Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiler verilmiştir. ∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣BC∣=7|BC| = 7 cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında m(C^)>m(B^)>m(A^)m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) bağıntısı olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    6
  4. D
    11
  5. E
    13

Cevap

4 farklı tam sayı değeri vardır.
Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar 5 ile 19 arasında olmalıdır. Ancak soruda verilen m(C^)>m(B^)>m(A^)m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) koşulu, kenarlar arasında 12>∣AC∣>712 > |AC| > 7 bağıntısını zorunlu kılar. Bu iki koşulun kesişimi alındığında ∣AC∣|AC|'nun 7 ile 12 arasında olması gerektiği görülür. Bu aralıktaki tam sayılar 8, 9, 10 ve 11 olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayın.
∣12−7∣<∣AC∣<∣12+7∣⇒5<∣AC∣<19|12 - 7| < |AC| < |12 + 7| \Rightarrow 5 < |AC| < 19
Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Açı-kenar bağıntısını kullanarak kenarlar arasındaki sıralamayı belirleyin.
m(C^)>m(B^)>m(A^)⇒∣AB∣>∣AC∣>∣BC∣m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow |AB| > |AC| > |BC|
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
3
Verilen kenar uzunluklarını sıralamada yerine koyun.
12>∣AC∣>712 > |AC| > 7
∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣BC∣=7|BC| = 7 cm olarak verilmiştir.
4
Elde edilen iki eşitsizliğin kesişim kümesini bulun.
Ortak aralık: 7<∣AC∣<127 < |AC| < 12
Kenar uzunluğu hem üçgen eşitsizliğini hem de açı koşulunu aynı anda sağlamalıdır.
5
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.
8, 9, 10, 11 (Toplam 4 adet)
7 ile 12 arasındaki tam sayılar istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasındaki temel ilişki: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve her kenar üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

İpuçları

1
Üçgen eşitsizliğini kullanarak ∣AC∣|AC| için geniş bir aralık belirleyin.
2
Açı sıralamasına bakın: m(C^)m(\widehat{C}) açısı 12 cm'lik kenarı görüyorsa, m(B^)m(\widehat{B}) açısının gördüğü ∣AC∣|AC| kenarı 12'den küçük olmalıdır.
3
Benzer şekilde m(B^)>m(A^)m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) olduğu için ∣AC∣>7|AC| > 7 olmalıdır. Bulduğunuz tüm sınırları birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Bir dahaki soruda bir açının 90 dereceden büyük veya küçük olma durumunun kenar uzunluğunu nasıl etkilediğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde hem (5,19)(5, 19) aralığını hem de (7,12)(7, 12) aralığını çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru