x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır. x \cdot (y+z) = 3x^2 + 12 \neşitliği sağlanmaktadır. x < z < y sıralaması olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?

x, y ve z birbirinden farklı asal sayılardır. x \cdot (y+z) = 3x^2 + 12 \neşitliği sağlanm… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$x, y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılardır.

x \cdot (y+z) = 3x^2 + 12

eşitliği sağlanmaktadır.

x < z < y

sıralaması olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

A
12
14Cevap
C
16
D
19
E
21

Cevap

Verilen denklem düzenlendiğinde

x

'in 12'nin asal böleni olması gerektiği görülür (

x=2

veya

x=3

). Her iki durum için

y

z

asal sayı çiftleri bulunur. Ancak sorudaki

x < z < y

sıralama şartını sadece

x=2, z=5, y=7

değerleri sağlar. Bu değerlerin toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

Eşitliği düzenle ve

y+z

ifadesini yalnız bırak.

x(y+z) = 3x^2 + 12

ifadesini her iki tarafı

x

'e bölerek düzenlersek:

y+z = 3x + \frac{12}{x}

elde edilir.

Tam sayı ve asal sayı analizi yapabilmek için bilinmeyenleri ayrıştırmak gerekir.

x

'in alabileceği değerleri belirle.

y+z

3x

birer tam sayı olduğundan,

\frac{12}{x}

ifadesi de tam sayı olmalıdır.

x

bir asal sayı olduğu için 12'yi bölen asallar

x=2

veya

x=3

olabilir.

Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.

x=3

durumunu incele.

x=3

için

y+z = 3(3) + \frac{12}{3} = 9+4=13

. Toplamı 13 olan asal sayılar 2 ve 11'dir. Sayılar

\{3, 2, 11\}

olur. Ancak

x < z < y

şartına göre

3 < 2 < 11

veya

3 < 11 < 2

ifadeleri yanlıştır. Bu durum çözüm sağlamaz.

Verilen eşitsizlik kısıtlamasının kontrolü.

x=2

durumunu incele ve sonucu hesapla.

x=2

için

y+z = 3(2) + \frac{12}{2} = 6+6=12

. Toplamı 12 olan asal sayılar 5 ve 7'dir. Sayılar

\{2, 5, 7\}

olur.

x < z < y

şartı için

2 < 5 < 7

sıralaması DOĞRUDUR. O halde

x=2, z=5, y=7

. Toplam:

2+5+7=14

Tek geçerli çözüm kümesinin bulunması.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlar ve tam sayı bölenleri analizi ile denklem çözme

İpuçları

Eşitliğin sol tarafındaki çarpım durumundaki x'i, eşitliğin sağ tarafına bölme olarak atarak y+z ifadesini yalnız bırakmayı deneyin.

y+z = 3x + 12/x

denkleminde sonucun tam sayı olması için

x

'in 12'yi bölen bir asal sayı olması gerekir.

x

sadece 2 veya 3 olabilir. Her iki durum için

y

z

asallarını bulun ve

x < z < y

sıralamasını hangisinin sağladığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

p

bir asal sayı olmak üzere

m^2 - n^2 = p

denkleminin çözümünü içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemiyle en küçük asallardan (2, 3, 5) başlayarak x yerine değer verip y+z toplamının asal sayı toplamlarına uygunluğunu kontrol etmek.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru