Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABC çeşitkenar üçgeninde ∣AB∣=6|AB| = 6 cm ve ∣AC∣=10|AC| = 10 cm ölçülerindedir. m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ olduğu bilindiğine göre, ∣BC∣|BC| kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. 12Cevap
  3. C
    18
  4. D
    20
  5. E
    26

Cevap

Sadece 5 ve 7 değerleri şartları sağlar, toplamları 12'dir.
Doğru cevap, üçgenin hem var olma şartlarını (üçgen eşitsizliği), hem açı şartını (geniş açı), hem de özel tanım şartını (çeşitkenar) sağlayan değerlerin toplamıdır. 5 ve 7 sayıları bu üç koşulu da sağlayan yegane tam sayılardır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliği kuralını ∣BC∣=x|BC| = x için uygula.
∣10−6∣<x<10+6⇒4<x<16|10 - 6| < x < 10 + 6 \Rightarrow 4 < x < 16
Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.
2
Verilen m(B^)>90∘m(\widehat{B}) > 90^\circ (geniş açı) koşulunu kenar bağıntılarına uyarla.
b2>a2+c2⇒102>x2+62⇒100>x2+36⇒64>x2⇒x<8b^2 > a^2 + c^2 \Rightarrow 10^2 > x^2 + 6^2 \Rightarrow 100 > x^2 + 36 \Rightarrow 64 > x^2 \Rightarrow x < 8
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
3
Elde edilen iki eşitsizliği (Adım 1 ve Adım 2) birleştirerek xx için geçerli aralığı bul.
4<x<164 < x < 16 ve x<8x < 8 olduğundan, ortak aralık 4<x<84 < x < 8 olur. Bu aralıktaki tam sayılar: {5,6,7}\{5, 6, 7\}.
Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.
4
'Çeşitkenar üçgen' koşulunu kontrol ederek uygun olmayan değerleri ele.
Kenarlar 66, 1010 ve xx olduğundan; x≠6x \neq 6 ve x≠10x \neq 10 olmalıdır. {5,6,7}\{5, 6, 7\} kümesinden 66 çıkarılır. Kalan değerler: {5,7}\{5, 7\}.
Çeşitkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır.
5
Kalan değerleri topla.
5+7=125 + 7 = 12
Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

İpuçları

1
Önce üçgen eşitsizliğini (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c) kullanarak kenar uzunluğunun genel aralığını bulunuz.
2
B açısının 90∘90^\circ'den büyük olması, bu açının karşısındaki kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmasını gerektirir (b2>a2+c2b^2 > a^2 + c^2).
3
Bulduğunuz aralıktaki tam sayılardan, üçgenin 'çeşitkenar' olma özelliğini bozan (diğer kenarlara eşit olan) değerleri elemeyi unutmayınız.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısı referans alınabilir: Eğer B açısı 90∘90^\circ olsaydı x2+62=102x^2 + 6^2 = 10^2 eşitliğinden x=8x=8 olurdu. Açı 90∘90^\circ'den büyük olduğu için B'nin karşısındaki kenar (10) en büyük olmalıdır, bu da xx'in 8'den küçük olması gerektiğini gösterir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru