Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bir ABCDABCD dikdörtgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere toplam 1414 nokta işaretlenmiştir. Bu noktaların dağılımı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* ABAB kenarı üzerinde, AA ve BB köşeleri hariç 33 nokta,
* BCBC kenarı üzerinde, BB ve CC köşeleri hariç 22 nokta,
* CDCD kenarı üzerinde, CC ve DD köşeleri hariç 44 nokta,
* DADA kenarı üzerinde, DD ve AA köşeleri hariç 11 nokta

bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. 329Cevap
  2. B
    330
  3. C
    344
  4. D
    359
  5. E
    364

Cevap

Dikdörtgen üzerindeki noktalardan 329 farklı üçgen oluşturulabilir.
Üçgen oluşturabilmek için seçilen 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir. Dikdörtgen üzerindeki 14 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü gruplardan (364), dikdörtgenin kenarları üzerinde doğrusal olarak dizilmiş olan noktaların kendi aralarındaki 3'lü seçimleri (toplam 35 durum) çıkarıldığında geriye kalan 329 durum geçerli üçgenleri verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve kenar üzerindeki nokta sayılarını belirle.
Toplam nokta: 14. Kenarlardaki noktalar (köşeler dahil): AB kenarı 5, BC kenarı 4, CD kenarı 6, DA kenarı 3 nokta.
Üçgen oluşturmak için seçilecek toplam nesne havuzunu ve doğrusal (geçersiz) grupları belirlemek gerekir.
2
Tüm 3'lü seçimlerin sayısını hesapla.
(143)=14×13×123×2×1=364\binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364.
Herhangi bir sınırlama olmasaydı oluşabilecek maksimum üçgen sayısını bulmak için kombinasyon formülü uygulanır.
3
Kenarlar üzerindeki doğrusal noktaların üçgen oluşturamadığı durumları hesapla.
AB: (53)=10\binom{5}{3}=10, BC: (43)=4\binom{4}{3}=4, CD: (63)=20\binom{6}{3}=20, DA: (33)=1\binom{3}{3}=1. Toplam geçersiz durum: 10+4+20+1=3510+4+20+1=35.
Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturamaz, sadece doğru parçası oluşturur.
4
Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkar.
364−35=329364 - 35 = 329.
Geometrik olarak mümkün olan toplam üçgen sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olan noktaların (kenar üzerindekiler) kombinasyonlarının tüm durumlardan çıkarılmasıyla toplam üçgen sayısı bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru