Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Çevresi 40 cm olan bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8|AB| = 8 cm'dir.

m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    5
  5. E
    7

Cevap

Sadece 13 ve 14 olmak üzere 2 farklı değer alır.
Üçgenin kenar uzunlukları için iki temel kısıtlama vardır: Genel üçgen eşitsizliği ve geniş açı kısıtlaması. Çevresi 40 ve bir kenarı 8 olan üçgende diğer iki kenarın toplamı 32'dir (a+b=32a+b=32). Üçgen eşitsizliğinden (∣a−b∣<8|a-b|<8) aa kenarının (12,20)(12, 20) aralığında olması gerekir. Ancak BB açısının geniş olması (b2>a2+82b^2 > a^2 + 8^2), aa'nın 15'ten küçük olmasını gerektirir. Bu iki koşulun kesişimi (12,15)(12, 15) aralığıdır ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 tam sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri değişkenlerle ifade et.
∣AB∣=c=8|AB|=c=8, ∣BC∣=a|BC|=a, ∣AC∣=b|AC|=b. Çevre =a+b+8=40⇒a+b=32⇒b=32−a= a+b+8 = 40 \Rightarrow a+b=32 \Rightarrow b = 32-a.
Soruyu çözebilmek için kenarlar arasında tek değişkene bağlı bir ilişki kurmak gerekir.
2
Üçgen eşitsizliğini uygula.
∣a−b∣<c<a+b⇒∣a−(32−a)∣<8|a-b| < c < a+b \Rightarrow |a-(32-a)| < 8. Buradan ∣2a−32∣<8|2a-32| < 8 elde edilir. −8<2a−32<8⇒24<2a<40⇒12<a<20-8 < 2a-32 < 8 \Rightarrow 24 < 2a < 40 \Rightarrow 12 < a < 20.
Bir üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntılarının sağlanması gerekir.
3
Geniş açı (m(B^)>90∘m(\widehat{B}) > 90^\circ) şartını uygula.
b2>a2+c2b^2 > a^2 + c^2 olmalıdır. (32−a)2>a2+82(32-a)^2 > a^2 + 8^2.
Açı 90∘90^\circ'den büyük olduğunda, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olur.
4
Eşitsizliği çöz.
1024−64a+a2>a2+64⇒960>64a⇒15>a1024 - 64a + a^2 > a^2 + 64 \Rightarrow 960 > 64a \Rightarrow 15 > a.
Açı şartının getirdiği üst sınırı belirlemek için işlem yapılır.
5
İki koşulu birleştirerek çözüm kümesini bul.
Üçgen eşitsizliğinden 12<a<2012 < a < 20 ve açı şartından a<15a < 15 bulundu. Ortak çözüm: 12<a<1512 < a < 15. Bu aralıktaki tam sayılar: 13 ve 14.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerler geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenar uzunlukları hem üçgen eşitsizliğini (∣a−b∣<c<a+b|a-b|<c<a+b) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizliği) sağlamalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru