Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYaş Problemleri

Bir iş yerinde çalışan Fikret, Gülay ve Hamdi'nin yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Yaşça en büyük olan Fikret, en küçük olan ise Hamdi'dir.
* Fikret, Gülay'ın bugünkü yaşındayken; Gülay'ın yaşı Hamdi'nin o günkü yaşının 22 katıydı.
* Gülay, Fikret'in bugünkü yaşına geldiğinde; üçünün yaşları toplamı 138138 olacaktır.
* Hamdi ile Gülay'ın bugünkü yaşları aralarında asaldır.

Buna göre, Fikret'in bugünkü yaşı kaçtır?

  1. A
    36
  2. 40Cevap
  3. C
    44
  4. D
    48
  5. E
    52

Cevap

Fikret'in bugünkü yaşı 40'tır.
Verilen iki zaman koşulu matematiksel olarak modellendiğinde F=2HF=2H ve 2G=9H−1382G = 9H - 138 bağıntıları elde edilir. Yaşların büyüklük sıralaması (F>G>HF > G > H) ve HH ile GG'nin aralarında asal olma şartı analiz edildiğinde, bu koşulları sağlayan tek tam sayı değerleri H=20H=20 ve G=21G=21 olarak bulunur. Bu durumda Fikret'in yaşı F=2×20=40F = 2 \times 20 = 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve birinci koşulu (geçmiş zaman ilişkisi) denkleme dök.
Bugünkü yaşlar: FF, GG, HH olsun (F>G>HF > G > H). Fikret, Gülay'ın yaşındayken (yani F−GF - G yıl önce), Gülay'ın yaşı G−(F−G)=2G−FG - (F - G) = 2G - F, Hamdi'nin yaşı H−(F−G)=H−F+GH - (F - G) = H - F + G idi. Koşul: 2G−F=2(H−F+G)2G - F = 2(H - F + G). Buradan F=2HF = 2H bulunur.
Geçmişteki yaş farklarını bugünkü yaşlara bağlayarak temel denklemi kurmak.
2
İkinci koşulu (gelecek zaman ilişkisi) kullanarak ikinci denklemi oluştur.
Gülay, Fikret'in yaşına geldiğinde (yani F−GF - G yıl sonra), yaşlar toplamı 138138 olacaktır. 3F+3(F−G)=1383F + 3(F - G) = 138 yerine her bireyi ayrı toplayalım: (2F−G)+F+(H+F−G)=138⇒4F−2G+H=138(2F - G) + F + (H + F - G) = 138 \Rightarrow 4F - 2G + H = 138.
Gelecekteki yaş toplamı üzerinden değişkenler arası ikinci bir bağıntı elde etmek.
3
İki denklemi birleştir ve GG ile HH arasında bir bağıntı kur.
F=2HF = 2H ifadesini 4F−2G+H=1384F - 2G + H = 138 denkleminde yerine yazalım: 4(2H)−2G+H=138⇒9H−2G=138⇒2G=9H−1384(2H) - 2G + H = 138 \Rightarrow 9H - 2G = 138 \Rightarrow 2G = 9H - 138.
Bilinmeyen sayısını azaltarak çözümü tam sayı kısıtlamalarıyla analiz edilebilir hale getirmek.
4
Yaş sıralaması (F>G>HF > G > H) ve tam sayı şartlarını kullanarak olası HH değerlerini belirle.
2G=9H−1382G = 9H - 138 eşitliğinde G>0G > 0 olması için H>15.3H > 15.3. Ayrıca F>G>HF > G > H sıralaması için:
1) G>H⇒4.5H−69>H⇒3.5H>69⇒H>19.7G > H \Rightarrow 4.5H - 69 > H \Rightarrow 3.5H > 69 \Rightarrow H > 19.7.
2) F>G⇒2H>4.5H−69⇒69>2.5H⇒H<27.6F > G \Rightarrow 2H > 4.5H - 69 \Rightarrow 69 > 2.5H \Rightarrow H < 27.6.
HH bir çift sayı olmalıdır (çünkü 9H=2G+1389H = 2G + 138, sağ taraf çifttir). Olası HH değerleri: 20,22,24,2620, 22, 24, 26.
Eşitsizlikler ve parite (tek/çift) analiziyle aday çözüm kümesini daraltmak.
5
Aralarında asallık koşulunu test ederek doğru HH değerini bul.
- H=20⇒G=21H=20 \Rightarrow G=21 (2020 ve 2121 aralarında asal ✓\checkmark)
- H=22⇒G=30H=22 \Rightarrow G=30 (İkisi de çift, aralarında asal değil ×\times)
- H=24⇒G=39H=24 \Rightarrow G=39 (İkisi de 33'e bölünür, aralarında asal değil ×\times)
- H=26⇒G=48H=26 \Rightarrow G=48 (İkisi de çift, aralarında asal değil ×\times)
Doğru değerler: H=20,G=21H=20, G=21. Buradan F=2H=40F = 2H = 40.
Sorudaki son kısıtlayıcı koşulu kullanarak tekil çözüme ulaşmak.

Anahtar Kavram

Denklem Kurma ve Sayı Özellikleri

İpuçları

1
Soruda verilen zaman ifadelerini bugünkü yaşları F,G,HF, G, H cinsinden yazarak iki temel denklem oluşturun. Geçen zamanın (tt) herkes için aynı olduğunu unutmayın.
2
Birinci ifadeden F=2HF = 2H eşitliğini bulmaya çalışın. İkinci ifadeden ise üç bilinmeyenli bir denklem elde edeceksiniz. FF yerine 2H2H yazarak değişken sayısını azaltın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, yaşları oranı verilen kişilerin belli bir yıl sonraki yaş farklarının sorulduğu soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: Şıklardaki Fikret yaşlarını deneyerek (örneğin F=40 için H=20), elde edilen G değerinin şartları (toplam 138 ve aralarında asallık) sağlayıp sağlamadığını kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yaş Problemleri

Bu konudan daha fazla soru