Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKöklü İfadeler
x=3−1x = \sqrt{3} - 1 olmak üzere,
26+1533−2x \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} - \frac{2}{x}
işleminin sonucu kaçtır?
  1. 1Cevap
  2. B
    3
  3. C
    2
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    232\sqrt{3}

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
Soru iki aşamalı bir sadeleştirme gerektirir. İlk kısımda, küp kök içindeki ifadenin (2+3)(2+\sqrt{3})'ün küpü olduğu görülmelidir. İkinci kısımda ise verilen xx değeri yerine yazılarak payda eşleniği ile çarpılmalıdır. (2+3)−(3+1)(2+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}+1) işlemi sonucunda köklü sayılar birbirini götürür ve geriye 1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Küp kök içindeki 26+15326 + 15\sqrt{3} ifadesinin, (a+b3)3(a + b\sqrt{3})^3 biçiminde bir tam küp olup olmadığını kontrol et.
İfade (2+3)3(2 + \sqrt{3})^3 açılımına eşittir. Çünkü (2+3)3=23+3⋅22⋅3+3⋅2⋅(3)2+(3)3=8+123+18+33=26+153(2+\sqrt{3})^3 = 2^3 + 3\cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3\cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}.
Köklü ifadenin dışarı çıkabilmesi için içerisinin bir tam kuvvet olması gerekir.
2
Küp kökü sadeleştir.
(2+3)33=2+3\sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = 2 + \sqrt{3}
Küp kök ve küp kuvveti birbirini götürür.
3
İkinci terimdeki 2x\frac{2}{x} ifadesinde xx yerine 3−1\sqrt{3}-1 yaz ve paydayı rasyonel yap.
23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1
Paydada köklü ifade bırakılmaz, eşleniği ile çarpılır.
4
Bulunan değerleri yerine yazarak çıkarma işlemini yap.
(2+3)−(3+1)=2+3−3−1=1(2 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 1) = 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = 1
Sonuç için terimler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tam Küp Açılımı ve Eşlenik

İpuçları

1
Küp kök içindeki 26+15326 + 15\sqrt{3} ifadesini, (a+3)3(a + \sqrt{3})^3 şeklinde bir tam kuvvet olarak yazmayı deneyin.
2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 özdeşliğini kullanarak aa sayısını bulmaya çalışın. Ayrıca 2x\frac{2}{x} ifadesinde paydayı rasyonel yapmayı unutmayın.
3
İfade (2+3)3(2+\sqrt{3})^3'tür. 23−1\frac{2}{\sqrt{3}-1} ifadesinin eşleniği ile çarpılmış hali ise 3+1\sqrt{3}+1'dir. Bu iki değeri birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} kuralı ile ilgili sorular çözerek kök dışına çıkarma pratiği yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Yaklaşık değer hesabı yapılabilir: 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73 alınırsa, x≈0,73x \approx 0,73 olur. 26+15(1,73)3≈51,953≈3,73\sqrt[3]{26 + 15(1,73)} \approx \sqrt[3]{51,95} \approx 3,73. İkinci kısım 2/0,73≈2,732/0,73 \approx 2,73. Sonuç 3,73−2,73=13,73 - 2,73 = 1. Ancak bu yöntem risklidir ve kesin sonuç vermez.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Köklü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru