Dik koordinat düzleminde, denklemi x - 2y + 6 = 0 olan d_1 doğrusunun, denklemi x + y - 3 … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Dik koordinat düzleminde, denklemi $x - 2y + 6 = 0$ olan $d_1$ doğrusunun, denklemi $x + y - 3 = 0$ olan $d_2$ doğrusuna göre simetriği $d_3$ doğrusudur. Buna göre, $d_3$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan kapalı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A
$\frac{9}{8}$
$\frac{9}{4}$ Cevap
C
$3$
D
$\frac{9}{2}$
E
$6$

Cevap

Üçgensel bölgenin alanı

\frac{9}{4}

birimkaredir.

Doğru cevap,

d_3

doğrusunun denkleminin

y=2x+3

olarak bulunması ve eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanının

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4}

hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

d_1

d_2

doğrularının kesişim noktasını (

K

) bulun.

x - 2y = -6

x + y = 3

denklemleri ortak çözülürse

y=3, x=0

bulunur. Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriği, bu iki doğrunun kesişim noktasından geçer.

d_1

doğrusu üzerinde işlem kolaylığı sağlayacak bir nokta (

A

) seçin.

y=0

için

x=-6

bulunur.

A(-6, 0)

noktası seçilir.

Simetrik doğruyu bulmak için kesişim noktası dışında ikinci bir referans noktasına ihtiyaç vardır.

A(-6, 0)

noktasının

d_2: x + y - 3 = 0

doğrusuna göre simetriğini (

A'

) hesaplayın.

AA'

doğrusunun eğimi

1

'dir (

d_2

'nin eğimi

-1

olduğundan). Simetri işlemi sonucunda

A'(3, 9)

bulunur.

Simetri dönüşümünde noktalar, simetri eksenine eşit uzaklıkta ve dik konumda taşınır.

K(0,3)

A'(3,9)

noktalarından geçen

d_3

doğrusunun denklemini yazın.

Eğim

m = \frac{9-3}{3-0} = 2

. Denklem

y - 3 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 3

İki noktası bilinen doğrunun denklemi elde edilir.

d_3

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları ve üçgenin alanını hesaplayın.

x=0

için

y=3

;

y=0

için

x=-\frac{3}{2}

. Alan =

\frac{1}{2} \cdot |-\frac{3}{2}| \cdot 3 = \frac{9}{4}

Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir Doğrunun Başka Bir Doğruya Göre Simetriği

İpuçları

Simetrisi alınan doğru ile simetri ekseni olan doğru kesişiyorsa, elde edilecek simetrik doğru da bu kesişim noktasından geçer.

d_1

doğrusu üzerinde rastgele bir nokta (örneğin eksenleri kestiği nokta) seçip, bu noktanın

d_2

doğrusuna göre simetriğini bulun.

Kesişim noktası

K(0,3)

'tür.

A(-6,0)

noktasının

x+y-3=0

doğrusuna göre simetriği

A'(3,9)

noktasıdır.

K

A'

noktalarından geçen doğrunun eksenlerle oluşturduğu alanı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinin, o doğru üzerinde oluşturduğu en kısa mesafe problemleri incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Eğim açısı yöntemi:

d_2

doğrusu açıortaydır.

d_1

d_2

arasındaki açının tanjantını bularak, aynı açıyı

d_2

ile

d_3

arasına uygulayıp

m_3

eğimi hesaplanabilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru

Cevap

Çözüm Destekleyici Görseli

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru