Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

ABCD bir yamuk ([AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]) olmak üzere;
∣AB∣=14|AB| = 14 cm, ∣DC∣=4|DC| = 4 cm, ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm uzunlukları veriliyor.

AA ve DD açılarının açıortayları bir KK noktasında, BB ve CC açılarının açıortayları ise bir LL noktasında kesişmektedir.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç cm'dir?

  1. 1Cevap
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 1 cm'dir.
Doğru cevap 1 cm'dir. Yamukta yan kenarlara ait açıortaylar orta taban üzerinde dik kesişirler. Sol taraftaki ADAD kenarına ait üçgende muhteşem üçlüden dolayı kesişim noktasının kenar ortasına uzaklığı 8/2=48/2=4 cm'dir. Sağ taraftaki BCBC kenarı için bu uzaklık 12/2=612/2=6 cm'dir. Yamuğun orta taban uzunluğu (14+4)/2=9(14+4)/2=9 cm'dir. İki parçanın toplamı 4+6=104+6=10 cm olup, orta taban uzunluğu 9 cm olduğundan, aradaki örtüşme miktarı 10−9=110-9=1 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıortayların oluşturduğu üçgenlerin özelliklerini belirle.
Yamukta paralel kollar arasındaki ardışık açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan, açıortaylar 90∘90^\circ ile kesişir. Yani m(AKD^)=90∘m(\widehat{AKD}) = 90^\circ ve m(BLC^)=90∘m(\widehat{BLC}) = 90^\circ olur.
Paralel iki doğru arasındaki karşı durumlu açıların açıortayları birbirine diktir.
2
K ve L noktalarının yamuğun orta tabanı üzerindeki konumunu tespit et.
Muhteşem üçlü kuralı gereği, dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Ayrıca bu kenarortaylar yamuğun orta taban doğrusu üzerindedir.
K noktasından tabanlara paralel çizilen doğru, AD kenarını ortalar (muhteşem üçlü).
3
Orta taban uzunluğunu ve açıortay kesişim noktalarının orta noktalara uzaklığını hesapla.
Yamuğun orta tabanı: 14+42=9\frac{14+4}{2} = 9 cm.
AD kenarının orta noktası M olsun; ∣MK∣=∣AD∣2=82=4|MK| = \frac{|AD|}{2} = \frac{8}{2} = 4 cm.
BC kenarının orta noktası N olsun; ∣NL∣=∣BC∣2=122=6|NL| = \frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm.
Orta taban formülü: (a+c)/2(a+c)/2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay: hipotenüs/2.
4
K ve L arasındaki mesafeyi bul.
M, K, L, N noktaları doğrusaldır ve toplam uzunluk ∣MN∣=9|MN|=9 cm'dir. ∣MK∣=4|MK|=4 ve ∣NL∣=6|NL|=6 olduğuna göre, bu iki doğru parçası üst üste binmiştir. ∣KL∣=(∣MK∣+∣NL∣)−∣MN∣=(4+6)−9=1|KL| = (|MK| + |NL|) - |MN| = (4 + 6) - 9 = 1 cm.
Parça uzunlukları toplamı bütün uzunluktan büyükse, fark kesişim (aradaki) mesafeyi verir.

Anahtar Kavram

Yamukta ardışık köşe açıortayları orta taban üzerinde dik kesişir ve oluşturdukları dik üçgenin kenarortay uzunluğu yan kenarın yarısına eşittir.

İpuçları

1
Yamukta, bir yan kenarın uçlarındaki (örneğin A ve D) açıların toplamı 180 derecedir. Açıortaylarını çizerseniz oluşan üçgenin tepe açısı kaç derece olur?
2
Oluşan dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortayı (muhteşem üçlü) düşünün. Bu kenarortay yamuğun hangi elemanı üzerinde yer alır?
3
K ve L noktaları yamuğun orta tabanı üzerindedir. Orta taban uzunluğunu (a+c)/2(a+c)/2 ile hesaplayın ve yan kenarların yarısı olan parçaları bu uzunluk üzerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Yamuğun alanı ve yükseklik bağıntıları ile ilgili sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül olarak: ∣KL∣=∣(AD+BC2)−(AB+DC2)∣|KL| = |(\frac{AD+BC}{2}) - (\frac{AB+DC}{2})| şeklinde düşünülebilir ancak bu sadece belirli durumlarda geçerlidir. En garantisi orta taban üzerinde çizim yapmaktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru