Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

Aşağıda verilen ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] paralelliği sağlanmaktadır. m(DAB^)+m(CBA^)=90∘m(\widehat{DAB}) + m(\widehat{CBA}) = 90^\circ olduğu bilinmektedir.

∣AD∣=6 cm|AD| = 6 \text{ cm}, ∣BC∣=8 cm|BC| = 8 \text{ cm} ve ∣DC∣=5 cm|DC| = 5 \text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    24
  2. B
    36
  3. 48Cevap
  4. D
    60
  5. E
    96

Cevap

48
Verilen açı şartı (m(A^)+m(B^)=90∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ), yan kenarların bir noktada dik kesiştiğini gösterir. ADAD kenarını paralel kaydırarak oluşturulan 6-8-10 dik üçgeninden yamuğun yüksekliği h=4,8h=4,8 cm bulunur. Tabanlar toplamı 20 cm olduğu için alan 10×4,8=4810 \times 4,8 = 48 cm 2^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
DD köşesinden [BC][BC] kenarına paralel bir [DK][DK] doğrusu çizilir (K∈[AB]K \in [AB]).
ADCDADCD bir paralelkenar olur.
Yamuğun taban açıları toplamı verildiğinde, yan kenarlardan birine paralel çizerek bir üçgen oluşturmak çözüm için standart bir yöntemdir.
2
Oluşan DKBDKB üçgeninin açılarını ve kenarlarını incele.
m(DKB^)=m(DAB^)m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DAB}) (yöndeş) olduğu için m(DKB^)+m(KBA^)=90∘m(\widehat{DKB}) + m(\widehat{KBA}) = 90^\circ olur. Bu durumda m(KDB^)=90∘m(\widehat{KDB}) = 90^\circ olmalıdır. Kenarlar: ∣DK∣=6|DK|=6, ∣KB∣=8|KB|=8.
Açıların toplamı 90 derece olduğundan, oluşan üçgenin tepe açısı dik açı olmak zorundadır. Bu bir 6-8-10 dik üçgenidir.
3
Yamuğun yüksekliğini (hh) hesapla.
Üçgenin alanı iki yolla yazılır: 6⋅82=10⋅h2⇒24=5h⇒h=4,8 cm\frac{6 \cdot 8}{2} = \frac{10 \cdot h}{2} \Rightarrow 24 = 5h \Rightarrow h = 4,8 \text{ cm}.
Dik üçgende alan hem dik kenarlar çarpımının yarısı hem de hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
4
Alt taban uzunluğunu (∣AB∣|AB|) bul ve yamuk alanını hesapla.
∣AB∣=∣AK∣+∣KB∣=5+10=15 cm|AB| = |AK| + |KB| = 5 + 10 = 15 \text{ cm}. Alan = 5+152⋅4,8=10⋅4,8=48 cm2\frac{5 + 15}{2} \cdot 4,8 = 10 \cdot 4,8 = 48 \text{ cm}^2.
Yamuk alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Yamukta Açı Özellikleri ve Alan

İpuçları

1
Yamuğun yan kenarlarından birine (ADAD veya BCBC) paralel olacak şekilde içeriden bir doğru parçası çizmeyi deneyin.
2
ADAD kenarına paralel çizdiğinizde oluşan üçgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 olacaktır. Bu üçgenin tepe açısını, verilen açı toplamı bilgisini kullanarak bulun.
3
Oluşan üçgen 6-8-10 dik üçgenidir. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği, aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan eşitlemesini kullanarak yüksekliği bulun.

Daha Fazla Pratik

Aynı soru tipi için, açıların toplamı 90 derece yerine 60 veya 120 derece verilseydi hangi özel üçgen (30-60-90 veya kosinüs teoremi) kullanılırdı?

Alternatif Yöntem

Yan kenarları yukarı doğru uzatarak yamuğu büyük bir dik üçgene tamamlayabilirsiniz. Benzerlik oranlarını kullanarak büyük ve küçük üçgenlerin alanları farkından sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru