Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni çizilmiştir. Dörtgenin kenar uzunlukları ∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣BC∣=8|BC| = 8 cm, ∣AD∣=5|AD| = 5 cm ve ∣DC∣=12|DC| = 12 cm olarak verilmiştir.

m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ ve m(ADC^)<90∘m(\widehat{ADC}) < 90^\circ olduğuna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

İki şartın kesişimi olan 10 < x < 13 aralığında 2 farklı tam sayı değeri vardır.
Soruda verilen iki farklı üçgen için hem temel üçgen eşitsizliği hem de açı-kenar bağıntıları ayrı ayrı uygulanmalıdır. ABC üçgeninde B açısı geniş olduğu için x2>62+82x^2 > 6^2+8^2 şartından alt sınır 10 bulunur. ADC üçgeninde D açısı dar olduğu için x2<52+122x^2 < 5^2+12^2 şartından üst sınır 13 bulunur. Bu iki şartın kesişimi olan 10<x<1310 < x < 13 aralığında sadece 11 ve 12 tam sayıları yer alır, dolayısıyla cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
∣AC∣=x|AC| = x diyelim. Öncelikle ABC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.
Üçgen eşitsizliği: ∣8−6∣<x<8+6⇒2<x<14|8-6| < x < 8+6 \Rightarrow 2 < x < 14. Açı şartı (B>90∘B > 90^\circ): x2>62+82⇒x2>100⇒x>10x^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow x^2 > 100 \Rightarrow x > 10. Bu iki durumun kesişimi: **10<x<1410 < x < 14**.
Bir üçgende bir açı 90 dereceden büyükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
2
Şimdi ADC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.
Üçgen eşitsizliği: ∣12−5∣<x<12+5⇒7<x<17|12-5| < x < 12+5 \Rightarrow 7 < x < 17. Açı şartı (D<90∘D < 90^\circ): x2<52+122⇒x2<169⇒x<13x^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow x^2 < 169 \Rightarrow x < 13. Bu iki durumun kesişimi: **7<x<137 < x < 13**.
Bir üçgende bir açı 90 dereceden küçükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür.
3
Her iki üçgen için bulunan çözüm aralıklarının kesişimini alalım.
I. Aralık: 10<x<1410 < x < 14
II. Aralık: 7<x<137 < x < 13
Ortak Aralık: **10<x<1310 < x < 13**
xx uzunluğu her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki şartı aynı anda sağlamalıdır.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip sayalım.
10 ile 13 arasındaki tam sayılar: 11 ve 12'dir. Toplam 2 farklı değer vardır.
Soru bizden kaç farklı tam sayı değeri olduğunu istemektedir.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ile geniş/dar açı kenar bağıntılarının (Pisagor teoremi genellemesi) birlikte kullanılması.

İpuçları

1
Soruda iki farklı üçgen (ABC ve ADC) ortak bir kenara (AC) sahiptir. Her iki üçgen için ayrı ayrı kısıtlamaları yazmalısınız.
2
Geniş açı (>90∘>90^\circ) ve dar açı (<90∘<90^\circ) şartları, Pisagor bağıntısına benzer şekilde (a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2) eşitsizlik olarak yazılır (a2>...a^2 > ... veya a2<...a^2 < ...).
3
ABC üçgeninde x2>62+82x^2 > 6^2 + 8^2 ve ADC üçgeninde x2<52+122x^2 < 5^2 + 12^2 eşitsizliklerini çözerek ortak aralığı bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru