Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar

pp bir asal sayı olmak üzere, 17p+1\sqrt{17p + 1} ifadesi bir tam sayıya eşittir. Buna göre, pp aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1
  2. B
    7
  3. C
    13
  4. D
    17
  5. 19Cevap

Cevap

19
Verilen ifade 17p+1=k\sqrt{17p + 1} = k şeklinde düşünüldüğünde, 17p=(k−1)(k+1)17p = (k-1)(k+1) eşitliği elde edilir. 17 asal bir sayı olduğundan, sağ taraftaki çarpanlardan biri 17'nin katı olmalıdır. (k+1)(k+1) ve (k−1)(k-1) arasındaki fark 2'dir. Bu şartı sağlayan durum k−1=17k-1=17 ve k+1=19k+1=19 olduğunda gerçekleşir (çünkü 1919 da asaldır). Buradan p=19p=19 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin bir tam sayıya eşit olduğunu varsayarak denklemi kurun.
17p+1=k\sqrt{17p + 1} = k (k bir pozitif tam sayı)
Kök dışına tam sayı olarak çıkması için içerisi tam kare olmalıdır.
2
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak pp'yi yalnız bırakmaya yönelik düzenleme yapın.
17p+1=k2⇒17p=k2−117p + 1 = k^2 \Rightarrow 17p = k^2 - 1
Köklü ifadeden kurtulmak için kare alınır.
3
İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara ayırın.
17p=(k−1)⋅(k+1)17p = (k - 1) \cdot (k + 1)
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliği kullanılır.
4
Asal çarpanları analiz ederek pp değerini bulun. 17 asal olduğu için çarpanlardan biri 17 olmalıdır.
Çarpanlar (k−1)(k-1) ve (k+1)(k+1) aralarındaki fark 2'dir. Biri 17, diğeri pp olmalıdır. k−1=17k-1=17 ise k=18k=18. O zaman k+1=19k+1=19. Yani p=19p=19.
17 ve p asal sayılar olduğu için, (k−1)(k-1) ve (k+1)(k+1) çarpanları 17 ve p (veya 1 ve 17p) olmalıdır. Farkı 2 olan tek uygun durum budur.
5
Bulunan değeri kontrol edin.
17⋅19+1=323+1=324=18\sqrt{17 \cdot 19 + 1} = \sqrt{323 + 1} = \sqrt{324} = 18. Tam sayıdır.
Sağlaması yapılarak çözüm doğrulanır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru