Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpanlara Ayırma
Tanımlı olduğu değerler için,
x2+2x+1−y2x+y+1+x2−y2−2y−1x−y−1 \frac{x^2 + 2x + 1 - y^2}{x + y + 1} + \frac{x^2 - y^2 - 2y - 1}{x - y - 1}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    2x2x
  2. 2x+22x + 2Cevap
  3. C
    2y2y
  4. D
    2x−2y2x - 2y
  5. E
    x+y+2x + y + 2

Cevap

İfadenin en sade hali 2x+22x + 2 sonucudur.
Verilen ifadede terim ekleyip çıkarmak veya gruplandırmak gerekir. İlk kesirde (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2, ikinci kesirde ise x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 yapıları gizlenmiştir. Bu yapılar iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında, paydalarla sadeleşen çarpanlar ortaya çıkar. İlk kısımdan x−y+1x-y+1, ikinci kısımdan x+y+1x+y+1 gelir. Toplamları 2x+22x+2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesrin payındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.
x2+2x+1−y2=(x+1)2−y2x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x+1)^2 - y^2
Dört terimli ifadelerde tam kare (a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2) yapısını görmek çarpanlara ayırmanın temel adımıdır.
2
Birinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x+1−y)(x+1+y)x+y+1=x−y+1\frac{(x+1-y)(x+1+y)}{x+y+1} = x - y + 1
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak pay ve payda sadeleştirilir.
3
İkinci kesrin payındaki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare yapısını tespit et.
x2−(y2+2y+1)=x2−(y+1)2x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2
Terimlerin işaretleri negatif olduğunda eksi parantezine almak tam kareyi (y+1y+1)'in karesi olarak görmeyi sağlar.
4
İkinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x−(y+1))(x+(y+1))x−y−1=(x−y−1)(x+y+1)x−y−1=x+y+1\frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{x-y-1} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{x-y-1} = x + y + 1
Sadeleşecek terim (x−y−1)(x-y-1) olarak ortaya çıkar.
5
Bulunan iki sonucu topla.
(x−y+1)+(x+y+1)=2x+2(x - y + 1) + (x + y + 1) = 2x + 2
Sadeleşmiş hallerin toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
İfadeleri doğrudan sadeleştirmek zordur. Pay kısımlarında üçlü terimleri gruplandırarak 'tam kare' (a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2) ifadeleri arayın.
2
Birinci payda x2+2x+1x^2+2x+1 kısmını, ikinci payda ise −(y2+2y+1)-(y^2+2y+1) kısmını görmeye çalışın.
3
İfade (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2 ve x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 şeklindedir. İki kare farkı formülünü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) uygulayın.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin iç içe geçtiği a2−b2−4a+4ba^2 - b^2 - 4a + 4b gibi dört terimli ifadeleri çarpanlara ayırma soruları çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi (Test tekniği): Tanımlı olacak şekilde x=2,y=0x=2, y=0 verelim. Birinci kısım: (4+4+1−0)/(2+1)=9/3=3(4+4+1-0)/(2+1) = 9/3 = 3. İkinci kısım: (4−0−0−1)/(2−1)=3/1=3(4-0-0-1)/(2-1) = 3/1 = 3. Toplam = 6. Şıklarda x=2,y=0x=2, y=0 için 6 veren tek seçenek 2x+22x+2'dir (2(2)+2=62(2)+2=6).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru