Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Alan
Şekildeki ABCABC üçgeninde, D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları alınmıştır. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olmak üzere, ADEADE üçgeninin alanı ile BCEDBCED dörtgeninin alanı arasında;
5⋅Alan(ADE)=4⋅Alan(BCED)5 \cdot \text{Alan}(ADE) = 4 \cdot \text{Alan}(BCED)
bağıntısı bulunmaktadır.

Buna göre, ∣DE∣∣BC∣\frac{|DE|}{|BC|} oranı kaçtır?

  1. A
    49\frac{4}{9}
  2. 23\frac{2}{3}Cevap
  3. C
    45\frac{4}{5}
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    53\frac{\sqrt{5}}{3}

Cevap

Benzerlik oranı 2/3'tür.
Doğru cevapta, küçük üçgenin alanının toplam alana oranı (4/9) hesaplanmış ve bu oranın karekökü alınarak benzerlik oranı (2/3) bulunmuştur. Paralellikten dolayı ADE ve ABC üçgenleri benzerdir ve 'Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir' ilkesi uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikten alan değerlerine geçiş yapılması
5 · Alan(ADE) = 4 · Alan(BCED) eşitliğinden; Alan(ADE) = 4S ve Alan(BCED) = 5S olarak seçilir.
Oran orantı özelliklerini kullanarak alanları tek bir değişken cinsinden ifade etmek işlemi kolaylaştırır.
2
Toplam alanın ve alanlar oranının bulunması
Toplam Alan(ABC) = Alan(ADE) + Alan(BCED) = 4S + 5S = 9S olur. Alanlar oranı: Alan(ADE) / Alan(ABC) = 4S / 9S = 4/9.
Benzer üçgenlerde alanlar oranı, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranıdır.
3
Benzerlik oranının hesaplanması
Benzerlik oranı (k), alanlar oranının kareköküdür. k² = 4/9 ise k = √(4/9) = 2/3 bulunur.
Üçgenlerde benzerlik oranının karesi, alanlar oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Verilen 5·Alan(ADE) = 4·Alan(BCED) eşitliğini kullanarak bölgelerin alanlarına 4S ve 5S değerlerini verin.
2
ADE üçgeni ile ABC büyük üçgeni benzerdir. Benzerlik oranını bulmak için küçük üçgenin alanını büyük üçgenin TOPLAM alanına oranlayın.
3
Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir (k2=AlanOranık^2 = \text{AlanOranı}). Bulduğunuz alan oranının karekökünü alın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının verildiği ve alanın sorulduğu tersine işlem gerektiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Alan

Bu konudan daha fazla soru