Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={a,b,c,d}A = \{a, b, c, d\} ve B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların kaç tanesi örten fonksiyondur?

  1. A
    24
  2. 36Cevap
  3. C
    48
  4. D
    64
  5. E
    81

Cevap

36 farklı örten fonksiyon tanımlanabilir.
4 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye tanımlanan örten fonksiyonlarda, değer kümesindeki bir eleman mutlaka iki kez, diğerleri birer kez görüntülenir. (31)×(42)×2!=36\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} \times 2! = 36 işlemiyle doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örten fonksiyon tanımını hatırla
Görüntü kümesi (B), değer kümesine eşit olmalıdır. Yani B kümesindeki her elemana en az bir ok gelmelidir.
Örten fonksiyonun şartı, değer kümesinde boşta eleman kalmamasıdır.
2
Eleman dağılımı yapısını belirle
4 elemanlı A kümesinden 3 elemanlı B kümesine örten olması için, B'deki bir elemana 2 ok, diğer iki elemana 1'er ok gelmelidir (2+1+1 yapısı).
Değer kümesindeki 3 elemanın hepsi kullanılmalı ve toplam 4 tanım kümesi elemanı dağıtılmalıdır.
3
2 ok alacak elemanı ve bu elemana gidecek ikiliyi seç
B kümesinden 2 ok alacak eleman (31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı şekilde, A kümesinden bu elemana gidecek ikili (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı şekilde seçilir.
Hangi çıktının iki kez kullanılacağını ve hangi girdilerin buna eşleşeceğini belirlemek gerekir.
4
Kalan elemanları dağıt (sırala)
A'da kalan 2 eleman, B'de kalan 2 elemana 2!=22! = 2 farklı şekilde eşleşir.
Kalan elemanlar birebir eşleşmelidir.
5
Tüm durumları çarp
3×6×2=363 \times 6 \times 2 = 36
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız seçim sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Örten Fonksiyon Sayısı (Parçalanış Yöntemi)

İpuçları

1
Örten fonksiyon olması için B kümesindeki (1, 2, 3) elemanlarının her biri en az bir kez kullanılmalıdır.
2
A kümesinde 4 eleman, B kümesinde 3 eleman var. Bu durumda B'deki bir elemana A'dan kesinlikle iki ok gelmek zorundadır.
3
B kümesinden 2 ok alacak elemanı seçin (3 seçenek). A'dan bu elemana gidecek 2 elemanı seçin ((42)\binom{4}{2}). Kalanları sıralayın.

Daha Fazla Pratik

A={1,2,3,4,5} ve B={1,2,3} kümeleri için örten fonksiyon sayısı kaçtır?

Alternatif Yöntem

İçerme-Dışarma Prensibi: Toplam fonksiyon sayısı - (Örten olmayanlar). Tüm fonksiyonlar 34=813^4=81. 1 elemanın boşta kaldığı durumlar: (31)⋅24=48\binom{3}{1} \cdot 2^4 = 48. 2 elemanın boşta kaldığı (görüntü kümesinin 1 elemanlı olduğu) durumlar: (32)⋅14=3\binom{3}{2} \cdot 1^4 = 3. Sonuç: 81−48+3=3681 - 48 + 3 = 36.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru