Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPermütasyon (Sıralama)

Bir kalkınma ajansının teknik heyeti; tarım, sanayi, enerji, çevre, eğitim ve sağlık olmak üzere 66 farklı sektöre ait projeyi aynı gün içerisinde sırasıyla inceleyecektir. Çevre projesinin, enerji projesinden daha önce incelenmesi planlandığına göre, bu 66 projenin inceleme sırası kaç farklı şekilde belirlenebilir?

  1. A
    120120
  2. B
    180180
  3. C
    240240
  4. 360360Cevap
  5. E
    720720

Cevap

İnceleme sırası 360360 farklı şekilde belirlenebilir.
Toplam 66 projenin dizilimi 6!=7206! = 720 farklı şekilde yapılabilir. Herhangi bir dizilimde Çevre (C\cÇ) ve Enerji (EE) projeleri için iki ihtimal vardır: Ya C\cÇ projesi EE'den öncedir ya da EE projesi C\cÇ'den öncedir. Bu iki durumun gerçekleşme sayıları birbirine eşit olduğundan, toplam durumun yarısında istenen şart sağlanır. Bu da 720/2=360720 / 2 = 360 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam proje sayısını ve kısıtsız sıralama durumunu belirleme
6!=7206! = 720
66 farklı projenin herhangi bir kısıtlama olmaksızın kendi aralarındaki tüm dizilimlerinin sayısı 66 faktöriyel ile hesaplanır.
2
Belirli iki proje arasındaki sıralama durumunu analiz etme
22 durum (Önce veya Sonra)
Herhangi bir sıralamada çevre projesi ya enerji projesinden öncedir ya da sonradır. Bu iki durum birbirine simetriktir.
3
Kısıtlı sıralama sayısını hesaplama
7202=360\frac{720}{2} = 360
Tüm durumların tam yarısında çevre projesi enerji projesinden önce yer alacağı için toplam durumu ikiye böleriz.

Anahtar Kavram

Sıralama kısıtı içeren permütasyon problemleri

İpuçları

1
Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi 66 projenin toplam kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplayın.
2
Herhangi bir sıralamada çevre projesinin enerji projesinden önce olma ihtimali ile sonra olma ihtimali eşittir.
3
Toplam sıralama sayısını, iki projenin kendi arasındaki yer değiştirme sayısı olan 2!2! değerine bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer Çevre, Enerji ve Eğitim projelerinin kendi aralarındaki sırası Çevre > Enerji > Eğitim şeklinde sabit olsaydı sonuç ne olurdu? (İpucu: 6!/3!6! / 3!)

Alternatif Yöntem

Genel bir kural olarak, nn tane nesne sıralanırken rr tanesinin kendi aralarındaki sırası belirli ise (örneğin A, B'den önce gelmeli gibi), tüm durumlar bu rr nesnenin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısına (r!r!) bölünür. Burada r=2r=2 (Çevre ve Enerji) olduğu için 6!/2!=720/2=3606! / 2! = 720 / 2 = 360 bulunur.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon (Sıralama)

Bu konudan daha fazla soru