ABCD bir yamuk olmak üzere [AB] \parallel [DC] dir. Köşegenlerin kesim noktası K olarak be… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$ABCD$ bir yamuk olmak üzere $[AB] \parallel [DC]$ dir. Köşegenlerin kesim noktası $K$ olarak belirlenmiştir. $AB$ kenarı üzerinde alınan bir $L$ noktası için $[KL] \parallel [BC]$ olduğu bilinmektedir.

3|DC| = 2|AB|

Verilenlere göre, $Alan(KBC) = 60 \text{ cm}^2$ ise $Alan(AKL)$ kaç $\text{ cm}^2$ dir?

A
36
B
45
C
48
54Cevap
E
60

Cevap

Verilen oranlar kullanılarak yamuğun alt parçasındaki üçgenin (ABK) alanı 90 cm² bulunur. Toplam ABC alanı 150 cm² olur. KL, BC'ye paralel olduğu için oluşan AKL üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı 3/5 olduğundan, alanlar oranı 9/25 olur ve sonuç 54 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

Yamukta kelebek benzerliğini kullanarak oranları belirle.

3|DC| = 2|AB| \Rightarrow \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{2}{3}

\triangle DKC \sim \triangle BKA

benzerlik oranı

k = \frac{2}{3}

'tür.

Yamukta alt ve üst tabanların oranı, köşegenlerin ayırdığı parçaların oranına eşittir.

Yamukta alan özelliklerini kullanarak

Alan(ABK)

değerini hesapla.

Yamukta

Alan(AKD) = Alan(KBC) = 60

. Ayrıca

Alan(DKC) \cdot Alan(ABK) = (Alan(KBC))^2

kuralından ziyade alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(DKC)}{Alan(ABK)} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

. Ancak pratik yol:

\frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3}

olduğundan,

\triangle KBC

\triangle ABK

yükseklikleri ortaktır (B köşesinden inen dikme değil, AC tabanına göre düşünülürse alanlar tabanlarla orantılıdır).

\frac{Alan(KBC)}{Alan(ABK)} = \frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{60}{Alan(ABK)} = \frac{2}{3} \Rightarrow Alan(ABK) = 90

Tepe noktaları ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır.

Toplam

Alan(ABC)

'yi bul.

Alan(ABC) = Alan(ABK) + Alan(KBC) = 90 + 60 = 150 \text{ cm}^2

Hedef üçgenimiz olan AKL, ABC üçgeninin içinde yer alır ve benzerdir.

[KL] \parallel [BC]

olduğu için temel benzerlik teoremini uygula ve

Alan(AKL)

'yi hesapla.

\triangle AKL \sim \triangle ACB

(Paralellikten). Benzerlik oranı:

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{|AK|}{|AK| + |KC|}

. Oran

\frac{|AK|}{|KC|} = \frac{3}{2}

idi. O halde

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}

. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(AKL)}{Alan(ABC)} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}

Alan(AKL) = 150 \cdot \frac{9}{25} = 6 \cdot 9 = 54

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Özellikleri ve Üçgende Benzerlik

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru