Examkin

Soru

Zorluk: ZorAsal Sayılar

a,ba, b ve cc birer asal sayıdır.

3a=b2−c23a = b^2 - c^2

eşitliği sağlandığına göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    12
  3. 14Cevap
  4. D
    15
  5. E
    16

Cevap

Doğru cevap 14'tür (a=7,b=5,c=2a=7, b=5, c=2).
Verilen 3a=b2−c23a = b^2 - c^2 eşitliği çarpanlarına ayrıldığında 3a=(b−c)(b+c)3a = (b-c)(b+c) elde edilir. bb ve cc asal sayı olduğu için b−cb-c çarpanı 3'e eşitlenir (çünkü b−c=1b-c=1 durumu aa'yı tam sayı yapmaz). Farkları 3 olan asal sayılardan biri mutlaka çifttir (c=2c=2), dolayısıyla b=5b=5 olur. Buradan a=7a=7 bulunur ve toplam 14 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafını iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırın.
3a=(b−c)⋅(b+c)3a = (b-c) \cdot (b+c)
b2−c2=(b−c)(b+c)b^2 - c^2 = (b-c)(b+c) özdeşliği kullanılır.
2
Eşitliğin sol tarafındaki 3a3a ifadesinin çarpanlarını analiz edin ve olası (b−c)(b-c) değerlerini belirleyin.
33 ve aa asal olduğu için çarpanlar 1,3,a,3a1, 3, a, 3a olabilir. b+c>b−cb+c > b-c olduğu unutulmamalıdır.
Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
3
Olası durumları test edin. 1. Durum: b−c=1b-c=1 ve b+c=3ab+c=3a.
b−c=1b-c=1 ise b=3,c=2b=3, c=2 (ardışık asallar). Bu durumda 3+2=5=3a⇒a=5/33+2=5=3a \Rightarrow a=5/3 (Tam sayı değil). Bu durum geçersizdir.
Ardışık asal sayılar sadece 2 ve 3'tür.
4
2. Durum: b−c=3b-c=3 ve b+c=ab+c=a. Bu durumda asalları test edin.
Farkları 3 (tek sayı) olan iki asal sayıdan biri mutlaka çift olmalıdır (Çünkü Tek - Tek = Çift, Tek - Çift = Tek). Çift olan tek asal sayı 2'dir. O halde c=2c=2 olmalıdır. Buradan b−2=3⇒b=5b-2=3 \Rightarrow b=5 bulunur. b=5b=5 asaldır.
Asal sayıların parite (teklik-çiftlik) özelliklerinin kullanılması gerekir.
5
Bulunan bb ve cc değerlerini kullanarak aa'yı hesaplayın ve tüm sayıların asal olup olmadığını doğrulayın.
b+c=a⇒5+2=a⇒a=7b+c = a \Rightarrow 5+2 = a \Rightarrow a=7. 7 bir asal sayıdır. Eşitlik kontrolü: 3(7)=52−22⇒21=25−43(7) = 5^2 - 2^2 \Rightarrow 21 = 25 - 4. Doğru.
Bulunan değerlerin denklemi sağladığı ve hepsinin asal olduğu teyit edilmelidir.
6
a+b+ca+b+c toplamını hesaplayın.
7+5+2=147 + 5 + 2 = 14.
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve parite (teklik-çiftlik) kuralları.

İpuçları

1
b2−c2b^2 - c^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak (b−c)(b+c)(b-c)(b+c) şeklinde yazın.
2
3a3a ifadesinin çarpanlarını düşünün. bb ve cc asal sayı olduğu için (b−c)(b-c) çarpanı ya 1 ya da 3 olabilir. Her iki durumu da deneyin.
3
b−c=3b-c=3 ise, aralarındaki fark tek sayı olan iki sayıdan biri mutlaka çifttir. Asal sayılar içinde çift olan tek sayı 2'dir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru