Layer 1

Soru 1Soru →

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde köşegenler $K$ noktasında kesişmektedir. $K$ noktasından $[AB]$ kenarına çizilen dikmenin kesim noktası $E$ olarak işaretleniyor.

$|AE| = 3$ cm ve $|EB| = 12$ cm olduğuna göre, $ABCD$ eşkenar dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

90

135

144

180

225

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

180

Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden oluşan dik üçgende Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) uygulanır.

3 \cdot 12 = 36

olduğundan üçgenin yüksekliği 6 cm bulunur. Eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği bu değerin iki katı (12 cm) olur. Taban uzunluğu 15 cm olduğundan, Alan =

15 \cdot 12 = 180

\text{cm}^2

dir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini hatırla.

Köşegenler birbirini dik keser, yani

AC \perp BD

dir. Bu durumda

\triangle AKB

bir dik üçgendir.

Eşkenar dörtgenin en temel özelliklerinden biri köşegenlerin dik kesişmesidir.

2

Dik üçgende Öklid bağıntısını uygula.

|KE|^2 = |AE| \cdot |EB| \Rightarrow |KE|^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow |KE| = 6

cm.

Dik açıdan indirilen dikme (yükseklik) için

h^2 = p \cdot k

bağıntısı kullanılır.

3

Eşkenar dörtgenin yüksekliğini bul.

K

noktası köşegenlerin kesim noktası (ağırlık merkezi) olduğu için, eşkenar dörtgenin toplam yüksekliği (

h

),

K

noktasının kenara uzaklığının iki katıdır:

h = 2 \cdot |KE| = 2 \cdot 6 = 12

cm.

Simetri merkezi olan

K

noktasının kenara uzaklığı, toplam yüksekliğin yarısıdır.

4

Alanı hesapla.

Alan = Taban

\cdot

Yükseklik =

|AB| \cdot h = (3+12) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180

\text{cm}^2

.

Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve alanı taban ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi ve Öklid bağıntısı.

İpuçları

1

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini nasıl kestiğini (dik mi, eğik mi?) hatırlayın.

2

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan

\triangle AKB

üçgeni bir dik üçgendir. Dik açıdan dikme inildiğinde hangi bağıntı kullanılır?

3

Öklid bağıntısı ile

|KE|

uzunluğunu bulun. Eşkenar dörtgenin yüksekliği bu uzunluğun iki katıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

$ABCD$ bir dikdörtgen olmak üzere, $E$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. Dikdörtgen $[DE]$ boyunca katlandığında $C$ köşesi, $[AB]$ kenarı üzerindeki $F$ noktası ile çakışmaktadır. $|AD|=9$ cm ve $|AF|=12$ cm olduğuna göre, $|EC|$ kaç cm'dir?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Aranan uzunluk 5 cm'dir.

Doğru cevap, katlama işlemi sonucunda oluşan eş üçgenlerin ve korunan uzunlukların doğru tespit edilmesiyle bulunur.

|DC|

kenarı katlanarak

|DF|

hipotenüsü olur, bu da dikdörtgenin uzun kenarını verir. Ardından kalan parçada (

|FB|

) oluşturulan ikinci Pisagor denklemi

|EC|

uzunluğunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Katlama özelliğini analiz et.

Katlama sonucu

\triangle DCE \cong \triangle DFE

olur. Bu durumda

|DC| = |DF|

ve

|EC| = |EF|

eşitlikleri sağlanır. Ayrıca

\angle C = 90^\circ

olduğu için

\angle DFE = 90^\circ

olur (ancak bu soruda uzunluklar yeterlidir).

Katlama sorularında açıortay ve kenar eşitlikleri korunur.

2

\triangle DAF

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.

|DF|^2 = |AD|^2 + |AF|^2 \Rightarrow |DF|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225

. Buradan

|DF| = 15

cm bulunur.

Dikdörtgenin köşesi

A

dik açıdır.

3

Dikdörtgenin diğer kenar uzunluklarını belirle.

|DC| = |DF|

olduğundan

|DC| = 15

cm olur. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan

|AB| = |DC| = 15

cm'dir. Buradan

|FB| = |AB| - |AF| = 15 - 12 = 3

cm bulunur.

Dikdörtgenin temel özellikleri.

4

\triangle FBE

dik üçgeninde bilinmeyeni bul.

|BC| = |AD| = 9

cm'dir.

|EC| = x

dersek,

|EB| = 9 - x

olur. Katlama özelliğinden

|EF| = |EC| = x

olur.

\triangle FBE

üçgeninde:

3^2 + (9-x)^2 = x^2 \Rightarrow 9 + 81 - 18x + x^2 = x^2 \Rightarrow 90 = 18x \Rightarrow x = 5

.

Dik üçgende Pisagor bağıntısı kurarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Katlama Problemleri ve Pisagor Bağıntısı

Soru 3Soru →

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde, $\widehat{A}$ ve $\widehat{C}$ açılarının açıortayları dörtgenin iç bölgesindeki bir $K$ noktasında kesişmektedir.

$m(\widehat{B}) = 124^\circ$ ve $m(\widehat{D}) = 72^\circ$ olduğuna göre, bu açıortaylar arasında kalan dar açının ( $m(\widehat{AKC})$ ) ölçüsü kaç derecedir?

26

36

52

62

98

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Açıortaylar arasındaki dar açı 26 derecedir.

Dışbükey bir dörtgende karşılıklı iki açının açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir. Verilen

124^\circ

ve

72^\circ

değerleri farkı

52^\circ

olup, yarısı

26^\circ

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenlerde açıortay özelliklerini hatırla.

Dışbükey bir dörtgende karşılıklı iki açının (A ve C) açıortayları arasındaki dar açı (

\alpha

), diğer iki açının (B ve D) farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

Bu, dörtgenlerde açıortayların oluşturduğu açılarla ilgili temel bir geometrik kuraldır.

2

Verilen değerleri formüle uygula.

\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

formülünde değerler yerine yazılır:

\alpha = \frac{|124 - 72|}{2}

Soruda B açısı 124, D açısı 72 derece olarak verilmiştir.

3

İşlemi tamamla.

124 - 72 = 52

ve

52 / 2 = 26^\circ

.

Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Dörtgende Karşılıklı Açıortaylar Arasındaki Açı

İpuçları

1

Dörtgenin iç açıları toplamı

360^\circ

bilgisinden yola çıkarak veya doğrudan açıortay formülünü hatırlayarak çözebilirsiniz.

2

Karşılıklı açıların (A ve C) açıortayları arasındaki dar açı, işlem yapılmayan diğer iki açının (B ve D) farkıyla ilişkilidir.

3

Formül:

\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

.

Daha Fazla Pratik

Ardışık iki açının açıortayları arasındaki açıyı soran bir soru çözerek farkı pekiştirin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Kenar uzunlukları $|AB|=|AD|=15$ cm ve $|BC|=|CD|=20$ cm olan bir $ABCD$ dörtgeninde, $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ABCD$ dörtgeninin $[BD]$ köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

12

16

24

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24 cm

Verilen şekil bir deltoiddir ve köşegenleri birbirine diktir.

\triangle ABC

dik üçgen olduğu için hipotenüs

|AC|=25

cm bulunur. Üçgenin alan bağıntısından (

15 \times 20 = 25 \times h

) hipotenüse ait yükseklik

h=12

cm olarak hesaplanır. Deltoidde

[AC]

simetri ekseni olduğundan

[BD]

köşegenini ortalar; bu nedenle

|BD| = 2 \times 12 = 24

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin özelliklerini belirle

Dörtgen bir deltoiddir (ikişer kenarı eşit). Deltoidde köşegenler dik kesişir (

[AC] \perp [BD]

).

|AB|=|AD|

ve

|BC|=|CD|

olması şeklin deltoid olduğunu gösterir.

2

[AC]

köşegeninin uzunluğunu hesapla

|AC|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

m(\widehat{ABC}) = 90^\circ

olduğundan

\triangle ABC

dik üçgendir ve Pisagor bağıntısı uygulanır.

3

Köşegenlerin kesişim noktasını (H) belirleyerek

[BH]

yüksekliğini bul

Alan(

\triangle ABC

) =

\frac{15 \times 20}{2} = \frac{25 \times |BH|}{2} \Rightarrow 300 = 25 \times |BH| \Rightarrow |BH| = 12

cm.

Dik üçgende alan, dik kenarların çarpımının yarısına veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir (Öklid Alan Bağıntısı).

4

[BD]

köşegeninin toplam uzunluğunu hesapla

|BD| = 2 \times |BH| = 2 \times 12 = 24

cm.

Deltoidde simetri ekseni olmayan köşegen (

[AC]

), diğer köşegeni (

[BD]

) ortalar (

|BH| = |HD|

).

Anahtar Kavram

Deltoidde köşegenlerin dik kesişmesi ve dik üçgende alan/Öklid bağıntıları.

İpuçları

1

Kenar uzunlukları eşit olan (

|AB|=|AD|

ve

|BC|=|CD|

) dörtgen bir deltoiddir.

2

Deltoidde köşegenler birbirini dik keser.

\triangle ABC

dik üçgeninde hipotenüs (

[AC]

) uzunluğunu bulunuz.

3

Dik üçgende alan bağıntısını kullanarak hipotenüse ait yüksekliği (

|BH|

) hesaplayın. Aradığınız köşegen bu yüksekliğin iki katıdır.

Daha Fazla Pratik

Deltoidin alanının sorulduğu ve köşegen uzunluklarının verildiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Öklid'in

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{a^2}

bağıntısı kullanılarak

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{15^2} + \frac{1}{20^2}

işlemiyle

h

(yani

|BH|

) doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

$ABCD$ bir yamuk olmak üzere $[AB] \parallel [DC]$ dir. Köşegenlerin kesim noktası $K$ olarak belirlenmiştir. $AB$ kenarı üzerinde alınan bir $L$ noktası için $[KL] \parallel [BC]$ olduğu bilinmektedir.

3|DC| = 2|AB|

Verilenlere göre, $Alan(KBC) = 60 \text{ cm}^2$ ise $Alan(AKL)$ kaç $\text{ cm}^2$ dir?

36

45

48

54

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

54

Verilen oranlar kullanılarak yamuğun alt parçasındaki üçgenin (ABK) alanı 90 cm² bulunur. Toplam ABC alanı 150 cm² olur. KL, BC'ye paralel olduğu için oluşan AKL üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı 3/5 olduğundan, alanlar oranı 9/25 olur ve sonuç 54 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamukta kelebek benzerliğini kullanarak oranları belirle.

3|DC| = 2|AB| \Rightarrow \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{2}{3}

.

\triangle DKC \sim \triangle BKA

benzerlik oranı

k = \frac{2}{3}

'tür.

Yamukta alt ve üst tabanların oranı, köşegenlerin ayırdığı parçaların oranına eşittir.

2

Yamukta alan özelliklerini kullanarak

Alan(ABK)

değerini hesapla.

Yamukta

Alan(AKD) = Alan(KBC) = 60

. Ayrıca

Alan(DKC) \cdot Alan(ABK) = (Alan(KBC))^2

kuralından ziyade alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(DKC)}{Alan(ABK)} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

. Ancak pratik yol:

\frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3}

olduğundan,

\triangle KBC

ve

\triangle ABK

yükseklikleri ortaktır (B köşesinden inen dikme değil, AC tabanına göre düşünülürse alanlar tabanlarla orantılıdır).

\frac{Alan(KBC)}{Alan(ABK)} = \frac{|KC|}{|KA|} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{60}{Alan(ABK)} = \frac{2}{3} \Rightarrow Alan(ABK) = 90

.

Tepe noktaları ortak olan üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır.

3

Toplam

Alan(ABC)

'yi bul.

Alan(ABC) = Alan(ABK) + Alan(KBC) = 90 + 60 = 150 \text{ cm}^2

.

Hedef üçgenimiz olan AKL, ABC üçgeninin içinde yer alır ve benzerdir.

4

[KL] \parallel [BC]

olduğu için temel benzerlik teoremini uygula ve

Alan(AKL)

'yi hesapla.

\triangle AKL \sim \triangle ACB

(Paralellikten). Benzerlik oranı:

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{|AK|}{|AK| + |KC|}

. Oran

\frac{|AK|}{|KC|} = \frac{3}{2}

idi. O halde

\frac{|AK|}{|AC|} = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}

. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir:

\frac{Alan(AKL)}{Alan(ABC)} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}

.

Alan(AKL) = 150 \cdot \frac{9}{25} = 6 \cdot 9 = 54

.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Özellikleri ve Üçgende Benzerlik

Soru 6Soru →

$ABCD$ bir dik yamuk ( $[AB] \perp [AD]$ ve $[AB] \parallel [DC]$ ) olmak üzere, $E$ noktası $[AD]$ kenarı üzerinde yer almaktadır.

$[BE] \perp [CE]$ dikliği verilmiştir.

$|AB| = 12$ cm, $|DC| = 4$ cm ve $|AE| = 2$ cm olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç cm² dir?

192

200

208

216

256

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 208 cm² dir.

Soruda verilen dik yamuk ve dik kesişen doğrular,

\triangle ABE

ve

\triangle DEC

üçgenleri arasında Açı-Açı benzerliği kurmamızı sağlar. Bu benzerlikten

|DE|

uzunluğu 24 cm olarak bulunur. Yamuğun toplam yüksekliği olan

|AD|

,

|AE|

ve

|DE|

toplamına eşit olduğundan

26

cm'dir. Yamuk alan formülü uygulandığında sonuç 208 cm² çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Açıları isimlendirerek benzer üçgenleri belirle.

m(\widehat{ABE}) = \alpha

olsun.

\triangle ABE

dik üçgeninde

m(\widehat{AEB}) = 90^\circ - \alpha

olur.

E

noktasındaki doğru açı

180^\circ

olduğundan ve

m(\widehat{BEC})=90^\circ

verildiğinden,

m(\widehat{DEC}) = \alpha

bulunur. Buradan

\triangle ABE \sim \triangle DEC

(Açı-Açı Benzerliği) elde edilir.

Yamuk içerisindeki dik kesişimler genellikle benzer üçgenler oluşturur.

2

Benzerlik oranını kurarak

|DE|

uzunluğunu hesapla.

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|} \implies \frac{12}{|DE|} = \frac{2}{4}

. İçler dışlar çarpımı ile

2|DE| = 48 \implies |DE| = 24

cm bulunur.

Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Yamuğun toplam yüksekliğini (

|AD|

) bul.

|AD| = |AE| + |DE| = 2 + 24 = 26

cm.

Yamuğun alanı için alt taban, üst taban ve toplam yüksekliğe ihtiyaç vardır.

4

Yamuğun alanını hesapla.

Alan =

\frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot |AD| = \frac{12 + 4}{2} \cdot 26 = 8 \cdot 26 = 208

cm².

Yamuk Alanı =

\frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}

.

Anahtar Kavram

Dik Yamukta Benzerlik ve Alan

İpuçları

1

Dik üçgenlerdeki açıları isimlendirmeyi deneyin (

\alpha, \beta

gibi).

E

noktasındaki açının

90^\circ

olması size üçgenler arasında nasıl bir ilişki verir?

2

\triangle ABE

ve

\triangle DEC

üçgenlerinin açılarının eşit olduğunu görebilirsiniz. Bu durumda kenarlar arasında bir orantı kurabilirsiniz.

3

\triangle ABE \sim \triangle DEC

benzerliğini kullanın.

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AE|}{|DC|}

orantısından

|DE|

uzunluğunu bulun ve bunu toplam yüksekliğe ekleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu,

E

noktası orta nokta olduğunda alanın nasıl değiştiğini inceleyerek pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Analitik geometri yöntemi:

D

noktasını

(0,0)

orijin kabul ederseniz,

C(4,0)

,

A(0,h)

ve

B(12,h)

olur.

E

noktası

(0, k)

olsun. Vektörlerin dikliği (iç çarpım

= 0

) kullanılarak da çözülebilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 7Soru →

ABCD bir paralelkenardır. E noktası [DC] kenarının orta noktasıdır. F noktası [BC] kenarı üzerinde olup $|BF| = 2|FC|$ eşitliğini sağlamaktadır. [AF] ve [BE] doğru parçaları K noktasında kesişmektedir.

Alan(ABCD) = 120 $\text{cm}^2$ olduğuna göre, Alan(ABK) kaç $\text{cm}^2$ dir?

20

24

30

40

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Alan(ABK) 30

\text{cm}^2

olarak bulunur.

Doğru cevap, kelebek benzerliği kurularak K noktasının [BE] doğru parçasının orta noktası olduğunun ispatlanmasıyla bulunur. Paralelkenarın toplam alanı 120 ise, tabanı [AB] ve tepe noktası [DC] üzerinde olan ABE üçgeninin alanı 60'tır. K noktası bu üçgenin kenarortayı üzerinde olduğundan ve benzerlikten dolayı orta nokta olduğu anlaşıldığından, ABK üçgeninin alanı 60'ın yarısı olan 30 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenar özelliklerinden Alan(ABE) değerini belirle.

Alan(ABE) = Alan(ABCD) / 2 = 120 / 2 = 60

\text{cm}^2

. (Tabanı paralelkenarla aynı doğrultuda, tepe noktası karşı kenarda olduğu için)

Paralelkenarda tabanı bir kenar, tepe noktası karşı kenar üzerinde olan üçgenin alanı tüm alanın yarısıdır.

2

Benzerlik oranını bulmak için [AF] doğrusunu uzatıp [DC] doğrusunun uzantısı ile G noktasında kesiştir.

Oluşan "Kelebek" (Kum saati) benzerliklerini incele.

K noktasının [BE] üzerindeki konumunu belirlemek için kelebek benzerliğine ihtiyaç vardır.

3

\Delta ABF \sim \Delta GCF

benzerliğini kullan.

|BF|/|FC| = 2

olduğundan

|AB|/|CG| = 2

bulunur. Yani

|CG| = |AB|/2

.

E

orta nokta olduğundan

|DE|=|EC|=|AB|/2

. Böylece

|EG| = |EC| + |CG| = |AB|/2 + |AB|/2 = |AB|

olur.

Benzerlik oranı kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi verir.

4

\Delta ABK \sim \Delta GEK

benzerliğini kullanarak K noktasının konumunu bul.

|AB| = |EG|

olduğu için benzerlik oranı 1'dir. Bu durumda K noktası [BE]'nin orta noktasıdır (

|BK|=|KE|

).

Tabanları eşit olan benzer üçgenlerin benzerlik oranı 1'dir, yani eş üçgenlerdir.

5

Alan(ABK) değerini hesapla.

K orta nokta olduğuna göre Alan(ABK) = Alan(ABE) / 2 = 60 / 2 = 30

\text{cm}^2

.

Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda Alan Paylaşımı ve Kelebek Benzerliği

Soru 8Soru →

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $[AB] \perp [AD]$ ve $|AB| = |AD|$ eşitlikleri verilmiştir. Dörtgenin diğer kenar uzunlukları $|BC| = 8$ cm, $|DC| = 6$ cm ve açısı $m(\widehat{BCD}) = 60^\circ$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

13 + 12\sqrt{3}

26 + 12\sqrt{3}

13 + 24\sqrt{3}

25 + 12\sqrt{3}

49

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13 + 12\sqrt{3}$

Cevap

Dörtgenin alanı

13 + 12\sqrt{3}

\text{cm}^2

dir.

Şekil

BD

köşegeni ile ikiye bölündüğünde; üstte oluşan

ABD

ikizkenar dik üçgeninin alanı hipotenüs karesinin 4'e bölümü (veya dik kenar karesinin yarısı) ile 13 bulunur. Altta kalan

BCD

üçgeninin alanı ise sinüs teoremiyle

12\sqrt{3}

bulunur. Toplam alan bu iki değerin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

B

ve

D

köşelerini birleştirerek dörtgeni iki üçgene (

ABD

ve

BCD

) ayırın.

ABD

ikizkenar dik üçgen,

BCD

ise çeşitkenar üçgen olur.

Dörtgenin alanını bulmak için bilinen formülleri uygulayabileceğimiz parçalara ayırmamız gerekir.

2

BCD

üçgeninde

D

noktasından

[BC]

kenarına dikme indirin (veya Kosinüs Teoremi uygulayın) ve

|BD|

uzunluğunu bulun.

|BD|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 64 - 48 = 52

.

ABD

üçgeninin alanını bulmak için hipotenüsü olan

|BD|

uzunluğuna ihtiyacımız vardır.

3

ABD

ikizkenar dik üçgeninin alanını hesaplayın.

|AB| = |AD| = a

dersek,

a^2 + a^2 = |BD|^2 = 52 \Rightarrow 2a^2 = 52 \Rightarrow a^2 = 26

. Alan(

ABD

) =

a^2/2 = 26/2 = 13

\text{cm}^2

.

Dik kenarları eşit olan dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır.

4

BCD

üçgeninin alanını Sinüs Alan Formülü ile hesaplayın.

Alan(

BCD

) =

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

İki kenarı ve arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı en kolay bu yöntemle bulunur.

5

İki üçgenin alanını toplayarak toplam alanı bulun.

Alan(

ABCD

) =

13 + 12\sqrt{3}

\text{cm}^2

.

Dörtgenin toplam alanı, parçalarının alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Genel dörtgenlerde alan hesabı için şeklin köşegen yardımıyla bilinen üçgenlere (ikizkenar dik üçgen ve özel açılı üçgen) ayrılması.

İpuçları

1

Dörtgeni

B

ve

D

noktalarını birleştiren bir köşegen çizerek iki farklı üçgene ayırmayı deneyin.

2

Oluşan

BCD

üçgeninde

60^\circ

açısını kullanarak

|BD|

uzunluğunu bulmak için

D

'den

[BC]

'ye dikme indirin veya Kosinüs Teoremini kullanın.

3

|BD|^2 = 52

bulunacaktır.

ABD

üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğu için alanı

|BD|^2 / 4

formülüyle kolayca bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda ancak açının 120 veya 150 derece verildiği sorular çözerek sinüs teoremi pratiği yapın.

Alternatif Yöntem

BCD

üçgeninde

C

köşesinden dikme indirerek 30-60-90 üçgeni oluşturup taban ve yükseklik çarpımıyla da alan hesaplanabilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 9Soru →

Çevresi $40$ cm olan $ABCD$ eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları $3$ ve $4$ sayıları ile orantılıdır.

Buna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

24

48

60

96

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı 96

\text{cm}^2

dir.

Doğru cevapta, önce çevre uzunluğundan kenar uzunluğu (10 cm) bulunmuş, ardından köşegenlerin birbirini dik ortalaması özelliği kullanılarak Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunlukları (12 ve 16 cm) hesaplanmıştır. Son olarak alan formülü (köşegenler çarpımının yarısı) doğru uygulanarak 96 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.

Çevre

40

cm olduğundan, bir kenar

a = 40 / 4 = 10

cm bulunur.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.

2

Köşegen uzunluklarını ve yarım köşegenleri oran sabiti

k

cinsinden ifade et.

Köşegenler

e = 3k

ve

f = 4k

olsun. Köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegenler

\frac{3k}{2}

ve

\frac{4k}{2}

(yani

1.5k

ve

2k

) olur.

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.

(1.5k)^2 + (2k)^2 = 10^2 \Rightarrow 2.25k^2 + 4k^2 = 100 \Rightarrow 6.25k^2 = 100

.

Köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü eşkenar dörtgenin bir kenarıdır.

4

k

değerini ve köşegen uzunluklarını bul.

k^2 = 16 \Rightarrow k=4

. Köşegenler:

e = 3 \cdot 4 = 12

cm,

f = 4 \cdot 4 = 16

cm.

Alan hesabı için gerçek köşegen uzunluklarına ihtiyaç vardır.

5

Alanı hesapla.

Alan

= \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96

\text{cm}^2

.

Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar ve alan köşegenler çarpımının yarısına eşittir.

İpuçları

1

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını hatırlayınız.

2

Köşegenlerin yarısını dik kenar, eşkenar dörtgenin bir kenarını hipotenüs kabul eden dik üçgeni oluşturunuz.

3

Köşegen uzunluklarına

3k

ve

4k

diyerek, dik kenarları

1.5k

ve

2k

olan Pisagor bağıntısını kurunuz.

Alternatif Yöntem

3-4-5 özel üçgeninin katlarını düşünerek, hipotenüsün 10 olduğu durumda dik kenarların 6 ve 8 olması gerektiğini doğrudan görebilirsiniz. Buradan köşegenler 12 ve 16 olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Şekildeki $ABCD$ eşkenar dörtgeninde $[AC]$ köşegendir. $m(\widehat{BAC}) = 35^\circ$ olduğuna göre, $D$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{ADC})$ ) kaç derecedir?

110

70

145

35

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

D açısının ölçüsü 110 derecedir.

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortay olduğu için

A

açısının tamamı

35 \times 2 = 70

derecedir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, birbirini takip eden

A

ve

D

açılarının toplamı

180

derecedir. Buradan

180 - 70 = 110

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin açıortay özelliğini uygula

m(\widehat{DAC}) = 35^\circ

Eşkenar dörtgende köşegenler, geçtikleri köşelerdeki açıları iki eş parçaya böler (açıortaydır).

2

A

köşesindeki toplam açıyı hesapla

m(\widehat{A}) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ

Köşegen açıyı ikiye böldüğü için açının tamamı verilen değerin iki katıdır.

3

Paralelkenar özelliğini kullanarak

D

açısını bul

m(\widehat{D}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve ardışık (komşu) iki açısının toplamı

180^\circ

’dir.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve ardışık iç açılar toplamı

180^\circ

’dir.

İpuçları

1

Eşkenar dörtgende köşegenlerin (burada AC doğrusu) açıyı nasıl böldüğünü hatırla.

2

Köşegenler açıortaydır. Yani

m(\widehat{BAC}) = 35^\circ

ise

A

açısının tamamı bunun iki katıdır.

3

Bir paralelkenarda yan yana olan iki açının toplamı

180^\circ

’dir.

A

açısını bulduktan sonra

180

’den çıkararak

D

’ye ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini kullanarak alan hesaplama sorularına göz atabilirsin.

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğu için

ADC

üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve köşegenler dik kesişir bilgisiyle de çözülebilir, ancak açıortay özelliği en kısa yoldur.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir $ABCD$ dörtgeninde, $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$ olduğu bilinmektedir. Kenar uzunlukları $|AD| = 4$ cm, $|AB| = 10$ cm ve $|BC| = 3$ cm olarak verildiğine göre, $|CD|$ uzunluğu kaç santimetredir?

\sqrt{39}

\sqrt{41}

\sqrt{43}

7

\sqrt{127}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{43}$

Cevap

Dörtgenin kenarlarını uzatarak oluşturulan eşkenar üçgen yardımıyla hesaplanan

|CD|

değeri

\sqrt{43}

santimetredir.

Dörtgenin

A

ve

B

köşelerindeki

60^\circ

'lik açılar, kenarlar uzatıldığında bir eşkenar üçgen oluşacağını gösterir. Taban kenarı 10 cm olduğundan, oluşturulan büyük üçgenin diğer kenarları da 10 cm olur. Verilen 4 cm ve 3 cm'lik kısımlar çıkarıldığında, tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarları 6 cm ve 7 cm olarak bulunur. Aradaki açı

60^\circ

olduğu için Kosinüs Teoremi uygulanarak

|CD| = \sqrt{6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{43}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

AD

ve

BC

kenarlarını dörtgenin yukarısında kesişecek şekilde uzatın ve kesişim noktasına

K

deyin.

Taban açıları

m(\widehat{A}) = 60^\circ

ve

m(\widehat{B}) = 60^\circ

olduğundan, oluşan

KAB

üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Bir üçgenin iki açısı

60^\circ

ise üçüncü açısı da

60^\circ

olur ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşitlenir.

2

Oluşan büyük

KAB

eşkenar üçgeninin kenar uzunluğunu kullanarak üstteki küçük

KDC

üçgeninin kenarlarını bulun.

|KA| = |KB| = |AB| = 10

cm'dir. Buradan

|KD| = 10 - 4 = 6

cm ve

|KC| = 10 - 3 = 7

cm bulunur.

Büyük üçgenin bir kenarı 10 cm olduğundan, diğer kenarlar da 10 cm olmalıdır.

3

KDC

üçgeninde,

60^\circ

'lik tepe açısını kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın.

|CD|^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 49 - 42 = 43

. Buradan

|CD| = \sqrt{43}

cm bulunur.

İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı bulmak için

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı (

60^\circ

) dörtgen sorularında şekli eşkenar üçgene tamamlama stratejisi.

İpuçları

1

Bu dörtgeni bilinen özel bir üçgene tamamlamayı deneyin.

60^\circ

açıları size hangi üçgeni hatırlatıyor?

2

AD

ve

BC

kenarlarını yukarı doğru uzatırsanız, taban açıları

60^\circ

olan bir üçgen elde edersiniz. Bu üçgenin tepe açısı kaç derece olur?

3

Oluşan büyük üçgen eşkenardır ve bir kenarı 10 cm'dir. Tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarlarını (10-4) ve (10-3) olarak bulup Kosinüs Teoremi uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, açılardan birinin

120^\circ

olduğu durumlarda dış açıdan giderek eşkenar üçgene tamamlama sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

C

ve

D

köşelerinden

AB

kenarına dikmeler indirerek (

H_1

ve

H_2

), oluşan dik üçgenler ve ortadaki dikdörtgen yardımıyla da çözüm yapılabilir, ancak bu yöntem daha uzun işlem gerektirir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 12Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. $E$ noktası $[DC]$ kenarı üzerinde, $F$ noktası ise $[BC]$ kenarı üzerindedir. $Alan(ADE) = 12 \text{ cm}^2$ , $Alan(ABF) = 15 \text{ cm}^2$ ve $Alan(EFC) = 8 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(AEF)$ kaç $\text{ cm}^2$ dir?

20

22

24

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Hesaplamalar sonucunda içteki üçgenin alanı 25 cm² olarak bulunur.

Paralelkenarın kenar oranları ile alanlar arasındaki cebirsel ilişki kurulduğunda toplam alan 60

\text{cm}^2

çıkmaktadır. İçteki bölge olan

AEF

üçgeninin alanı, 60

\text{cm}^2

olan toplam alandan bilinen 12, 15 ve 8

\text{cm}^2

'lik dış bölgelerin çıkarılmasıyla 25

\text{cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın toplam alanını

S

olarak belirleyip kenar oranlarını yazın.

Alan(ADE) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{DE}{DC}

ve

Alan(ABF) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{BF}{BC}

Paralelkenarda bir köşeden karşı kenara çizilen üçgenin alanı, taban oranına bağlı olarak tüm alanın yarısı ile ilişkilidir.

2

Verilen alan değerlerini kullanarak kenar oranlarını

S

cinsinden bulun.

\frac{DE}{DC} = \frac{24}{S}

ve

\frac{BF}{BC} = \frac{30}{S}

12 = \frac{1}{2} S \cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 24/S

ve

15 = \frac{1}{2} S \cdot k_2 \Rightarrow k_2 = 30/S

.

3

EFC

üçgeninin alanını bu oranlar cinsinden yazıp denklemi kurun.

Alan(EFC) = \frac{1}{2} S \cdot (1 - \frac{24}{S}) \cdot (1 - \frac{30}{S}) = 8

EC = DC - DE

ve

CF = BC - BF

olduğu için kenarların kalan kısımları kullanılır.

4

Denklemi çözerek paralelkenarın toplam alanını bulun.

S^2 - 70S + 720 = 0 \Rightarrow S = 60

Denklem açıldığında

(S-60)(S-10)=0

bulunur; alan 35'ten büyük olmalıdır.

5

Hedef bölgeyi bulun.

Alan(AEF) = 60 - (12 + 15 + 8) = 25

Tüm alandan dıştaki üç üçgenin alanları toplamı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve kenar oranları ile alan arasındaki cebirsel ilişki.

Soru 13Soru →

$ABCD$ bir dik yamuktur. $[AB] \parallel [DC]$ ve $[AD] \perp [AB]$ olduğu bilinmektedir. Şekilde verilen $m(\widehat{ABC}) = 125^\circ$ olduğuna göre, $BCD$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{C})$ ) kaç derecedir?

45

55

65

125

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

İstenen açının ölçüsü

55

derecedir.

Doğru cevap olan 55, yamuğun temel bir özelliği olan paralel kollar arasındaki açıların toplamının

180^\circ

olması kuralından gelir.

AB

ve

DC

paralel olduğu için

B

açısı ile

C

açısının toplamı

180^\circ

olmalıdır (

125 + 55 = 180

).

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin iç açıları toplamı kuralını hatırla.

Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

derecedir.

Dörtgenlerin temel geometrik özelliğidir.

2

Dik yamuktaki bilinen açıları topla.

m(\widehat{A}) = 90^\circ

,

m(\widehat{D}) = 90^\circ

ve

m(\widehat{B}) = 125^\circ

olduğuna göre toplam

90 + 90 + 125 = 305^\circ

olur.

Verilen diklik sembolleri ve ölçüler kullanılarak toplam bulunur.

3

Bilinmeyen açıyı bulmak için toplamdan çıkar.

360 - 305 = 55^\circ

bulunur.

Dörtgenin iç açıları toplamını tamamlamak için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dik yamukta paralel olan kenarlar (üst ve alt taban) arasındaki karşı durumlu açıların toplamı

180^\circ

derecedir.

İpuçları

1

Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman

360^\circ

derecedir. Şekildeki tüm açıları bu toplama eşitlemeyi deneyin.

2

Dik yamukta

A

ve

D

köşeleri

90^\circ

'dir. Bu durumda

B

ve

C

açılarının toplamı

180^\circ

olmalıdır.

3

180^\circ

toplamından verilen

125^\circ

'lik açıyı çıkardığınızda aradığınız sonuca ulaşırsınız.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar yamukta taban açılarının birbirine eşit olması durumunu inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamukta

[AB]

ve

[DC]

kenarları paralel olduğu için,

B

köşesinden geçen ve

AD

'ye paralel bir dikme indirerek şekli bir dikdörtgen ve bir dik üçgene ayırıp üçgenin iç açılarından da sonuca gidebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortaylar, $[DC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktasında kesişmektedir.

$|AE| = 12$ cm ve $|BE| = 16$ cm olduğuna göre, $ABCD$ paralelkenarının çevresi kaç cm'dir?

48

60

64

72

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Paralelkenarın çevresi 60 cm'dir.

Paralelkenarda ardışık köşelerden gelen açıortaylar birbirini dik keser, bu nedenle AEB üçgeni 12-16-20 dik üçgenidir ve |AB|=20 cm olur. Ayrıca paralellikten dolayı Z kuralı uygulandığında ADE ve BCE üçgenleri ikizkenar çıkar (|AD|=|DE| ve |BC|=|EC|). E noktası [DC] üzerinde olduğu için |DC| = |DE|+|EC| = |AD|+|BC| olur. Karşılıklı kenarlar eşit olduğundan (|AD|=|BC|), 2|AD| = 20 cm ve buradan |AD|=10 cm bulunur. Çevre = 2(20+10) = 60 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortayların kesişim özelliğini belirle

Paralelkenarda ardışık iki açının toplamı 180° olduğundan, açıortayları arasındaki açı 90°'dir. Yani m(AEB) = 90° olur.

2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° kuralı.

2

Pisagor bağıntısı ile [AB] kenarını bul

ABE dik üçgeninde 12-16-20 özel üçgeni (3-4-5'in 4 katı) oluşur. |AB| = 20 cm.

Dik üçgen özelliği: 12² + 16² = AB².

3

Z kuralı ile ikizkenar üçgenleri tespit et

[AB] // [DC] olduğundan Z kuralı gereği m(EAB) = m(AED) ve m(EBA) = m(BEC). Bu durumda ADE ve BCE üçgenleri ikizkenardır.

İç ters açılar eşittir.

4

Yan kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla

|AD| = |DE| ve |BC| = |EC| olur. E noktası [DC] üzerinde olduğundan |DC| = |DE| + |EC| = |AD| + |BC| = 2|AD|. |DC| = |AB| = 20 olduğundan, 2|AD| = 20 ⇒ |AD| = 10 cm. Çevre = 2(20 + 10) = 60 cm.

Paralelkenar çevre formülü: 2(a + b).

Anahtar Kavram

Paralelkenarda açıortaylar ve Z kuralı

Soru 15Soru →

Kısa kenarı $|AB| = 12$ cm, uzun kenarı $|BC| = 18$ cm olan $ABCD$ dikdörtgeni biçimindeki bir kağıt, $[AC]$ köşegeni boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda $D$ köşesi $D'$ noktasına gelmekte ve $[AD']$ kenarı ile $[BC]$ kenarı $K$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre, oluşan $AKC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

54

72

78

90

108

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

Oluşan AKC üçgeninin alanı 78 cm²'dir.

Katlama işlemi açıortay oluşturur ve dikdörtgenin paralelliği ile birleşince

AKC

üçgeninin ikizkenar (

|AK|=|KC|

) olduğu görülür. Pisagor bağıntısı ile ikizkenar üçgenin eş kenarlarının uzunluğu 13 cm bulunur. Tabanı 13 cm ve yüksekliği 12 cm olan üçgenin alanı 78 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Katlama özelliğini ve açıları analiz et

Katlama nedeniyle

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{D'AC})

olur. Ayrıca dikdörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğundan (

AD // BC

), iç ters açılardan (Z kuralı)

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACB})

olur. Dolayısıyla

m(\widehat{KAC}) = m(\widehat{KCA})

olur.

Katlama simetrisi ve paralellik özelliklerini kullanarak üçgenin türünü belirlemek için.

2

Oluşan üçgenin ikizkenar olduğunu belirle ve bilinmeyenleri tanımla

Açıların eşitliği nedeniyle

AKC

üçgeni ikizkenardır, yani

|AK| = |KC| = x

diyelim.

K

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan,

|BK| = 18 - x

olur.

Uzunlukları bulmak için denklemi kurmaya hazırlık.

3

ABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula

ABK

dik üçgeninde (

|AB|=12

):

12^2 + (18-x)^2 = x^2

denklemi kurulur.

144 + 324 - 36x + x^2 = x^2 \Rightarrow 468 = 36x \Rightarrow x = 13

cm bulunur.

AKC

üçgeninin taban uzunluğunu (

|KC|

) bulmak için.

4

AKC üçgeninin alanını hesapla

Alan formülü:

\frac{Taban \times Yükseklik}{2}

. Taban

|KC| = 13

cm, bu tabana ait yükseklik dikdörtgenin kısa kenarı olan

|AB| = 12

cm'dir. Alan =

\frac{13 \times 12}{2} = 13 \times 6 = 78

\text{cm}^2

.

Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Katlama sorularında açıortay ve paralellik (Z kuralı) birleşerek daima ikizkenar üçgen oluşturur.

İpuçları

1

Dikdörtgeni köşegeni boyunca katladığınızda, kat izi bir açıortay oluşturur. Z kuralını kullanarak iç ters açıları bulun.

2

Oluşan

AKC

üçgeninin taban açılarının eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin bir ikizkenar üçgen (

|AK| = |KC|

) olduğunu fark edin.

3

|KC| = x

diyerek

|BK| = 18-x

yazın ve

ABK

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını (

12^2 + (18-x)^2 = x^2

) kullanarak x'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kare şeklindeki bir kağıdın köşegeni boyunca değil, bir kenarının orta noktasına gelecek şekilde katlandığı soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir:

ABK

üçgeni ile

CD'K

üçgeni eştir (Açı-Kenar-Açı). Buradan da kenar eşitlikleri görülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Şekildeki $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ 'dir. Köşegenleri birbirine dik kesişen ( $[AC] \perp [BD]$ ) bu yamukta, $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına indirilen dikmenin ayağı $H$ noktasıdır. $|AH| = 12$ cm olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç santimetrekaredir?

72

96

108

144

156

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 144 cm²'dir.

İkizkenar yamukta

|AH|

uzunluğu orta tabana (

\frac{a+c}{2}

) eşittir. Köşegenler dik kesiştiği için yükseklik de orta tabana eşittir (

h = |AH|

). Alan formülü Orta Taban

\times

Yükseklik olduğundan, Alan =

|AH| \cdot |AH| = 12 \cdot 12 = 144

cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar yamukta

C

noktasından indirilen dikmenin tabanda ayırdığı parçayı analiz et.

|AH|

uzunluğu, yamuğun orta tabanına eşittir:

|AH| = \frac{|AB| + |DC|}{2}

.

İkizkenar yamukta yükseklik çizildiğinde, uzun parça (

AH

) alt ve üst taban toplamının yarısına (orta tabana) eşittir.

2

Köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini kullanarak yüksekliği (

h

) belirle.

h = 12

cm.

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik (

h

), orta tabana (

|AH|

) eşittir (

h = \frac{a+c}{2}

).

3

Yamuğun alanını hesapla.

Alan =

144

cm².

Yamuk Alanı = Orta Taban

\times

Yükseklik formülünden:

12 \times 12 = 144

.

Anahtar Kavram

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik, orta tabana eşittir (

h = \frac{a+c}{2}

).

İpuçları

1

İkizkenar yamukta

C

köşesinden indirilen dikmenin ayağı

H

ise,

|AH|

uzunluğu alt ve üst taban toplamının yarısına eşittir.

2

Bir yamuğun alanı (Alt Taban + Üst Taban)/2

\times

Yükseklik formülüyle bulunur.

|AH|

zaten (Alt Taban + Üst Taban)/2 değeridir.

3

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta, yükseklik (

h

) orta tabana (

|AH|

) eşittir. Yani

h=12

cm'dir.

Daha Fazla Pratik

Köşegenleri dik kesişen bir dik yamuk sorusu çözerek

h^2 = a \cdot c

bağıntısını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Köşegenlerin kesişim noktasına

O

deyin. Oluşan

\triangle AOB

ve

\triangle DOC

ikizkenar dik üçgenlerdir. Bu üçgenlerin yükseklikleri toplamı yamuğun yüksekliğini verir ve bu toplam tabanların aritmetik ortalamasına eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 17Soru →

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve $[AD] \perp [DC]$ 'dir. Yamuğun köşegenleri $([AC] \text{ ve } [BD])$ birbirini dik kesmektedir.

$|AD| = 6$ cm ve $ABCD$ yamuğunun alanı $45 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

9

10

3\sqrt{13}

12

4\sqrt{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3\sqrt{13}$

Cevap

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde

h^2 = a \cdot c

bağıntısı kullanılır. Tabanlar

3

ve

12

bulunur, buradan

|BC| = 3\sqrt{13}

elde edilir.

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde yükseklik bağıntısı (

h^2 = a \cdot c

) ve alan formülü birlikte kullanılarak tabanlar bulunur (

3

ve

12

). Ardından oluşturulan dik üçgen yardımıyla yan kenar hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dik yamukta köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini (

h^2 = a \cdot c

) kullan.

6^2 = |AB| \cdot |DC| \Rightarrow a \cdot c = 36

.

Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa yükseklik, tabanların geometrik ortalamasıdır.

2

Alan formülünden tabanların toplamını bul.

Alan

= \frac{a+c}{2} \cdot h \Rightarrow 45 = \frac{a+c}{2} \cdot 6 \Rightarrow a+c = 15

.

Yamuğun alanı, orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

3

Elde edilen iki denklemden (

a \cdot c = 36

ve

a+c=15

) taban uzunluklarını bul.

x^2 - 15x + 36 = 0

denkleminin kökleri

12

ve

3

'tür. Yani

|AB|=12

ve

|DC|=3

.

Toplamları 15, çarpımları 36 olan iki sayı 12 ve 3'tür.

4

C

köşesinden

[AB]

kenarına dikme indirerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygula.

Dik kenarlar

6

ve

(12-3)=9

cm olur.

|BC|^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117

.

Yan kenarı bulmak için yamuk içinde dik üçgen oluşturulur.

5

Sonucu kök dışına çıkar.

|BC| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}

cm.

Sadeleştirme işlemi.

Anahtar Kavram

Dik Yamukta Köşegenlerin Dik Kesişmesi (

h^2=a \cdot c

)

İpuçları

1

Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa, yükseklik ile tabanlar arasında özel bir bağıntı vardır (

h^2 = a \cdot c

).

2

Alan formülünden tabanların toplamını (

a+c

), yükseklik bağıntısından çarpımını (

a \cdot c

) bularak

a

ve

c

değerlerini hesaplayınız.

3

Tabanları

3

ve

12

bulduktan sonra,

C

noktasından

[AB]

'ye dik inerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulayınız.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak: Köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasını kullanarak da çözüm yapılabilir, ancak

h^2=ac

kuralı en kısa yoldur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 18Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. Şekilde $m(\widehat{A}) = 110^\circ$ olarak verildiğine göre, $B$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{B})$ ) kaç derecedir?

70^\circ

80^\circ

110^\circ

120^\circ

180^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $70^\circ$

Cevap

Verilen paralelkenarda

B

açısının ölçüsü

70^\circ

derecedir.

Paralelkenar geometrik özelliğine göre, paralel kollar arasında kalan komşu iç açıların toplamı

180^\circ

derecedir. Soruda

A

açısı

110^\circ

olarak verildiği için, onunla komşu olan

B

açısını bulmak için bütünler açı mantığıyla

180^\circ

'den

110^\circ

çıkarılır. Yapılan

180 - 110

işlemi sonucunda doğru cevap

70^\circ

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın açılarla ilgili temel özelliğini hatırla.

Paralelkenarda ardışık (bir kenarın uçlarında bulunan) iki iç açının toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için

[AD] \parallel [BC]

durumu karşı durumlu açılar oluşturur ve bu açıların toplamı

180^\circ

olur.

2

Bilinmeyen açıyı bulmak için çıkarma işlemini uygula.

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ

denkleminden

110^\circ + m(\widehat{B}) = 180^\circ

yazılır. Buradan

m(\widehat{B}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

bulunur.

A

ve

B

açıları ardışık açılar olduğundan toplamları

180^\circ

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda ardışık (komşu) açıların toplamı

180^\circ

derecedir.

İpuçları

1

Paralelkenarda yan yana gelen (ardışık) iki açının toplamı kaç derecedir?

2

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paraleldir. Bu durum, komşu açıların birbirini

180^\circ

'ye tamamlamasını sağlar.

3

180^\circ

dereceden verilen

110^\circ

derecelik açıyı çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Paralelkenarda karşılıklı açıların (örneğin

A

ve

C

) eşitliği ile ilgili soruları inceleyerek pekiştirme yapabilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 19Soru →

$ABCD$ bir paralelkenar olmak üzere, $E \in [DC]$ ve $F \in [BC]$ noktaları işaretlenmiştir. $|EC| = 2|DE|$ ve $|BF| = 3|FC|$ eşitlikleri verilmiştir. $Alan(ABCD) = 120$ cm² olduğuna göre, $Alan(AEF)$ kaç cm²'dir?

30

40

45

50

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Şekildeki dış üçgenlerin alanları toplamı olan 75 cm², paralelkenarın toplam alanı olan 120 cm²'den çıkarıldığında

Alan(AEF)

45 cm² olarak bulunur.

Paralelkenarın köşelerinde oluşan

ADE

,

ECF

ve

ABF

üçgenlerinin alanları, paralelkenarın toplam alanına oranlanarak hesaplanır. Bu oranlar sırasıyla

1/6

,

1/12

ve

3/8

olup, 120 cm² üzerinden değerleri 20, 10 ve 45 cm²'dir. Toplam 75 cm² olan bu alanlar 120'den çıkarıldığında sonuç 45 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ADE

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ADE) = 20

cm²

DE = \frac{1}{3} DC

olduğundan

Alan(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{1}{3} CD \cdot \sin(D) = \frac{1}{6} Alan(ABCD) = \frac{120}{6} = 20

cm².

2

ECF

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ECF) = 10

cm²

EC = \frac{2}{3} CD

ve

CF = \frac{1}{4} BC

olduğundan

Alan(ECF) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} CD \cdot \frac{1}{4} BC \cdot \sin(C) = \frac{1}{12} Alan(ABCD) = \frac{120}{12} = 10

cm².

3

ABF

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ABF) = 45

cm²

BF = \frac{3}{4} BC

olduğundan

Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{3}{4} BC \cdot \sin(B) = \frac{3}{8} Alan(ABCD) = \frac{3}{8} \cdot 120 = 45

cm².

4

Toplam alandan dış üçgenleri çıkar.

45 cm²

Alan(AEF) = Alan(ABCD) - [Alan(ADE) + Alan(ECF) + Alan(ABF)] = 120 - [20 + 10 + 45] = 120 - 75 = 45

cm².

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve üçgenin alanı ile paralelkenarın alanı arasındaki ilişki.

İpuçları

1

Paralelkenarın alanını, köşelerdeki üçgenlerin alanlarını bulup toplam alandan çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

2

Bir üçgenin alanı, iki kenarı ve aralarındaki açının sinüsü çarpımının yarısıdır. Paralelkenarın alanı ise kenar çarpımları ve açının sinüsüdür.

3

Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BF| \cdot \sin(B)

formülünde

|BF| = \frac{3}{4} |BC|

yazarak paralelkenar alanıyla ilişki kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu bir dikdörtgen içinde alan oranları vererek çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde; $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortaylar dörtgenin iç bölgesindeki $K$ noktasında, $C$ ve $D$ köşelerine ait iç açıortaylar ise $L$ noktasında kesişmektedir.

$m(\widehat{AKB}) = 3\alpha - 20^{\circ}$ ve $m(\widehat{DLC}) = \alpha + 40^{\circ}$ olduğuna göre, $m(\widehat{DLC})$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

70

80

90

100

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

m(\widehat{DLC})

açısı

80^{\circ}

dir.

Dörtgenlerde ardışık köşelerin (

A, B

gibi) açıortaylarının kesiştiği noktadaki açı (

K

), diğer iki açının (

C, D

) toplamının yarısına eşittir:

m(\widehat{K}) = \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}

. Benzer şekilde

m(\widehat{L}) = \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2}

. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa,

m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) = \frac{360}{2} = 180^{\circ}

bulunur. Soruda verilen

(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180

denklemi çözülerek

\alpha=40

bulunur ve istenen açı

80^{\circ}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABCD

dörtgeninin iç açıları toplamının

360^{\circ}

olduğunu ve açıortayların açıları iki eş parçaya böldüğünü hatırlayalım.

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^{\circ}

Dörtgenin temel özelliği

2

Açıortayların oluşturduğu üçgenlerde (

ABK

ve

DLC

) tepe açısı ile taban açıları arasındaki ilişkiyi yazalım.

m(\widehat{AKB}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2}

ve

m(\widehat{DLC}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}

Üçgenin iç açıları toplamı

180^{\circ}

dir.

3

Bu iki açının toplamının

180^{\circ}

olduğunu gösterelim.

m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{DLC}) = 360^{\circ} - \frac{m(\widehat{A})+m(\widehat{B})+m(\widehat{C})+m(\widehat{D})}{2} = 360^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}

Karşılıklı olmayan (ardışık) köşelerin açıortaylarının kesim noktalarındaki açılar bütünlerdir.

4

Verilen cebirsel ifadeleri toplayıp

180^{\circ}

'ye eşitleyerek

\alpha

değerini bulalım.

(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180 \Rightarrow 4\alpha + 20 = 180 \Rightarrow 4\alpha = 160 \Rightarrow \alpha = 40

Denklem çözümü

5

Bulunan

\alpha

değerini

m(\widehat{DLC})

ifadesinde yerine koyalım.

m(\widehat{DLC}) = 40 + 40 = 80^{\circ}

Sonuç hesabı

Anahtar Kavram

Dörtgenlerde ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı ile karşıdaki ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı bütünlerdir (toplamları

180^{\circ}

dir).

İpuçları

1

Dörtgenin iç açılarının toplamının

360^{\circ}

olduğunu hatırlayınız.

2

Ardışık iki köşenin açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki köşenin açılarının toplamının yarısıdır.

3

m(\widehat{AKB})

ve

m(\widehat{DLC})

açılarının toplamı daima

180^{\circ}

dir. Bu eşitliği kullanarak

\alpha

değerini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Karşılıklı köşelerin (A ve C) açıortaylarının oluşturduğu dar açının, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşit olduğu durumla ilgili sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Açılara değer vererek (örneğin

A=B=C=D=90^{\circ}

karesi gibi) formülün doğruluğunu test edebilir ve özel durumdan genel sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Dörtgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar