Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki şekilde, ABCD bir dörtgen ve [BD] bu dörtgenin bir köşegenidir. Şekilde verilen uzunluklara göre; |AB| = 6 cm, |AD| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve |CD| = 12 cm'dir. Ayrıca m(BAD) > 90° olduğu bilinmektedir.

Buna göre, |BD| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    2
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    6
  5. E
    7

Cevap

BD uzunluğu 3 farklı tam sayı değeri alabilir.
Ortak kenar |BD| = x olsun. ABD üçgeninde m(A) > 90° olduğu için x² > 6² + 8² yani x > 10 olur. Aynı üçgende üçgen eşitsizliğinden x < 6+8=14 bulunur. Yani ABD üçgeninden gelen şart 10 < x < 14'tür. BCD üçgeninde ise |12-5| < x < 12+5 yani 7 < x < 17 şartı vardır. Her iki şartı sağlayan ortak aralık 10 < x < 14 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 11, 12 ve 13 olmak üzere 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz ve geniş açı şartını uygula.
Eşitsizlik: |8-6| < |BD| < 8+6 ⇒ 2 < |BD| < 14. Geniş açı şartı (m(A)>90°): |BD|² > 6² + 8² ⇒ |BD|² > 100 ⇒ |BD| > 10. Sonuç: 10 < |BD| < 14.
Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. Ayrıca geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.
2
BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz.
|12-5| < |BD| < 12+5 ⇒ 7 < |BD| < 17.
BCD üçgeninde herhangi bir açı kısıtlaması verilmediği için sadece standart üçgen eşitsizliği uygulanır.
3
Bulunan iki aralığın kesişimini al ve tam sayıları say.
Aralık 1: (10, 14), Aralık 2: (7, 17). Kesişim: 10 < |BD| < 14. Tam sayılar: {11, 12, 13}. Toplam 3 değer.
|BD| uzunluğu her iki üçgenin şartlarını da aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Bir kenar ortak olan iki üçgende, ortak kenarın alabileceği değerler her iki üçgenin eşitsizlik şartlarının kesişim kümesidir. Ayrıca açı şartları (dik, dar, geniş) alt veya üst sınırları daraltır.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru