Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Alan

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan bir doğru, [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını EE noktasında kesmektedir.

A(ABC)=72 cm2A(ABC) = 72 \text{ cm}^2 olduğuna göre, DBCEDBCE dörtgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2 dir?

  1. A
    32
  2. 40Cevap
  3. C
    48
  4. D
    54
  5. E
    64

Cevap

40 cm²
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeye 2 birim, tabana 1 birim olacak şekilde böler. Bu durum, tepe noktasından geçen paralel doğru ile oluşturulan küçük üçgenin (ADEADE), büyük üçgene (ABCABC) benzerlik oranının 2/32/3 olduğunu gösterir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/94/9) olduğundan, üstteki üçgenin alanı toplam alanın 4/94/9'u olur (32 cm232 \text{ cm}^2). İstenen dörtgenin alanı ise geriye kalan kısımdır (72−32=40 cm272 - 32 = 40 \text{ cm}^2).

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini kullan
Ağırlık merkezi GG, kenarortayı köşeden tabana 2:12:1 oranında böler. Yani AA köşesinden inen kenarortay AG=2kAG = 2k ve GM=kGM = k olacak şekilde ayrılır.
Benzerlik oranını bulmak için yükseklikler veya kenarlar arasındaki oranı belirlemek gerekir.
2
Benzerlik oranını belirle
DE//BCDE // BC olduğu için △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliği vardır. Benzerlik oranı k=∣AG∣∣AM∣=23k = \frac{|AG|}{|AM|} = \frac{2}{3} tür.
Temel benzerlik teoremine göre paralel doğrular orantılı parçalar ayırır.
3
Alanlar oranını hesapla
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: k2=(23)2=49k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
4
Parça alanları bul
A(ADE)=49⋅A(ABC)=49⋅72=32 cm2A(ADE) = \frac{4}{9} \cdot A(ABC) = \frac{4}{9} \cdot 72 = 32 \text{ cm}^2.
Üstteki üçgenin alanını hesaplamak için.
5
Dörtgenin alanını bul
A(DBCE)=A(ABC)−A(ADE)=72−32=40 cm2A(DBCE) = A(ABC) - A(ADE) = 72 - 32 = 40 \text{ cm}^2.
Toplam alandan üstteki üçgenin alanı çıkarılarak alttaki dörtgenin alanı bulunur.

Anahtar Kavram

Benzerlik oranı kk olan üçgenlerin alanları oranı k2k^2 dir.

İpuçları

1
Ağırlık merkezi (GG), kenarortay üzerinde köşeye olan uzaklığı ile kenara olan uzaklığı arasında 2:12:1 oranı kurar.
2
ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, AA noktasından GG noktasına olan mesafenin toplam kenarortay uzunluğuna oranıdır.
3
Benzerlik oranı 2/32/3 tür. Alanlar oranı bu oranın karesi (4/94/9) olur. Önce ADEADE üçgeninin alanını bulun, sonra toplam alandan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, ağırlık merkezi yerine kenarları belirli oranda bölen herhangi bir nokta vererek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Alan paylaştırma yöntemi: Ağırlık merkezi ile köşeleri birleştiren doğrular çizilirse üçgen 3 eş alana ayrılır (3S3S). Paralellik kullanılarak bu alanlar içindeki oranlar da hesaplanabilir, ancak benzerlik karesi yöntemi (s çözümdeki) en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru