Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki şekilde ABCABC ve ACDACD üçgenleri [AC][AC] kenarı boyunca birleştirilmiştir. ∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣BC∣=8|BC| = 8 cm ve ∣CD∣=5|CD| = 5 cm'dir. Şekilde m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ ve m(ACD^)>90∘m(\widehat{ACD}) > 90^\circ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

x'in alabileceği 7 farklı tam sayı değeri vardır.
Soruda verilen iki geniş açı şartı adım adım uygulanmalıdır. İlk olarak ABCABC üçgeninde BB açısı 90∘90^\circ'den büyük olduğu için ∣AC∣|AC| kenarı 6−8−106-8-10 üçgeninden dolayı 1010'dan büyük olmalıdır; aynı zamanda üçgen eşitsizliğinden 1414'ten küçüktür (10<∣AC∣<1410 < |AC| < 14). İkinci adımda, ACDACD üçgeninde CC açısı 90∘90^\circ'den büyük olduğu için hipotenüs konumundaki xx, dik kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır (x2>∣AC∣2+52x^2 > |AC|^2 + 5^2). ∣AC∣|AC|'nin en küçük değeri 1010'dan büyük olduğu için, x2>100+25=125x^2 > 100 + 25 = 125 bulunur, yani x>125≈11.18x > \sqrt{125} \approx 11.18. Üst sınır ise üçgen eşitsizliğinden x<∣AC∣+5<14+5=19x < |AC| + 5 < 14 + 5 = 19 olur. Bu durumda 11.18<x<1911.18 < x < 19 aralığındaki tam sayılar 12,13,14,15,16,17,1812, 13, 14, 15, 16, 17, 18 olmak üzere 7 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak ABC üçgeninde verilen geniş açı şartını ve üçgen eşitsizliğini kullanarak ortak kenar AC'nin aralığını belirle.
10 < |AC| < 14
m(B) > 90 olduğundan |AC| > √(6² + 8²) = 10 ve üçgen eşitsizliğinden |AC| < 6 + 8 = 14.
2
ACD üçgeni için geniş açı şartını (m(C) > 90) kullanarak x için alt sınırı belirle.
x > √125 (yaklaşık 11.18)
m(ACD) > 90 ise x² > |AC|² + |CD|² olur. |AC| > 10 olduğundan |AC|² > 100 ve x² > 100 + 25 = 125.
3
ACD üçgeni için üçgen eşitsizliğini kullanarak x için üst sınırı belirle.
x < 19
x < |AC| + |CD| olmalıdır. |AC| < 14 olduğundan x < 14 + 5 = 19.
4
Bulunan alt ve üst sınırlar arasındaki tam sayıları listele ve say.
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (Toplam 7 adet)
11.18 < x < 19 aralığındaki tam sayılar.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden, geniş açı kısıtlamaları ile kenar uzunluklarının aralığının bulunması.

İpuçları

1
Önce ABCABC üçgeninde Pisagor bağıntısını referans alarak ∣AC∣|AC| kenarının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.
2
∣AC∣|AC| kenarının 10'dan büyük olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi ACDACD üçgenindeki geniş açı eşitsizliğinde (x2>∣AC∣2+52x^2 > |AC|^2 + 5^2) yerine koyunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir açısı dar açı (<90) olarak verilen iki üçgenli bir soru çözerek aradaki farkı pekiştiriniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru