Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar
xx ve yy birer asal sayı olmak üzere,
y=x2+19 y = x^2 + 19
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    23
  3. 25Cevap
  4. D
    27
  5. E
    31

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 25'tir.
Verilen y=x2+19y = x^2 + 19 denkleminde yy bir asal sayı ise, xx mutlaka çift olmak zorundadır. Çünkü xx tek olsaydı x2+19x^2 + 19 ifadesi çift bir sayı olurdu ve 2'den büyük hiçbir çift sayı asal değildir. Tek çift asal sayı 2 olduğu için x=2x = 2 alınır. Bu durumda y=4+19=23y = 4 + 19 = 23 olur. Hem 2 hem de 23 asal sayı olduğundan koşul sağlanır. Toplamları ise 2+23=252 + 23 = 25 eder.

Adım Adım Çözüm

1
xx asal sayısının tek veya çift olma durumunu incele.
xx sayısı 2'den büyük bir asal sayı (tek sayı) olsaydı, x2x^2 de tek olurdu.
Asal sayıların 2 haricindeki tamamı tek sayıdır ve tek sayıların karesi de tektir.
2
yy sayısının asallığını kontrol et.
y=tek+19=c¸ifty = \text{tek} + 19 = \text{çift} olurdu. 2'den büyük çift sayılar asal olamaz.
İki tek sayının toplamı çifttir ve 2'den büyük çift sayılar asal sayı tanımına uymaz.
3
xx için tek çift olan asal sayıyı yerine koy.
x=2x = 2 olmalıdır. Buradan y=22+19=4+19=23y = 2^2 + 19 = 4 + 19 = 23 bulunur.
Denklemin her iki tarafının da asal olması için xx çift asal sayı (2) olmalıdır.
4
İstenen toplamı hesapla.
x+y=2+23=25x + y = 2 + 23 = 25 olarak bulunur.
Soru kökünde xx ve yy değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Asal sayılar içerisinde çift olan tek sayının 2 olması ve sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin asal sayı sorularındaki belirleyici rolü.

İpuçları

1
xx sayısı tek bir asal sayı olsaydı, yy nasıl bir sayı olurdu?
2
En küçük ve tek çift asal sayıyı hatırlayın; bu sayı denklemi sağlıyor mu?
3
x=2x=2 değerini denklemde yerine koyarak yy değerini bulun ve asallığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

İki asal sayının farkı tek bir sayı ise bu sayılardan birinin mutlaka 2 olması gerektiğini unutmayın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemiyle en küçük asal sayılardan (2, 3, 5...) başlanarak yy değerinin asal olup olmadığı kontrol edilebilir. x=2x=2 için y=23y=23 (asal), x=3x=3 için y=28y=28 (asal değil) olduğu görülür.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru