Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABCABC üçgeninde, kenarlar arasında 2a=3b−c2a = 3b - c eşitliği bulunmaktadır. 10<c<1510 < c < 15 ve m(A^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) olduğu bilindiğine göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç santimetredir?

  1. A
    103
  2. B
    105
  3. 107Cevap
  4. D
    109
  5. E
    111

Cevap

Üçgenin çevresinin alabileceği en büyük değer 107 santimetredir.
Verilen eşitlik ve eşitsizlikler birleştirildiğinde, üçgenin kenar uzunlukları a=53a=53, b=40b=40 ve c=14c=14 olarak bulunur. Bu değerler hem üçgen eşitsizliğini (13<14<9313 < 14 < 93), hem açı şartını (53>14  ⟹  a>c53 > 14 \implies a > c) hem de verilen aralık şartını (10<14<1510 < 14 < 15) sağlayan, çevresi en büyük üçgeni oluşturur. Çevre = 53+40+14=10753 + 40 + 14 = 107 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği kullanarak cc kenarını aa ve bb cinsinden ifade etme
c=3b−2ac = 3b - 2a
Değişken sayısını azaltmak ve cc üzerindeki kısıtlamaları aa ve bb üzerine taşımak için gereklidir.
2
Açı şartından kenar sıralamasını belirleme
m(A^)>m(C^)  ⟹  a>cm(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) \implies a > c. Buradan a>3b−2a  ⟹  3a>3b  ⟹  a>ba > 3b - 2a \implies 3a > 3b \implies a > b elde edilir.
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır.
3
Üçgen eşitsizliğini (a<b+ca < b + c) kontrol etme
a<b+(3b−2a)  ⟹  a<4b−2a  ⟹  3a<4ba < b + (3b - 2a) \implies a < 4b - 2a \implies 3a < 4b veya a<43ba < \frac{4}{3}b.
Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
4
cc üzerindeki aralık şartını (10<c<1510 < c < 15) aa ve bb için sınırlara dönüştürme
10<3b−2a<1510 < 3b - 2a < 15. Buradan alt sınır: 2a<3b−10  ⟹  a<1.5b−52a < 3b - 10 \implies a < 1.5b - 5. Üst sınır: 2a>3b−15  ⟹  a>1.5b−7.52a > 3b - 15 \implies a > 1.5b - 7.5.
Çevreyi maksimize etmek için bb ve aa değerlerini sınırlandırmak gerekir.
5
bb değerini büyüterek tam sayı çözümleri arama
b=40b=40 için aa aralığı: 52.5<a<53.3352.5 < a < 53.33. Tek tam sayı a=53a=53. Bu durumda c=120−106=14c = 120 - 106 = 14. Şartlar sağlanır: 10<14<1510 < 14 < 15 ve 53<160/353 < 160/3. Çevre = 53+40+14=10753 + 40 + 14 = 107. Daha büyük bb değerleri (ör. 41) için aralıkta tam sayı bulunamaz.
Çevre a+b+c=4b−aa+b+c = 4b-a olduğundan, bb arttıkça çevre artma eğilimindedir, bu yüzden büyük bb değerleri denenir.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

İpuçları

1
Sorudaki 2a=3b−c2a = 3b - c eşitliğinden cc'yi yalnız bırakarak diğer eşitsizliklerde yerine yazın.
2
m(A^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) olduğu için a>ca > c olmalıdır. Bunu c=3b−2ac = 3b - 2a ifadesiyle birleştirerek aa ve bb arasındaki ilişkiyi (a>ba > b) bulun.
3
Bir üçgenin oluşabilmesi için a<b+ca < b + c olmalıdır. Bu şartı cc yerine 3b−2a3b - 2a yazarak kontrol edin (3a<4b3a < 4b). bb'ye 40 civarında değerler vererek tam sayı çözüm arayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalarla, açı şartının m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ olarak verildiği ve a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 eşitsizliğinin kullanıldığı bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Çevre fonksiyonunu C(b)=4b−aC(b) = 4b - a olarak yazıp, aa'nın bb'ye bağlı sınırlarını (1.5b−7.5<a<1.33b1.5b - 7.5 < a < 1.33b) kullanarak bb arttıkça çevrenin arttığını fark edip üst sınırdan deneme yapmak daha hızlı sonuç verebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru