Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyon (Seçme)

Bir kamu kurumunun Ar-Ge Daire Başkanlığında görevli 5 yüksek mühendis ve 3 mimar arasından, yürütülecek stratejik bir proje için 4 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu grupta en az 2 yüksek mühendis bulunması gerekmektedir. Ancak, yüksek mühendisler arasındaki (A) kişisi ile mimarlar arasındaki (B) kişisinin, geçmişte yaşadıkları idari bir husumet nedeniyle aynı çalışma grubunda yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    45
  2. B
    50
  3. 51Cevap
  4. D
    60
  5. E
    65

Cevap

Çalışma grubu 51 farklı şekilde oluşturulabilir.
Problemi çözmek için önce 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan tüm olası grupları hesaplarız, ardından bu gruplar içinden (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu istenmeyen durumları çıkarırız.

1. Tüm Geçerli Durumlar (Kişi kısıtı olmadan):
- 2 Müh, 2 Mim: C(5,2)×C(3,2)=10×3=30C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30
- 3 Müh, 1 Mim: C(5,3)×C(3,1)=10×3=30C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30
- 4 Müh: C(5,4)×C(3,0)=5×1=5C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5
- Toplam = 30+30+5=6530 + 30 + 5 = 65

2. İstenmeyen Durumlar (A ve B birlikte):
Grupta A (Müh) ve B (Mim) kesinlikle varsa, geriye 2 kişi seçilmelidir. Kalan havuz: 4 Müh, 2 Mim.
Grupta toplam en az 2 mühendis olmalı. A zaten grupta, dolayısıyla kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalı.
- 1 Müh, 1 Mim seçimi: C(4,1)×C(2,1)=4×2=8C(4,1) \times C(2,1) = 4 \times 2 = 8 (Toplam Müh: A + 1 = 2, uygun)
- 2 Müh seçimi: C(4,2)×C(2,0)=6×1=6C(4,2) \times C(2,0) = 6 \times 1 = 6 (Toplam Müh: A + 2 = 3, uygun)
- (Dikkat: 2 Mimar seçersek toplam Müh sayısı 1 olur, bu durum zaten 65'in içinde yoktu, çıkarmaya gerek yok.)
- İstenmeyen Toplam = 8+6=148 + 6 = 14

3. Sonuç: 65−14=5165 - 14 = 51

Adım Adım Çözüm

1
Tüm kısıtlamalar olmadan, sadece 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan durum sayısını hesapla.
30 + 30 + 5 = 65 durum
Grupta 2, 3 veya 4 mühendis olabilir. (2 Müh, 2 Mim) + (3 Müh, 1 Mim) + (4 Müh, 0 Mim) kombinasyonları toplanır: C(5,2)*C(3,2) + C(5,3)*C(3,1) + C(5,4)*C(3,0).
2
Yasaklı olan (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu ve aynı zamanda 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.
8 + 6 = 14 durum
(A) ve (B) gruptaysa, kalan 2 kişi için 4 Mühendis ve 2 Mimar kalır. Toplamda en az 2 mühendis olması gerektiği ve (A) zaten mühendis olduğu için, kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalıdır. Olasılıklar: (1 Müh, 1 Mim) veya (2 Müh, 0 Mim).
3
Birinci adımdaki toplam geçerli durum sayısından, ikinci adımdaki yasaklı durum sayısını çıkar.
65 - 14 = 51
Genel kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkararak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve İçerme-Dışlama Prensibi

İpuçları

1
Önce kişi kısıtlamasını (A ve B durumu) görmezden gelerek, sadece 'en az 2 mühendis' kuralına uyan kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplayınız.
2
Bulduğunuz bu toplam sayıdan, hem 'en az 2 mühendis' kuralına uyan hem de A ve B'nin birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkarınız.

Alternatif Yöntem

Durumları ayrık kümeler halinde toplayarak da çözebilirsiniz: 1) A var, B yok; 2) A yok, B var; 3) A yok, B yok. Bu üç durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon (Seçme)

Bu konudan daha fazla soru