x bir gerçel sayı olmak üzere, \frac{x^4 + 64}{x^2 + 4x + 8} - x^2 + 4x ifadesinin en sade… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\frac{x^4 + 64}{x^2 + 4x + 8} - x^2 + 4x

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

İfadenin en sade hâli 8 sayısıdır.

Verilen rasyonel ifadenin payı olan

x^4 + 64

ifadesi,

16x^2

eklenip çıkarılarak

(x^2+8)^2 - (4x)^2

biçimine dönüştürülür. İki kare farkı ile çarpanlarına ayrıldığında

(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)

elde edilir. Paydadaki terimle sadeleşme sonrası kalan

x^2-4x+8

ifadesi, dışarıdaki

-x^2+4x

ile toplandığında tüm değişkenler birbirini yok eder ve sonuç sabit bir değer olan 8 bulunur.

x^4 + 64

ifadesini tam kareye tamamlamak için gerekli terimi belirleme

x^4 = (x^2)^2

64 = 8^2

olduğundan, ifadenin

(x^2+8)^2

olabilmesi için

2 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2

terimi gereklidir.

İfadeyi tam kare farkı biçimine getirebilmek için uygun bir terim ekleyip çıkarmak gerekir (Sophie Germain Özdeşliği).

16x^2

terimini ekleyip çıkarma ve gruplandırma

x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2+8)^2 - (4x)^2

Tam kare ifade elde edildikten sonra dışarıda kalan terimin de bir tam kare olması, iki kare farkı uygulanmasını sağlar.

İki kare farkı özdeşliğini uygulama

(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x)

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

kuralı kullanılarak pay kısmı çarpanlarına ayrılır.

Rasyonel ifadeyi sadeleştirme

\frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 + 4x + 8} = x^2 - 4x + 8

Pay ve paydadaki ortak olan

(x^2 + 4x + 8)

terimleri sadeleşir.

Kalan terimler ile çıkarma işlemini tamamlama

(x^2 - 4x + 8) - x^2 + 4x = 8

x^2 - x^2

-4x + 4x

terimleri birbirini sıfırlar, geriye sadece sabit terim kalır.

Tam kareye tamamlama yöntemi ve iki kare farkı özdeşliği (Sophie Germain Özdeşliği)

Soru