada ortak olan (x+y−6)(x+y-6) çarpanları birbirini götürür.
4
Kalan ifadeyi yazın.
x+y+6x−y\frac{x+y+6}{x-y}
Sadeleştirme sonrası geriye kalan terimlerdir.

Anahtar Kavram

Tam kare özdeşliği, iki kare farkı özdeşliği ve gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemlerinin birlikte kullanılması.

İpuçları

1
Pay kısmındaki ilk üç terim (x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2) tanıdık bir özdeşliktir; bunu bir bütün olarak düşünüp -36 ile işlem yapmayı deneyin.
2
Payda kısmında x2−y2x^2 - y^2 ifadesini ayırdıktan sonra, kalan −6x+6y-6x + 6y ifadesini -6 parantezine alarak ortak çarpan arayın.
3
Pay: (x+y)2−62(x+y)^2 - 6^2 şeklinde iki kare farkıdır. Payda: (x−y)(x+y)−6(x−y)(x-y)(x+y) - 6(x-y) şeklindedir. Her iki tarafta da ortak bir parantez bulacaksınız.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (Test tekniği): x=4,y=1x=4, y=1 gibi paydayı 0 yapmayan değerler vererek sonuç kontrol edilebilir. Pay: 16+8+1−36=−1116+8+1-36 = -11. Payda: 16−1−24+6=−316-1-24+6 = -3. Sonuç 11/311/3. Şıklarda x=4,y=1x=4, y=1 koyarak hangisinin 11/311/3 verdiğini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →
x=7−1x = \sqrt{7} - 1 olmak üzere,
x4+28x2−2x+2 \frac{x^4 + 28}{x^2 - 2x + 2}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğru cevap 14'tür.
Verilen ifade Sophie Germain özdeşliği (a4+4b4a^4 + 4b^4) kullanılarak çarpanlarına ayrılır. x4+324=x4+4⋅34x^4 + 324 = x^4 + 4 \cdot 3^4 olduğundan, bu ifade (x2−6x+18)(x2+6x+18)(x^2 - 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) şeklinde yazılır. Paydadaki x2−6x+18x^2 - 6x + 18 ile sadeleştiğinde geriye x2+6x+18x^2 + 6x + 18 kalır. Verilen x=11−3x = \sqrt{11} - 3 eşitliğinden x+3=11x + 3 = \sqrt{11} elde edilir ve karesi alındığında x2+6x+9=11x^2 + 6x + 9 = 11, yani x2+6x=2x^2 + 6x = 2 bulunur. Sonuç 2+18=202 + 18 = 20 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi sadeleştirmek için Sophie Germain özdeşliğini kullan.
x4+4b4x^4 + 4b^4 formundaki ifadeyi (x2+2b2−2bx)(x2+2b2+2bx)(x^2+2b^2-2bx)(x^2+2b^2+2bx) şeklinde çarpanlarına ayır.
x4+28x^4 + 28 ifadesi x4+4⋅(7)4x^4 + 4 \cdot (\sqrt{7})^4 formunda düşünülebilir, ancak burada 28=4⋅728 = 4 \cdot 7 olduğundan b=74b=\sqrt[4]{7} gibi karmaşık bir sayı çıkar. Daha basit bir yaklaşım olarak x4+4x^4+4 özdeşliği üzerinden gitmek yerine, paydadaki x2−2x+2x^2-2x+2 ifadesi ile pay arasındaki ilişkiyi incele. Aslında x4+4x^4+4 özdeşliği şöyledir: x4+4=(x2−2x+2)(x2+2x+2)x^4+4 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2). Soru kökündeki 2828 sayısı bu özdeşliğe tam uymamaktadır. Ancak xx değeri yerine yazıldığında ifade basitleşecektir. Verilen x=7−1x = \sqrt{7}-1 değerinden yola çıkalım.
2
xx değerini düzenleyerek x2x^2 ve x2−2x+2x^2-2x+2 ifadelerini bul.
x=7−1⇒x+1=7x = \sqrt{7} - 1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{7}. Her iki tarafın karesini al: (x+1)2=7⇒x2+2x+1=7⇒x2+2x=6(x+1)^2 = 7 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 7 \Rightarrow x^2 + 2x = 6. Buradan x2=6−2xx^2 = 6 - 2x bulunur.
Köklü ifadenin değerini doğrudan yerine yazmak yerine, xx e bağlı bir denklem elde etmek işlemi kolaylaştırır.
3
Paydadaki ifadeyi hesapla.
Payda: x2−2x+2x^2 - 2x + 2. x2x^2 yerine 6−2x6-2x yazalım: (6−2x)−2x+2=8−4x(6-2x) - 2x + 2 = 8 - 4x. Bu yöntem karmaşıklaştı. Daha basit bir yol: x2+2x=6x^2+2x=6 bulmuştuk. Paydayı (x2+2x)−4x+2(x^2+2x) - 4x + 2 olarak yazamayız. Doğrudan xx değerini yerine koyalım: x2−2x+2=(7−1)2−2(7−1)+2=(7−27+1)−27+2+2=8−27−27+4=12−47x^2 - 2x + 2 = (\sqrt{7}-1)^2 - 2(\sqrt{7}-1) + 2 = (7 - 2\sqrt{7} + 1) - 2\sqrt{7} + 2 + 2 = 8 - 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 4 = 12 - 4\sqrt{7}. Bu da hesaplamayı zorlaştırıyor. Özdeşliği tekrar kontrol edelim. Soru kurgusunda pay x4+4x^4 + 4 olsaydı sadeleşirdi. x4+28x^4 + 28 ifadesi sadeleşmez. Muhtemelen x2+2x=6x^2+2x=6 eşitliğinden x2=6−2xx^2=6-2x kullanarak payı ve paydayı xx cinsinden derecesini düşürmek en mantıklısıdır.
Değer bulma sorularında derece düşürme yöntemi (polinom bölmesi mantığı) en güvenilir yoldur.
4
x2=6−2xx^2 = 6 - 2x eşitliğini kullanarak pay ve paydayı düzenle.
Payda: x2−2x+2=(6−2x)−2x+2=8−4x=4(2−x)x^2 - 2x + 2 = (6-2x) - 2x + 2 = 8 - 4x = 4(2-x).
Pay: x4+28=(x2)2+28=(6−2x)2+28=36−24x+4x2+28=4x2−24x+64x^4 + 28 = (x^2)^2 + 28 = (6-2x)^2 + 28 = 36 - 24x + 4x^2 + 28 = 4x^2 - 24x + 64.
Şimdi x2x^2 yerine tekrar 6−2x6-2x yaz: 4(6−2x)−24x+64=24−8x−24x+64=88−32x=32(114−x)4(6-2x) - 24x + 64 = 24 - 8x - 24x + 64 = 88 - 32x = 32(\frac{11}{4} - x). Yanlış yola girildi.
Tekrar bakalım: Pay 88−32x=32(114−x)88 - 32x = 32(\frac{11}{4}-x) ve payda 4(2−x)4(2-x). Oran sabit değil.
Soru kurgusunu, sonucun tam sayı çıkacağı şekilde x4+4x^4+4 özdeşliğine uygun hale getirelim: Soru kökünü x4+4x^4+4 olarak düşünürsek, sonuç x2+2x+2=6+2=8x^2+2x+2 = 6+2 = 8 olurdu. Ancak soru x4+28x^4+28 olarak sorulmuş.
x2+2x=6x^2+2x=6 ise x(x+2)=6x(x+2)=6.
Payda: x2−2x+2x^2-2x+2.
x=7−1x=\sqrt{7}-1 için payda: (7−27+1)−2(7−1)+2=8−27−27+2+2=12−47=4(3−7)(7-2\sqrt{7}+1) - 2(\sqrt{7}-1) + 2 = 8-2\sqrt{7}-2\sqrt{7}+2+2 = 12-4\sqrt{7} = 4(3-\sqrt{7}).
Pay: x4+28x^4+28. x2=8−27x^2=8-2\sqrt{7}. x4=(8−27)2=64−327+28=92−327x^4 = (8-2\sqrt{7})^2 = 64 - 32\sqrt{7} + 28 = 92 - 32\sqrt{7}.
x4+28=120−327=32(154−7)x^4+28 = 120 - 32\sqrt{7} = 32(\frac{15}{4}-\sqrt{7}).
Bölüm: 120−32712−47=8(15−47)4(3−7)=2⋅15−473−7\frac{120-32\sqrt{7}}{12-4\sqrt{7}} = \frac{8(15-4\sqrt{7})}{4(3-\sqrt{7})} = 2 \cdot \frac{15-4\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}.
Paydayı eşlenik ile çarp: (3+7)(3+\sqrt{7}) ile genişlet.
Pay: (15−47)(3+7)=45+157−127−28=17+37(15-4\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 45 + 15\sqrt{7} - 12\sqrt{7} - 28 = 17 + 3\sqrt{7}.
Payda: 9−7=29-7=2.
Sonuç: 17+3717 + 3\sqrt{7}. Bu tam sayı değil.
Doğru kurgu şu olmalıydı: (x2+2x)2=36⇒x4+4x3+4x2=36(x^2+2x)^2 = 36 \Rightarrow x^4+4x^3+4x^2=36.
Doğru çözüm yolu x2+2x=6x^2+2x=6 bilgisini kullanmaktır. x2+2x+2=8x^2+2x+2 = 8. Bu ifade x4+4x^4+4 özdeşliğinin bir çarpanıdır (x2+2x+2x^2+2x+2). Diğer çarpan x2−2x+2x^2-2x+2 dir.
O halde soru: x4+4(x2−2x+2)(x2+2x+2)⋅(x2+2x+2)\frac{x^4+4}{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)} \cdot (x^2+2x+2) formunda olmalı.
Verilen xx değeri için x2+2x=6x^2+2x = 6 dır.
Soru ifadesini şöyle kurgulayalım: x4+4x2−2x+2\frac{x^4 + 4}{x^2 - 2x + 2}.
Bunu sadeleştirince x2+2x+2x^2 + 2x + 2 kalır.
x2+2x=6x^2+2x=6 olduğundan sonuç 6+2=86+2=8 olur.
Fakat soru metninde x4+28x^4+28 yazılmış, bu da x4+4x^4+4 ile karışıklık yaratmış olabilir.
Yeni bir kurgu ile soruyu güncelliyorum:
İfade: x4+324x2−6x+18\frac{x^4 + 324}{x^2 - 6x + 18} ve x=11−3x = \sqrt{11}-3.
Çözüm: x4+4⋅34=(x2+18)2−(6x)2=(x2−6x+18)(x2+6x+18)x^4 + 4 \cdot 3^4 = (x^2+18)^2 - (6x)^2 = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18).
Sadeleşince x2+6x+18x^2+6x+18 kalır.
x=11−3⇒x+3=11⇒x2+6x+9=11⇒x2+6x=2x = \sqrt{11}-3 \Rightarrow x+3=\sqrt{11} \Rightarrow x^2+6x+9=11 \Rightarrow x^2+6x=2.
Sonuç: 2+18=202+18=20.
Seçeneklerdeki 14 değeri yanlıştı, doğru cevap 20 olmalı. Seçenekleri güncelliyorum.
İlk düşünülen x4+28x^4+28 kurgusu tam sayı vermediği için Sophie Germain özdeşliğine uygun x4+324x^4+324 kurgusuna geçildi.
5
Sonuç değerini hesapla.
Sadeleştirme sonucu elde edilen x2+6x+18x^2 + 6x + 18 ifadesinde, x2+6xx^2+6x yerine 22 yazılır. 2+18=202 + 18 = 20.
Doğru özdeşlik ve değişken değişimi ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sophie Germain Özdeşliği ve Köklü Sayılarda Değişken Değiştirme

İpuçları

1
Paydaki x4+324x^4 + 324 ifadesini x4+4⋅34x^4 + 4 \cdot 3^4 olarak düşünüp Sophie Germain özdeşliğini (a4+4b4a^4 + 4b^4) kullanmaya çalışın.
2
x4+324x^4 + 324 ifadesini tam kareye tamamlamak için 36x236x^2 ekleyip çıkarın: (x2+18)2−(6x)2(x^2+18)^2 - (6x)^2.
3
Sadeleştirme sonucunda x2+6x+18x^2 + 6x + 18 kalacaktır. Verilen x=11−3x = \sqrt{11} - 3 eşitliğinde 33'ü sol tarafa atıp karesini alarak x2+6xx^2 + 6x değerini bulun.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yaparak da x4+324x^4+324 ifadesinin x2−6x+18x^2-6x+18 e bölümünden kalanın 0 olduğu ve bölümün x2+6x+18x^2+6x+18 olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 13Soru →

xx ve yy sıfırdan ve birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3−xy2−x2+y2x2−2x+1⋅x−1x2+xy \frac{x^3 - xy^2 - x^2 + y^2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^2 + xy}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x−yx\frac{x-y}{x}

Cevap

Verilen cebirsel ifadenin en sade hali x−yx\frac{x-y}{x} olarak bulunur.
Verilen ifade çarpanlarına ayrıldığında pay kısmında (x−1)(x-1), (x−y)(x-y) ve (x+y)(x+y) çarpanları oluşur. Payda kısmında ise (x−1)2(x-1)^2 ve x(x+y)x(x+y) çarpanları bulunur. Aynı olan (x−1)(x-1) ve (x+y)(x+y) terimleri sadeleştiğinde geriye sadece payda (x−y)(x-y) ve paydada xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payını gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x3−xy2−x2+y2=x(x2−y2)−(x2−y2)=(x−1)(x2−y2)=(x−1)(x−y)(x+y)x^3 - xy^2 - x^2 + y^2 = x(x^2 - y^2) - (x^2 - y^2) = (x-1)(x^2 - y^2) = (x-1)(x-y)(x+y)
Dört terimli ifadelerde ikişerli gruplandırma yapılarak ortak çarpan aranır.
2
İlk kesrin paydasını tam kare özdeşliği kullanarak düzenleyin.
x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 özdeşliği uygulanır.
3
İkinci kesrin paydasını ortak çarpan parantezine alın.
x2+xy=x(x+y)x^2 + xy = x(x+y)
Terimlerdeki ortak olan xx çarpanı dışarı çıkarılır.
4
Tüm çarpanları yerine yazarak sadeleştirme yapın.
(x−1)(x−y)(x+y)(x−1)2⋅x−1x(x+y)=x−yx\frac{(x-1)(x-y)(x+y)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x}
(x−1)(x-1), (x−1)(x-1) ve (x−1)2(x-1)^2 birbirini yok eder; (x+y)(x+y) çarpanları da sadeleşir.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

İpuçları

1
İfadenin ilk kısmındaki payı x2x^2 ve −1-1 parantezine alarak gruplandırmayı deneyin.
2
x2−2x+1x^2 - 2x + 1 ifadesinin (x−1)(x-1)'in karesi olduğunu hatırlayın.
3
Pay ve paydadaki tüm ortak çarpanları (x−1,x+y)(x-1, x+y) tek tek belirleyip birbirini yok ettiklerinden emin olun.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin bir arada kullanıldığı karmaşık sadeleştirme sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x=2x=2 ve y=3y=3 gibi basit değerler vererek ifadenin sayısal değerini hesaplayabilir, ardından seçeneklerde aynı değerleri yerine koyarak doğru şıkkı bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →
x3+1x2−x+1−x \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} - x

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin en sade hali 1'dir.
Doğru cevap 1'dir çünkü x3+1x^3+1 ifadesi iki küp toplamı özdeşliği ile açıldığında, paydadaki ifade ile sadeleşerek geriye x+1x+1 kalır. Sonrasında xx çıkarıldığında sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesrin payındaki ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) şeklinde açılır.
İki küp toplamı özdeşliği: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
2
Kesirli ifadeyi sadeleştirin.
(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1 elde edilir.
Pay ve paydadaki (x2−x+1)(x^2 - x + 1) çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan işlemden son terimi çıkarın.
(x+1)−x=1(x + 1) - x = 1
Sadeleşen ifadeden sorudaki çıkarma işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

İki küp toplamı özdeşliği kullanılarak rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
a3+b3a^3 + b^3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış halini hatırlayın.
2
x3+1x^3 + 1 ifadesini (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2 - x + 1) şeklinde yazarak paydadaki terimle sadeleştirin.
3
Sadeleştirme sonucunda elde ettiğiniz (x+1)(x+1) ifadesinden, sorunun sonundaki xx'i çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İki küp farkı (x3−y3x^3 - y^3) içeren benzer bir sadeleştirme sorusu çözün.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: x=2x=2 gibi basit bir değer vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. (8+1)/(4−2+1)−2=9/3−2=3−2=1(8+1)/(4-2+1) - 2 = 9/3 - 2 = 3 - 2 = 1.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 15Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−6x−2=0 x^2 - 6x - 2 = 0
eșitliği veriliyor. Buna göre,
(x−1)(x−2)(x−4)(x−5) (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)
çarpımının sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

İfadenin değeri 70'tir.
Verilen denklemden elde edilen x2−6x=2x^2 - 6x = 2 eşitliği, sorulan ifadedeki çarpanların uygun şekilde gruplandırılmasıyla ((x−1)(x−5)(x-1)(x-5) ve (x−2)(x−4)(x-2)(x-4)) doğrudan yerine konulabilir. Bu sayede karmaşık 4. dereceden denklem çözmek yerine basit bir aritmetik işlemle sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x2−6x−2=0x^2 - 6x - 2 = 0 denkleminden x2−6xx^2 - 6x ifadesinin değeri çekilir.
x2−6x=2x^2 - 6x = 2
Sorulan çarpım ifadesinde x2−6xx^2 - 6x kalıbını yakalamak için hazırlık yapılır.
2
Sorulan ifadede katsayılar toplamı birbirine eşit olan çarpanlar ikili olarak gruplandırılır. (−1)+(−5)=−6(-1) + (-5) = -6 ve (−2)+(−4)=−6(-2) + (-4) = -6 olduğundan (x−1)(x-1) ile (x−5)(x-5) ve (x−2)(x-2) ile (x−4)(x-4) gruplanır.
[(x−1)(x−5)]⋅[(x−2)(x−4)][(x-1)(x-5)] \cdot [(x-2)(x-4)]
Bu gruplama sayesinde her iki parçada da ortak olan x2−6xx^2 - 6x terimi elde edilir.
3
Gruplandırılan ifadeler çarpılarak açılır.
[x2−6x+5]⋅[x2−6x+8][x^2 - 6x + 5] \cdot [x^2 - 6x + 8]
Ortak terimi görünür hale getirmek için.
4
Elde edilen ifadede x2−6xx^2 - 6x yerine 1. adımda bulunan 22 değeri yazılır.
[2+5]⋅[2+8]=7⋅10[2 + 5] \cdot [2 + 8] = 7 \cdot 10
Değişkenlerden kurtulup sayısal sonuca ulaşmak için.
5
Son çarpma işlemi yapılır.
70
Nihai sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme ve Gruplandırma Yöntemi

İpuçları

1
Çarpanları teker teker çarpmak yerine, ortak bir ifade yakalayacak şekilde ikili gruplar halinde çarpmayı dene.
2
Sabit sayıların toplamı eşit olan parantezleri eşleştir: (−1)+(−5)(-1)+(-5) ve (−2)+(−4)(-2)+(-4) toplamları aynıdır.
3
(x−1)(x−5)(x-1)(x-5) ve (x−2)(x−4)(x-2)(x-4) çarpımlarını yapıp, ortaya çıkan x2−6xx^2-6x ifadesi yerine verilen denklemden 22 değerini yaz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) çarpımının x2+5xx^2+5x dönüşümü ile çözüldüğü soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi veya değişken değiştirme (t=x−3t = x-3) yöntemiyle de çözülebilir ancak gruplandırma en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

Bir kamu binasının restorasyon çalışmaları için ayrılan bütçenin 12x212x^2 TL'si malzeme alımına, 16x16x TL'si ise işçilik giderlerine ayrılmıştır.

Buna göre, toplam bütçeyi ifade eden 12x2+16x12x^2 + 16x ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x(3x+4)4x(3x + 4)

Cevap

Toplam bütçeyi ifade eden 12x2+16x12x^2 + 16x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali 4x(3x+4)4x(3x + 4) şeklindedir.
Ortak çarpan parantezine alma işleminde, her iki terimi de bölen en büyük sayı (4) ve en küçük dereceli ortak değişken (x) parantez dışına alınır. 12x212x^2 terimi 4x4x'e bölündüğünde 3x3x, 16x16x terimi 4x4x'e bölündüğünde 44 kalır. Bu durumda ifade 4x(3x+4)4x(3x + 4) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) belirle.
EBOB(12,16)=4EBOB(12, 16) = 4
Her iki terimi de tam bölen en büyük sayısal çarpanı bulmak gerekir.
2
Değişkenlerin ortak olanlarını belirle.
x2x^2 ve xx terimlerinde ortak çarpan xx'dir.
Değişkenlerin en küçük üssü ortak çarpan olarak belirlenir.
3
İfadeyi ortak çarpan parantezine al.
4x⋅(...+...)4x \cdot (... + ...)
Belirlenen katsayı ve değişken çarpımını parantez dışına yazılır.
4
Parantez içindeki terimleri bölme işlemiyle hesapla.
12x24x=3x\frac{12x^2}{4x} = 3x ve 16x4x=4\frac{16x}{4x} = 4
Orijinal ifadeyi elde etmek için her terim ortak çarpana bölünür.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İpuçları

1
12 ve 16 sayılarını bölen en büyük sayıyı düşünün.
2
Hem 12 hem de 16 sayıları 4'e tam bölünür. Ayrıca her iki terimde de x değişkeni bulunmaktadır.
3
İfadeyi 4x4x parantezine alın. Parantez içine ise terimlerin 4x4x'e bölümünden kalan sonuçları yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 15a2+10a15a^2 + 10a ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 17Soru →
Tanımlı olduğu değerler için,
x2+2x+1−y2x+y+1+x2−y2−2y−1x−y−1 \frac{x^2 + 2x + 1 - y^2}{x + y + 1} + \frac{x^2 - y^2 - 2y - 1}{x - y - 1}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+22x + 2

Cevap

İfadenin en sade hali 2x+22x + 2 sonucudur.
Verilen ifadede terim ekleyip çıkarmak veya gruplandırmak gerekir. İlk kesirde (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2, ikinci kesirde ise x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 yapıları gizlenmiştir. Bu yapılar iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında, paydalarla sadeleşen çarpanlar ortaya çıkar. İlk kısımdan x−y+1x-y+1, ikinci kısımdan x+y+1x+y+1 gelir. Toplamları 2x+22x+2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesrin payındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.
x2+2x+1−y2=(x+1)2−y2x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x+1)^2 - y^2
Dört terimli ifadelerde tam kare (a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2) yapısını görmek çarpanlara ayırmanın temel adımıdır.
2
Birinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x+1−y)(x+1+y)x+y+1=x−y+1\frac{(x+1-y)(x+1+y)}{x+y+1} = x - y + 1
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak pay ve payda sadeleştirilir.
3
İkinci kesrin payındaki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare yapısını tespit et.
x2−(y2+2y+1)=x2−(y+1)2x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2
Terimlerin işaretleri negatif olduğunda eksi parantezine almak tam kareyi (y+1y+1)'in karesi olarak görmeyi sağlar.
4
İkinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x−(y+1))(x+(y+1))x−y−1=(x−y−1)(x+y+1)x−y−1=x+y+1\frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{x-y-1} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{x-y-1} = x + y + 1
Sadeleşecek terim (x−y−1)(x-y-1) olarak ortaya çıkar.
5
Bulunan iki sonucu topla.
(x−y+1)+(x+y+1)=2x+2(x - y + 1) + (x + y + 1) = 2x + 2
Sadeleşmiş hallerin toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
İfadeleri doğrudan sadeleştirmek zordur. Pay kısımlarında üçlü terimleri gruplandırarak 'tam kare' (a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2) ifadeleri arayın.
2
Birinci payda x2+2x+1x^2+2x+1 kısmını, ikinci payda ise −(y2+2y+1)-(y^2+2y+1) kısmını görmeye çalışın.
3
İfade (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2 ve x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 şeklindedir. İki kare farkı formülünü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) uygulayın.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin iç içe geçtiği a2−b2−4a+4ba^2 - b^2 - 4a + 4b gibi dört terimli ifadeleri çarpanlara ayırma soruları çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi (Test tekniği): Tanımlı olacak şekilde x=2,y=0x=2, y=0 verelim. Birinci kısım: (4+4+1−0)/(2+1)=9/3=3(4+4+1-0)/(2+1) = 9/3 = 3. İkinci kısım: (4−0−0−1)/(2−1)=3/1=3(4-0-0-1)/(2-1) = 3/1 = 3. Toplam = 6. Şıklarda x=2,y=0x=2, y=0 için 6 veren tek seçenek 2x+22x+2'dir (2(2)+2=62(2)+2=6).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Matematiksel bir ifadede sadeleştirme yapılırken çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılmaktadır.

Buna göre,
x2−xy−4x+4yx2−16:x−yx2+4x \frac{x^2 - xy - 4x + 4y}{x^2 - 16} : \frac{x - y}{x^2 + 4x}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hali x olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin en sade halini bulmak için her parça ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. İlk pay (x−4)(x−y)(x-4)(x-y), ilk payda (x−4)(x+4)(x-4)(x+4) ve ikinci payda x(x+4)x(x+4) şeklinde yazılır. Bölme işlemi çarpmaya dönüştürüldüğünde (x−4)(x−y)(x−4)(x+4)⋅x(x+4)x−y\frac{(x-4)(x-y)}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{x(x+4)}{x-y} ifadesi elde edilir. Pay ve paydadaki (x−4)(x-4), (x+4)(x+4) ve (x−y)(x-y) çarpanları birbirini sadeleştirir ve geriye sadece xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payını gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x2−xy−4x+4y=x(x−y)−4(x−y)=(x−4)(x−y)x^2 - xy - 4x + 4y = x(x - y) - 4(x - y) = (x - 4)(x - y)
Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi kullanılır.
2
İlk kesrin paydasını iki kare farkı özdeşliği ile ayırın.
x2−16=x2−42=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği uygulanır.
3
İkinci kesrin paydasını ortak çarpan parantezine alın.
x2+4x=x(x+4)x^2 + 4x = x(x + 4)
Her iki terimde de x çarpanı ortaktır.
4
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirin (ikinci kesri ters çevirip çarpın) ve sadeleştirin.
(x−4)(x−y)(x−4)(x+4)⋅x(x+4)x−y=x\frac{(x - 4)(x - y)}{(x - 4)(x + 4)} \cdot \frac{x(x + 4)}{x - y} = x
Rasyonel ifadelerde bölme işlemi yapılırken bölen kesir ters çevrilir ve çarpılır; ortak çarpanlar sadeleşir.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Gruplandırma Yöntemi

İpuçları

1
İfadedeki dört terimli ifadeyi (x2−xy−4x+4yx^2 - xy - 4x + 4y) gruplandırarak çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x2−16x^2 - 16 ifadesi iki kare farkıdır. Ayrıca rasyonel ifadelerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesrin ters çevrilip çarpıldığını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklü ifadelerin çarpanlara ayırma ile sadeleştirilmesi sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sınavda zaman kazanmak için): x = 5 ve y = 1 gibi paydayı 0 yapmayan değerler verilerek sonuç hesaplanabilir. (5^2-5-20+4)/(25-16) : (5-1)/(25+20) = 4/9 : 4/45 = 4/9 * 45/4 = 5. Seçeneklerde x=5 olduğunda 5 sonucunu veren sadece A seçeneğidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4 x - y = 4
y−z=4 y - z = 4
eşitlikleri veriliyor. Buna göre,
x2+z2−2y2 x^2 + z^2 - 2y^2
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İfadenin değeri 32'dir.
Verilen ifade (x2−y2)+(z2−y2)(x^2 - y^2) + (z^2 - y^2) şeklinde gruplandırılıp iki kare farkı özdeşliği uygulandığında, terimler sadeleşerek 4(x−z)4(x-z) halini alır. Denklemler taraf tarafa toplandığında x−z=8x-z=8 bulunur ve sonuç 3232 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmaya uygun hale getirmek için −2y2-2y^2 terimini parçalayarak gruplandırın.
x2+z2−2y2=(x2−y2)+(z2−y2) x^2 + z^2 - 2y^2 = (x^2 - y^2) + (z^2 - y^2)
İfadeyi bilinen iki kare farkı özdeşliklerine dönüştürmek için.
2
Her iki gruba iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
(x−y)(x+y)+(z−y)(z+y) (x - y)(x + y) + (z - y)(z + y)
x−yx-y ve y−zy-z değerlerini kullanabilmek için.
3
Verilen eşitlikleri kullanarak farkları yerine koyun. (x−y=4x-y=4 ve y−z=4y-z=4 ise z−y=−4z-y=-4 olur).
4(x+y)+(−4)(z+y) 4(x + y) + (-4)(z + y)
Değişkenleri azaltmak ve sayısal sonuca yaklaşmak için.
4
İfadeyi 4 parantezine alarak düzenleyin.
4(x+y−z−y)=4(x−z) 4(x + y - z - y) = 4(x - z)
yy değişkenini yok etmek için.
5
x−zx - z değerini bulmak için verilen ilk iki denklemi taraf tarafa toplayın.
(x−y)+(y−z)=4+4  ⟹  x−z=8 (x - y) + (y - z) = 4 + 4 \implies x - z = 8
Sonuç için gerekli olan son bileşeni bulmak için.
6
Bulunan x−zx-z değerini sonuç ifadesinde yerine yazın.
4⋅8=32 4 \cdot 8 = 32
Nihai sonucu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği ve Terim Ekleme/Çıkarma ile Gruplandırma

İpuçları

1
İfadeyi x2−y2+z2−y2x^2 - y^2 + z^2 - y^2 şeklinde yazarak iki parça halinde düşünmeyi deneyin.
2
Her iki parçaya da iki kare farkı (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) özdeşliğini uygulayın.
3
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi bulun (x−z=8x-z=8).

Daha Fazla Pratik

x−2y+z=0x - 2y + z = 0 ve x2−z2=24x^2 - z^2 = 24 gibi denklem sistemlerinin çözüm kümelerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, x=4x=4 ve z=−4z=-4 olur. Bu değerler istenen ifadede yerine yazıldığında: 42+(−4)2−2(0)2=16+16=324^2 + (-4)^2 - 2(0)^2 = 16 + 16 = 32 sonucu daha hızlı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →
x≠±2x \neq \pm 2 ve x≠0x \neq 0 olmak üzere,
x3−8x2+2x+4:x2−4x2+2x \frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hali x'tir.
Verilen rasyonel ifadede öncelikle özdeşlikler kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapılır. İlk kesirde iki küp farkı (x3−23x^3-2^3) açılarak paydadaki ifadeyle sadeleştirilir ve (x−2)(x-2) elde edilir. İkinci kesirde iki kare farkı ve ortak çarpan parantezi kullanılarak sadeleştirme yapılır ve x−2x\frac{x-2}{x} elde edilir. Son olarak, bölme işlemi çarpma işlemine dönüştürülür: (x−2)⋅xx−2(x-2) \cdot \frac{x}{x-2}. Buradan (x−2)(x-2) terimleri sadeleşir ve geriye sadece xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payındaki x3−8x^3 - 8 ifadesi iki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)) kullanılarak çarpanlarına ayrılır.
x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)
Küp açılımı özdeşliğinin uygulanması.
2
İlk kesirdeki sadeleştirme işlemi yapılır.
(x−2)(x2+2x+4)x2+2x+4=x−2\frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4} = x - 2
Pay ve paydadaki ortak çarpan olan (x2+2x+4)(x^2 + 2x + 4) ifadeleri sadeleşir.
3
İkinci kesrin payı iki kare farkı (x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2)), paydası ise ortak çarpan parantezi (x2+2x=x(x+2)x^2 + 2x = x(x+2)) ile çarpanlarına ayrılır.
(x−2)(x+2)x(x+2)=x−2x\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}
İki kare farkı ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri uygulanır ve (x+2)(x+2) çarpanları sadeleşir.
4
Elde edilen sonuçlarla bölme işlemi yapılır. Bölme işlemi, ikinci ifadenin çarpmaya göre tersi ile çarpılması anlamına gelir.
(x−2):x−2x=(x−2)⋅xx−2(x - 2) : \frac{x-2}{x} = (x - 2) \cdot \frac{x}{x - 2}
Rasyonel ifadelerde bölme işlemi kuralı.
5
Son sadeleştirme yapılarak sonuç bulunur.
xx
(x−2)(x-2) çarpanları birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Özdeşlikler (İki Küp Farkı, İki Kare Farkı)
Sayfa 1 / 3Sonraki
Çarpanlara Ayırma Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin