Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpanlara Ayırma
x≠−5,x≠−3,x≠−2x \neq -5, x \neq -3, x \neq -2 ve x≠5x \neq 5 olmak üzere,
x3−19x−30x2−25⋅x2+5xx2+5x+6 \frac{x^3 - 19x - 30}{x^2 - 25} \cdot \frac{x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 6}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
  1. xCevap
  2. B
    x + 2
  3. C
    x - 5
  4. D
    xx+2\frac{x}{x+2}
  5. E
    1x+5\frac{1}{x+5}

Cevap

İfadenin en sade hâli xx sonucudur.
Verilen rasyonel ifadede önce küplü terim (x−5)(x2+5x+6)(x-5)(x^2+5x+6) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Diğer terimler de çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x2+5x+6)(x^2+5x+6) ifadelerinin tamamı birbirini sadeleştirir ve geriye sadece xx çarpanı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payındaki küp ifadeyi çarpanlarına ayır.
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, paydadaki (x2−25)(x^2-25) ipucu olarak kullanılabilir. x=5x=5 denendiğinde 125−95−30=0125 - 95 - 30 = 0 olduğu görülür. Polinom bölmesi veya Horner yöntemiyle: x3−19x−30=(x−5)(x2+5x+6)x^3 - 19x - 30 = (x-5)(x^2 + 5x + 6) elde edilir.
Üçüncü dereceden ifadelerin çarpanlarını bulmak için rasyonel kök teoremi veya verilen diğer ifadelerden ipucu alma yöntemi kullanılır.
2
Elde edilen ikinci derece ifadeyi ve diğer tüm terimleri çarpanlarına ayır.
Pay: (x−5)(x+2)(x+3)(x-5)(x+2)(x+3). Payda: x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5). İkinci kesir pay: x2+5x=x(x+5)x^2 + 5x = x(x+5). İkinci kesir payda: x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
Sadeleştirme yapabilmek için tüm ifadeler çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Tüm çarpanları yerine yaz ve sadeleştirme işlemini uygula.
(x−5)(x+2)(x+3)(x−5)(x+5)⋅x(x+5)(x+2)(x+3) \frac{(x-5)(x+2)(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{x(x+5)}{(x+2)(x+3)} Ortak çarpanlar (x−5)(x-5), (x+5)(x+5) ve (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) birbirini götürür. Geriye sadece xx kalır.
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması.

İpuçları

1
İşleme başlamadan önce paydadaki (x2−25)(x^2 - 25) ifadesinin çarpanlarına (x−5x-5 ve x+5x+5) dikkat edin. Bu çarpanlardan biri pay kısmındaki x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinin de bir çarpanı olabilir mi?
2
x=5x=5 değerini x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesinde yerine koyarak sonucun 0 olup olmadığını kontrol edin. Eğer 0 ise, (x−5)(x-5) bir çarpandır.
3
x3−19x−30x^3 - 19x - 30 ifadesini (x−5)(x-5)'e böldüğünüzde elde edeceğiniz bölüm x2+5x+6x^2 + 5x + 6 olacaktır. Bu ifade, ikinci kesrin paydasıyla aynıdır.

Daha Fazla Pratik

Üçüncü dereceden polinomların çarpanlara ayrılması konusunda daha fazla pratik yapmak için 'Polinomlarda Bölme' konusuna göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yapmak yerine, şıklardan giderek veya xx yerine tanım kümesine uygun basit bir sayı (örneğin x=1x=1) vererek sonuç kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem teorik öğrenmeyi desteklemez.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru