Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde köşe noktaları A(−2,4)A(-2, 4), B(4,2)B(4, 2) ve C(7,9)C(7, 9) olan bir ABCABC üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin ağırlık merkezinden geçen ve 4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 4x+3y−27=04x + 3y - 27 = 0Cevap
  2. B
    3x−4y+11=03x - 4y + 11 = 0
  3. C
    4x−3y+3=04x - 3y + 3 = 0
  4. D
    4x+3y−4=04x + 3y - 4 = 0
  5. E
    4x+3y−3=04x + 3y - 3 = 0

Cevap

Denklemi 4x+3y−27=04x + 3y - 27 = 0 olan doğrudur.
Üçgenin ağırlık merkezi olan G(3,5)G(3, 5) noktası doğru denklemini sağlamalıdır. Ayrıca istenen doğru, eğimi −43-\frac{4}{3} olan doğruya paralel olduğu için aynı eğime sahip olmalıdır. Bu iki şartı sağlayan tek denklem 4x+3y−27=04x + 3y - 27 = 0 ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi G(x0,y0)G(x_0, y_0) koordinatlarını hesaplayalım.
x0=−2+4+73=3x_0 = \frac{-2 + 4 + 7}{3} = 3 ve y0=4+2+93=5y_0 = \frac{4 + 2 + 9}{3} = 5 olduğundan G(3,5)G(3, 5) noktasıdır.
Bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşe noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
2
4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.
3y=−4x+12⇒y=−43x+43y = -4x + 12 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x + 4 olup eğim m=−43m = -\frac{4}{3}'tür.
ax+by+c=0ax + by + c = 0 biçimindeki bir doğrunun eğimi −ab-\frac{a}{b} formülüyle bulunur.
3
G(3,5)G(3, 5) noktasından geçen ve eğimi m=−43m = -\frac{4}{3} olan doğrunun denklemini yazalım.
y−5=−43(x−3)⇒3y−15=−4x+12⇒4x+3y−27=0y - 5 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 3y - 15 = -4x + 12 \Rightarrow 4x + 3y - 27 = 0 elde edilir.
Geçtiği noktası (x1,y1)(x_1, y_1) ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülü ile kurulur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi koordinatları ve paralel doğruların eğimlerinin eşitliği prensibi.

İpuçları

1
Önce üçgenin ağırlık merkezinin (x,y)(x, y) koordinatlarını köşe noktalarının ortalamasını alarak bulmalısın.
2
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Verilen 4x+3y−12=04x + 3y - 12 = 0 doğrusunun eğimini yy'yi yalnız bırakarak bulabilirsin.
3
Eğimi −43-\frac{4}{3} olan ve (3,5)(3, 5) noktasından geçen doğru denklemini y−5=m(x−3)y - 5 = m(x - 3) kalıbını kullanarak oluşturabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, aynı noktadan geçen ancak verilen doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Paralel doğruların denklemleri 4x+3y+k=04x + 3y + k = 0 formundadır. Ağırlık merkezi olan G(3,5)G(3, 5) noktasını bu denklemde yerine yazarak 4(3)+3(5)+k=0⇒12+15+k=0⇒k=−274(3) + 3(5) + k = 0 \Rightarrow 12 + 15 + k = 0 \Rightarrow k = -27 sonucuna doğrudan ulaşabilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru