Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

f(1)+f(2)=9f(1) + f(2) = 9

şartını sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    24
  2. B
    48
  3. C
    72
  4. 96Cevap
  5. E
    120

Cevap

Şartı sağlayan 96 farklı fonksiyon tanımlanabilir
Soruda verilen f(1)+f(2)=9f(1) + f(2) = 9 şartını sağlayan sıralı ikililer tespit edilir: (3,6),(6,3),(4,5),(5,4)(3,6), (6,3), (4,5), (5,4). Toplam 4 farklı durum vardır. Fonksiyon birebir olduğu için, geriye kalan 4 eleman (3,4,5,63,4,5,6), değer kümesinde boşta kalan 4 elemanla 4!=244! = 24 farklı şekilde eşleşebilir. Toplam fonksiyon sayısı 4×24=964 \times 24 = 96 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(1) ve f(2) için uygun değer çiftlerini belirle
Toplamı 9 olan ve A kümesinde bulunan sayı ikilileri: (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)
Fonksiyon A'dan A'ya tanımlı olduğu için görüntüler 1 ile 6 arasında olmalıdır.
2
Birebir fonksiyon şartını kontrol et
Seçilen her çift birbirinden farklı olduğu için (örneğin 3 ve 6), birebir olma şartı bu adımda bozulmaz.
Birebir fonksiyonlarda farklı girdiler farklı çıktılara gitmelidir (x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)).
3
Kalan elemanların kaç farklı şekilde eşleşebileceğini hesapla
Tanım kümesinde kalan 4 eleman, değer kümesinde kalan 4 elemana 4!=244! = 24 farklı şekilde eşleşebilir.
A kümesinin 6 elemanı vardır. 2 elemanın görüntüsü belirlendiğinde, geriye kalan 4 eleman kendi aralarında permütasyon oluşturur.
4
Toplam fonksiyon sayısını hesapla
4 farklı başlangıç durumu ×\times 24 farklı sıralama = 96
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği olasılıklar çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda, belirli elemanların görüntüleri sabitlendiğinde geriye kalan elemanlar, kalan görüntü kümesi elemanlarıyla birebir eşleşmek zorundadır (permütasyon).

İpuçları

1
Önce f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin alabileceği değerleri listeleyin. Toplamı 9 olan kaç farklı (x,y)(x, y) ikilisi var?
2
Fonksiyon birebir olduğu için, f(1)f(1) ve f(2)f(2) için değer seçtikten sonra, geriye kalan 4 elemanı (3,4,5,63, 4, 5, 6) kalan 4 görüntüye eşlemeniz gerekir.
3
Toplamı 9 olan 4 farklı durum vardır: (3,6),(6,3),(4,5),(5,4)(3,6), (6,3), (4,5), (5,4). Her bir durum için kalan elemanlar 4!4! (24) farklı şekilde sıralanır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'f(1) < f(2)' şartıyla çözmeyi deneyin. Bu durumda permütasyon yerine kombinasyon mantığı nasıl devreye girer?

Alternatif Yöntem

Tüm birebir fonksiyon sayısı 6!=7206! = 720'dir. İstenen şartı sağlamayanları çıkarmak yerine doğrudan istenen durumları saymak (yapıcı metot) burada daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru