Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir ABCABC üçgeninin kenarları üzerinde toplam 99 farklı nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların 33'ü üçgenin köşeleri olup; ABAB kenarı üzerinde (köşeler hariç) 22 nokta, BCBC kenarı üzerinde (köşeler hariç) 33 nokta ve ACAC kenarı üzerinde (köşeler hariç) 11 nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 99 noktadan seçilen kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. 69Cevap
  2. B
    70
  3. C
    74
  4. D
    80
  5. E
    84

Cevap

Köşeleri bu noktalar olan toplam 69 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğru cevap 69'dur çünkü 9 noktadan seçilebilecek tüm 84 üçlü gruptan, ABAB kenarındaki 4 noktanın oluşturduğu 4 grup, BCBC kenarındaki 5 noktanın oluşturduğu 10 grup ve ACAC kenarındaki 3 noktanın oluşturduğu 1 grup (toplam 15 grup) doğrusal oldukları için üçgen oluşturmaz. 84−15=6984 - 15 = 69 işlemiyle sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını belirle ve tüm üçlü seçimleri hesapla.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan oluşturulabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon kullanılır.
2
Her bir kenar üzerindeki toplam nokta sayısını (köşeler dahil) belirle.
ABAB üzerinde 2+2=42+2=4 nokta, BCBC üzerinde 3+2=53+2=5 nokta, ACAC üzerinde 1+2=31+2=3 nokta vardır.
Kenarlar üzerindeki doğrusal noktalar üçgen oluşturmaz; bu yüzden her kenardaki nokta sayısı ayrı ayrı tespit edilmelidir.
3
Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçlü seçimlerini hesapla.
ABAB için: (43)=4\binom{4}{3} = 4, BCBC için: (53)=10\binom{5}{3} = 10, ACAC için: (33)=1\binom{3}{3} = 1.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde bir üçgen değil, bir doğru parçası oluşturur.
4
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.
84−(4+10+1)=84−15=6984 - (4 + 10 + 1) = 84 - 15 = 69.
Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için doğrusal durumlar genel toplamdan çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon kullanılarak geometrik şekil oluşturma problemlerinde, genel seçim sayısından (doğrusallık gibi) kısıtlamalara uymayan durumlar çıkarılır.

İpuçları

1
Toplam nokta sayısından yola çıkarak tüm olasılıkları hesaplayın ve üçgen oluşturmayan durumları belirleyin.
2
Bir üçgenin kenarı üzerindeki tüm noktalar (köşeler dahil) doğrusaldır. Doğrusal noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamaz.
3
(93)\binom{9}{3} toplam durumdur. ABAB üzerindeki 4 noktadan, BCBC üzerindeki 5 noktadan ve ACAC üzerindeki 3 noktadan yapılan üçlü seçimleri bu toplamdan çıkarmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Bir çember üzerindeki noktalarla bir doğru üzerindeki noktaların karıştırıldığı senaryoları inceleyerek kombinasyon mantığını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru