x, y ve z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, x \cdot y + z = 80 x + y \cdot z = 40 \neşitlikleri verilmektedir. Buna göre, x + y + z toplamı kaçtır?

x, y ve z birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, x \cdot y + z = 80 x + y \cdot z = … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x, y

z

birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

x \cdot y + z = 80

x + y \cdot z = 40

eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

A
17
B
19
21Cevap
D
23
E
29

Cevap

Doğru cevap, sayıların toplamının 21 olduğudur.

Verilen

xy+z=80

x+yz=40

denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında

(y-1)(x-z)=40

eşitliği elde edilir.

y

asal sayısı için bu eşitliği ve

x, z

asal sayı olma şartlarını sağlayan tek üçlü

(7, 11, 3)

setidir. Bu sayıların toplamı 21'dir.

Adım Adım Çözüm

Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkarın.

(xy + z) - (x + yz) = 80 - 40 \implies xy - yz + z - x = 40

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yok etme veya ilişkilendirme yöntemi kullanılır.

Elde edilen ifadeyi çarpanlarına ayırın.

y(x - z) - (x - z) = 40 \implies (y - 1)(x - z) = 40

Çarpanlara ayırma, değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini kısıtlamayı sağlar.

y

bir asal sayı olduğu için

y-1

çarpanının 40'ın böleni olma durumlarını inceleyin.

y-1

şunlar olabilir: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Buna göre

y

: 2, 3, 5, 6, 9, 11, 21, 41 olabilir. Asal olanlar:

y \in \{2, 3, 5, 11, 41\}

Asal sayı şartı, olası çözüm kümesini daraltır.

Her bir

y

değeri için sistemi test edin.

y=11

durumunu deneyin.

y-1 = 10 \implies x-z = 4

. İkinci denklemde yerine koyalım:

x + 11z = 40

x = z+4

yazılırsa:

(z+4) + 11z = 40 \implies 12z = 36 \implies z=3

. O halde

x = 3+4=7

Bulunan

x=7

z=3

değerlerinin asal sayı olup olmadığını ve ilk denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir.

Bulunan değerleri doğrulayın.

x=7, y=11, z=3

asal sayılardır ve birbirinden farklıdır.

xy+z = 7\cdot11 + 3 = 80

(Doğru).

x+yz = 7 + 11\cdot3 = 40

(Doğru). Toplam:

7+11+3 = 21

Çözümün tüm şartları sağladığından emin olunur.

Anahtar Kavram

Asal Sayıların Özellikleri ve Çarpanlara Ayırma

İpuçları

İki denklemi taraf tarafa çıkararak

y

parantezine alabileceğiniz bir ifade elde etmeye çalışın.

Çıkarma işlemi sonucunda

(y-1)(x-z) = 40

eşitliğini bulacaksınız.

y

bir asal sayı olduğu için

y-1

çarpanının 40'ı bölen değerlerini inceleyin.

y-1

ifadesi 10 olduğunda

y=11

asal sayısını verir. Bu durumda

x-z=4

olur. İkinci denklemde

y=11

yazarak

x

z

değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı içeren asal sayı sorularını (

p^2 - q^2 = r

) inceleyerek asal sayıların cebirsel özelliklerini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

İkinci denklemden

x = 40 - 11z

olduğu görülür (tahmin edilen

y=11

için).

x > 0

olması gerektiğinden

z

sadece 2 veya 3 olabilir.

z=2 \implies x=18

(asal değil),

z=3 \implies x=7

(asal).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru