Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAlt Küme

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 4 ile tam bölünür?

  1. A
    192
  2. 208Cevap
  3. C
    212
  4. D
    224
  5. E
    240

Cevap

Elemanları çarpımı 4 ile tam bölünen alt küme sayısı 208'dir.
Doğru cevap 208'dir çünkü 8 elemanlı kümenin toplam 256 alt kümesinden, çarpımı 4'ün katı olmayan 48 durum çıkarılmıştır. Çarpımın 4'e bölünmemesi için 4 ve 8 hiç alınmamalı, 2 ve 6'dan ise en fazla biri alınmalıdır. Bu koşulu sağlayan 16×3=4816 \times 3 = 48 durum vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm alt kümelerin sayısını hesapla.
28=2562^8 = 256 adet alt küme vardır.
8 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
2
İstenen durumu doğrudan hesaplamak yerine, 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini (Tümleyen) kullanmaya karar ver.
İstenmeyen Durum: Elemanların çarpımının 4 ile bölünmemesi.
Çarpımın 4'e bölünmesi için içinde 4, 8 veya (2 ve 6) çifti bulunmalıdır. Bu durumları tek tek saymak yerine tersten gitmek daha kolaydır.
3
Çarpımın 4 ile bölünmemesi için gereken koşulları belirle.
Küme içinde 4 veya 8 asla bulunmamalıdır. Ayrıca, küme içinde 2 ve 6 sayıları aynı anda bulunmamalıdır (çünkü 2×6=122 \times 6 = 12, 4'e bölünür).
Sayı 4'ün katı olmamalıdır. Bunun için 4 ve 8 yasaklıdır. Geriye kalan çift sayılardan (2, 6) en fazla bir tanesi seçilebilir.
4
İstenmeyen durum sayısını hesapla.
Tek sayılar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 eleman) serbestçe seçilebilir (24=162^4 = 16 durum). Çift sayılardan {2,6}\{2, 6\} kümesinden ise ya hiçbiri, ya sadece 2, ya da sadece 6 seçilebilir (3 durum). Toplam İstenmeyen = 16×3=4816 \times 3 = 48.
Tek sayıların her alt kümesi ile izin verilen çift sayı kombinasyonları eşleştirilir.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
256−48=208256 - 48 = 208.
Tüm alt kümelerden, çarpımı 4'e bölünmeyenler çıkarıldığında geriye çarpımı 4'e bölünenler kalır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı

İpuçları

1
İstenen durumu (çarpımı 4'e bölünenleri) doğrudan saymak zordur çünkü çok fazla durum vardır. Bunun yerine tersini düşünün: Hangi durumlarda çarpım 4'e BÖLÜNMEZ?
2
Bir çarpımın 4 ile bölünmemesi için, çarpanlar arasında 4 ve 8 kesinlikle olmamalıdır. Ayrıca, içinde sadece bir tane 2 çarpanı bulunduran (örneğin sadece 2 veya sadece 6) sayılardan en fazla kaç tane olabilir?
3
İstenmeyen durumu hesaplarken: 4 ve 8'i kümeden atın. Geriye kalan {2,6}\{2, 6\} kümesinden en fazla 1 eleman seçebilirsiniz (Hiçbiri, sadece 2 veya sadece 6). Tek sayıları ise istediğiniz gibi seçebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elemanları çarpımı 3'e bölünen alt kümeleri bulunuz.

Alternatif Yöntem

Doğrudan Sayma (Kapsama-Dışlama): İçinde 4 olanlar (272^7) + İçinde 8 olanlar (272^7) + İçinde {2,6} olanlar (262^6) - Kesişimler... şeklinde hesaplanabilir ancak bu yöntem çok daha uzundur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru