Examkin

Permütasyon (Sıralama)

37 soru

Soru 1Soru →

Bir bakanlığın yıllık denetim planında; A, B, C ve D kodlu 4 farklı idari birim ile 1, 2 ve 3 numaralı 3 farklı teknik birim yer almaktadır. Toplam 7 birimden oluşan bu listenin denetim sıralamasıyla ilgili aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

* Teknik birimlerin denetimi, numaraları artan sırada (1'den sonra 2, 2'den sonra 3 gelecek şekilde) yapılacaktır; ancak bu birimlerin art arda gelmesi zorunlu değildir.
* Denetim süreci, mutlaka bir idari birimle başlayacaktır.

Buna göre, bu 7 birim için kaç farklı denetim sıralaması oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480

Cevap

480 farklı sıralama
Toplam 7 birim vardır. İlk sıraya 4 farklı idari birimden biri gelmelidir (4 seçenek). Geriye kalan 6 pozisyona, kalan 3 idari ve 3 teknik birim yerleştirilecektir. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sıralaması sabit (1-2-3) olduğundan, bu birimler sanki özdeşmiş gibi düşünülerek tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 6!/3! = 120. Sonuç olarak çarpma kuralı gereği 4 x 120 = 480 farklı sıralama elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam birim sayısını ve türlerini belirle.
4 İdari (A, B, C, D) + 3 Teknik (1, 2, 3) = 7 Birim.
Sıralanacak eleman kümesini tanımlamak için.
2
İlk sıraya gelebilecek aday sayısını belirle.
4 farklı seçenek.
Soruda 'Denetim süreci bir idari birimle başlayacaktır' şartı verildiği için ilk sıraya A, B, C veya D gelebilir.
3
Geriye kalan 6 boşluğa, kalan 6 birimin (3 İdari, 3 Teknik) yerleşimi için sıralama sayısını hesapla. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sırası sabit (1-2-3) olduğu için tekrarlı permütasyon mantığını kullan.
6! / 3! = 720 / 6 = 120 farklı sıralama.
Geriye kalan 6 birimden 3 tanesi teknik birimdir. Bu 3 teknik birimin kendi aralarında yer değiştirmesi (3!) yasaktır çünkü sıraları sabittir (1<2<3). Bu yüzden tüm dizilim sayısı 3!'e bölünür.
4
İlk adımdaki seçenek sayısı ile ikinci adımdaki sıralama sayısını çarp.
4 x 120 = 480.
Çarpma kuralı gereği, birbirine bağlı olayların seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Özel Sıralı Permütasyon (Tekrarlı Permütasyon Benzerliği)

İpuçları

1
Önce denetim sürecinin ilk sırasına gelebilecek birimleri yerleştirin.
2
Geriye kalan 6 birimden 3'ü teknik birimdir. Teknik birimlerin kendi aralarındaki sıralaması sabitse (1-2-3), bu durumu nasıl hesaplarsınız? (İpucu: Tekrarlı permütasyon gibi düşünün).
3
İlk sıra için 4 seçenek var. Kalan 6 yer için hesaplama: 6! / 3! (Teknik birimlerin yer değişimi engellendiği için). Bu iki sonucu çarpın.

Daha Fazla Pratik

Teknik birimlerin yan yana gelmeme şartı da eklenseydi çözüm nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hesaplayıp oranlama yöntemi: Tüm 7 birim, teknik birim kısıtıyla 7!/3! = 840 farklı şekilde sıralanabilir. Elimizde 4 idari, 3 teknik birim olduğu için, simetri gereği bu sıralamaların 4/7'si bir idari birimle başlar. 840 * (4/7) = 480.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir uluslararası zirve kapsamında düzenlenen basın toplantısında; 44 farklı ülkenin devlet başkanı ve 22 farklı uluslararası kuruluşun temsilcisi, protokol fotoğrafı çekimi için yan yana bir sıra halinde dizilecektir.

**Uluslararası kuruluş temsilcilerinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu 66 kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?**

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480480

Cevap

Uluslararası kuruluş temsilcilerinin yan yana gelmediği toplam sıralama sayısı 480480 olarak bulunur.
Toplam 66 kişinin sıralanışı 6!=7206! = 720 farklı şekilde yapılabilir. İstenmeyen durum olan iki temsilcinin yan yana bulunması durumu, bu iki kişinin tek bir blok gibi düşünülmesiyle (4+1)!×2!=240(4+1)! \times 2! = 240 olarak hesaplanır. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında (720−240720 - 240), temsilcilerin ayrık olduğu 480480 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası sıralama durumlarını hesapla.
6!=7206! = 720
66 farklı kişinin herhangi bir kısıtlama olmaksızın yan yana diziliş sayısı faktöriyel ile hesaplanır.
2
Temsilcilerin yan yana geldiği durum sayısını hesapla.
(4+1)!×2!=120×2=240(4+1)! \times 2! = 120 \times 2 = 240
22 temsilci tek bir birim olarak kabul edilir (44 başkan + 11 birim = 55 nesne). Birimin içindeki 22 temsilci de kendi aralarında yer değiştirebilir.
3
Yan yana gelmeme durumunu bulmak için çıkarma işlemini yap.
720−240=480720 - 240 = 480
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar (yan yana olma).

Anahtar Kavram

Permütasyonda belirli nesnelerin yan yana gelmeme durumları 'Tüm Durumlar - Yan Yana Olma Durumları' mantığıyla veya 'Boşluk Yöntemi' ile hesaplanır.

İpuçları

1
Önce hiçbir kısıtlama olmasaydı kaç farklı dizilim olurdu, onu bulmayı dene.
2
İki temsilcinin yan yana olduğu durumları bulmak için onları tek bir paket gibi düşünebilirsin.
3
Yan yana gelmeme durumunu bulmak için; toplam sıralama sayısından, yan yana oldukları durum sayısını çıkar.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla; 3 farklı matematik ve 4 farklı fizik kitabının, matematik kitapları yan yana gelmemek üzere kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayabilirsin.

Alternatif Yöntem

Boşluk yöntemi: Önce 4 başkan yerleştirilir (4!=244! = 24). Oluşan 5 boşluktan 2 tanesi temsilciler için seçilir ve temsilciler yerleştirilir (P(5,2)=20P(5, 2) = 20). Toplam: 24×20=48024 \times 20 = 480.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunda arşivlenen dosyalar için {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları kullanılarak 4 basamaklı dosya numaraları oluşturulacaktır.

Oluşturulacak dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Bu koşullara uygun 96 farklı dosya numarası oluşturulabilir.
İstenen sayıların 3000'den büyük ve çift olması gerektiğinden, binler basamağına {3, 4, 5} rakamları gelebilir. Ancak 4 rakamı hem binler basamağını hem de birler basamağındaki çift olma durumunu etkilediği için inceleme ikiye ayrılmalıdır:

1. Binler basamağı tek ise (3 veya 5):
- Binler basamağı: 2 seçenek ({3, 5})
- Birler basamağı: 3 seçenek ({0, 2, 4}) (Binler basamağında kullanılan tek sayı burayı etkilemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (P(4,2)=12P(4,2) = 12)
- İşlem: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı çift ise (sadece 4):
- Binler basamağı: 1 seçenek ({4})
- Birler basamağı: 2 seçenek ({0, 2}) (4 kullanıldığı için 4 gelemez)
- Aradaki basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir ve sıralanır (P(4,2)=12P(4,2) = 12)
- İşlem: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24

Toplam: 72+24=9672 + 24 = 96 farklı dosya numarası oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi analiz et
Kullanılacak küme: {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, >3000, çift sayı.
Kısıtlamalar (büyüklük ve teklik/çiftlik) binler ve birler basamağını etkilediği için bu basamaklar birbirine bağımlıdır ve durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
2
Binler basamağının tek sayı olduğu durumları incele (3 ve 5)
Binler basamağına {3, 5} gelebilir (2 durum). Birler basamağına çift {0, 2, 4} gelebilir (3 durum). Kalan 2 basamak için 4 rakamdan 2'si seçilir (4x3=12). Toplam: 2 x 3 x 12 = 72 sayı.
Binler basamağına tek sayı geldiğinde (örneğin 3), birler basamağındaki çift sayı adaylarının hiçbiri kullanılmış olmaz.
3
Binler basamağının çift sayı olduğu durumları incele (4)
Binler basamağına sadece {4} gelebilir (1 durum). Birler basamağına kalan çiftler {0, 2} gelebilir (2 durum). Kalan 2 basamak için yine 4x3=12. Toplam: 1 x 2 x 12 = 24 sayı.
Binler basamağına 4 geldiğinde, birler basamağı için 4 kullanılamaz, seçenek sayısı azalır.
4
Tüm durumları topla
72 + 24 = 96.
Ayrık durumlar (binler basamağı tek veya çift) toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Permütasyon ve Durum Analizi

İpuçları

1
Bir sayı hem 3000'den büyük hem de çift olacaksa, binler basamağı ve birler basamağı için hangi rakamlar kullanılabilir? Kümeleri yazınız.
2
Binler basamağına gelebilecek {3, 4, 5} kümesindeki '4' rakamı çifttir. Bu rakam binler basamağına gelirse, birler basamağına gelebilecek çift sayıların sayısı değişir.
3
Problemi iki duruma ayırın: 1) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durumlar. 2) Binler basamağının 4 olduğu durumlar. Sonuçları toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemleri için A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak dosya numaraları oluşturulacaktır. Dosya numaralarının rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı ve çift sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı dosya numarası oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

İki durumun toplamı olarak 156 farklı dosya numarası oluşturulabilir.
Doğru cevap, 0'ın yarattığı kısıtlamayı yönetmek için problemin iki parçaya bölünmesiyle bulunur. Birinci durumda son basamak 0 olarak sabitlenir (5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60). İkinci durumda son basamak 2 veya 4 olarak seçilir, bu durumda başa 0 gelemez kısıtı devreye girer (4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96). Bu iki ayrık durumun toplamı 156'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi analiz et
Küme: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. Koşullar: 4 basamaklı, rakamları farklı, çift sayı. Çift olması için son basamak {0,2,4}\{0, 2, 4\} olmalıdır. 0 hem çift sayı şartını sağlar hem de başa gelemez; bu nedenle 0'ın sonda olduğu ve olmadığı durumlar ayrı incelenmelidir.
Permütasyon sorularında, kısıtlama içeren eleman (burada 0) birden fazla basamağı etkiliyorsa (hem birler hem binler), durumlar ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla
Birler basamağı: 0 (1 seçenek). Binler basamağı: Kalan 5 rakamdan hepsi olabilir (5 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 5×4×3×1=605 \times 4 \times 3 \times 1 = 60.
Son basamak 0 olduğunda, 0 zaten kullanıldığı için binler basamağına 0 gelme riski ortadan kalkar.
3
2. Durum: Son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) sayıları hesapla
Birler basamağı: {2,4}\{2, 4\} (2 seçenek). Binler basamağı: 0 gelemez ve sondaki rakam kullanılamaz, kalan 4 rakam (4 seçenek). Yüzler: Kalan 4 rakam (0 dahil, 4 seçenek). Onlar: Kalan 3 rakam (3 seçenek). İşlem: 4×4×3×2=964 \times 4 \times 3 \times 2 = 96.
Son basamak 0 değilse, binler basamağı için 0 hariç tutulmalıdır.
4
Toplam durumu bul
60+96=15660 + 96 = 156.
Ayrık iki durumun sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve Kısıtlı Sıralama (0'ın Durumu)

İpuçları

1
0 rakamı hem çift sayı olma şartını etkiler hem de binler basamağına (en başa) gelemez.
2
Son basamağın 0 olduğu durum ile son basamağın 0 olmadığı (2 veya 4 olduğu) durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.
3
Sonu 0 olanlar: 5×4×3×15 \times 4 \times 3 \times 1. Sonu {2,4} olanlar: 4×4×3×24 \times 4 \times 3 \times 2 (Başa 0 gelemez).

Daha Fazla Pratik

Benzer küme ile rakamları farklı, 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılabileceğini hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Tüm 4 basamaklı rakamları farklı sayıları bulun (5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300). Tek sayıları (sonu 1, 3, 5 olanlar) hesaplayıp çıkarın. Tek sayılar için 0 sorunu yoktur: Son (3) ×\times Baş (4) ×\times Orta (4) ×\times Orta (3) = 3×4×4×3=1443 \times 4 \times 4 \times 3 = 144. Sonuç: 300−144=156300 - 144 = 156.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Bir bakanlığın yıllık hizmet içi eğitim planlamasında, birbirinden farklı 4 adet 'Kişisel Gelişim' semineri ve birbirinden farklı 3 adet 'Mevzuat' semineri bulunmaktadır. Bu seminerlerin tamamı, aynı gün içerisinde ve arka arkaya olacak şekilde bir program akışına yerleştirilecektir.

'Mevzuat' seminerlerinin tamamının programda art arda (blok halinde) yer alması koşuluyla, bu 7 seminer kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

720 farklı şekilde sıralanabilir.
İstenen koşulda 3 'Mevzuat' semineri bir arada olmalıdır. Bu 3 semineri tek bir nesne (paket) gibi düşünürsek; elimizde 4 'Kişisel Gelişim' semineri ve 1 'Mevzuat Paketi' olmak üzere toplam 5 nesne oluşur. Bu 5 nesne kendi arasında 5!5! şekilde sıralanır. Ayrıca, Mevzuat paketi içindeki 3 farklı seminer de kendi içinde 3!3! şekilde yer değiştirebilir. Saymanın çarpma kuralına göre toplam durum sayısı 5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gruplama Yöntemini Belirle
3 adet Mevzuat semineri (M1, M2, M3) ayrılmayacakları için tek bir paket/blok [M] olarak düşünülür.
Soruda 'art arda' veya 'yan yana' olma koşulu verildiğinde, bu nesneler birbirine bağlanmış tek bir nesne gibi kabul edilir.
2
Toplam Nesne Sayısını Bul
4 Kişisel Gelişim semineri + 1 Mevzuat Paketi = Toplam 5 nesne.
Sıralamaya girecek birimler: K1, K2, K3, K4 ve [M] blokudur.
3
Ana Sıralamayı Hesapla
5 nesnenin kendi aralarındaki sıralaması: P(5,5) = 5! = 120.
n adet farklı nesne n! farklı şekilde sıralanır.
4
Grup İçi Sıralamayı Hesapla
Mevzuat seminerleri birbirinden farklı olduğu için, paket [M] içindeki 3 seminer kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Bağlanan grubun kendi içindeki yer değişimleri de toplam durumu değiştirir.
5
Sonucu Bul
Toplam durum sayısı = 120 × 6 = 720.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği, bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bağlama Yöntemi (Bloklama)
Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunun düzenlediği güvenlik protokolü gereği, 44 farklı ekip otosu ve 33 farklı makam aracı bir konvoy halinde sıralanacaktır. Konvoy düzeni ile ilgili aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

1. Konvoyun en başında ve en sonunda mutlaka birer ekip otosu bulunacaktır.
2. Güvenlik gerekçesiyle makam araçları ardışık olarak (peş peşe) gelmeyecektir.

Buna göre, bu 77 araç kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Araçlar verilen kurallara göre 144 farklı şekilde sıralanabilir.
Sorudaki kısıtlamaları sağlayan tek yerleşim planı E−M−E−M−E−M−EE - M - E - M - E - M - E şeklindedir. Bu yapıda 4 ekip otosu kendi içinde 4!=244! = 24 farklı şekilde, 3 makam aracı ise kendi içinde 3!=63! = 6 farklı şekilde yer değiştirebilir. Toplam sıralama sayısı 24×6=14424 \times 6 = 144 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sıralama kuralını belirle
E-M-E-M-E-M-E
4 Ekip Otosu (E) ve 3 Makam Aracı (M) vardır. Başta ve sonda E olması zorunludur. M'ler yan yana gelemez. Bu iki kuralı aynı anda sağlayan tek dizilim yapısı E ile başlayıp E ile biten ve aralara tek tek M yerleştirilen yapıdır.
2
Ekip otolarının kendi aralarındaki sıralanışını hesapla
4! = 24
4 farklı ekip otosu, belirlenen 4 'E' pozisyonuna kendi aralarında P(4,4) şeklinde sıralanır.
3
Makam araçlarının kendi aralarındaki sıralanışını hesapla
3! = 6
3 farklı makam aracı, ekip otolarının arasında kalan 3 'M' pozisyonuna kendi aralarında P(3,3) şeklinde sıralanır.
4
Toplam durumu hesapla
24 x 6 = 144
Çarpma kuralı gereği, bağımsız olayların seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon ve Ayırma Yöntemi

İpuçları

1
Önce şartları sağlayan yerleşim şablonunu (taslağını) çiziniz. Hangi araçlar uçlarda olmalı?
2
Şablon mecburen E - M - E ... şeklinde gitmelidir. Boşluklara araçları yerleştirin.
3
Yapı: E M E M E M E şeklindedir. E'leri kendi aralarında, M'leri kendi aralarında sıralayıp çarpınız.

Alternatif Yöntem

Kutu Yöntemi: 7 kutu çizilir. 1. ve 7. kutuya E şarttır. 4 E'den biri 1. kutuya, kalan 3 E'den biri 7. kutuya... şeklinde adım adım olasılıklar çarpılarak da gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir kaymakamlık makamında düzenlenen koordinasyon toplantısına 5 farklı kurum müdürü katılmıştır. Toplantı sonunda hazırlanacak resmi tutanağı imzalamak üzere bu müdürler arasından bir "birinci imza yetkilisi" ve bir "ikinci imza yetkilisi" belirlenecektir.

Buna göre, bu iki yetkili kaç farklı şekilde belirlenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Birinci imza yetkilisi için 5, ikinci yetkili için 4 aday bulunması ve seçim sırasının önemli olması nedeniyle 5×4=205 \times 4 = 20 farklı belirleme yapılabilir.
Sıralamanın önemli olduğu bu soruda, birinci yetkili için 5 farklı kurum müdürü arasından seçim yapılır. Birinci yetkili belirlendikten sonra geriye kalan 4 müdürden biri ikinci yetkili olarak seçilir. Permütasyon mantığı gereği bu iki değerin çarpımı olan 20, toplam farklı durum sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci imza yetkilisi için mümkün olan aday sayısını belirleyin.
5 aday
Toplantıya katılan tüm kurum müdürleri birinci imza yetkilisi olabilir.
2
Birinci yetkili seçildikten sonra ikinci imza yetkilisi için kalan aday sayısını belirleyin.
4 aday
Birinci yetkili olarak seçilen kişi aynı zamanda ikinci yetkili olamaz.
3
Çarpma yoluyla sayma kuralını uygulayarak toplam durumu hesaplayın.
5×4=205 \times 4 = 20
Birbirine bağlı bu iki seçimde sıralama (birinci ve ikinci olma durumu) önemli olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama), nesnelerin belirli bir düzen veya sıra gözetilerek dizilmesidir.

İpuçları

1
Bu soruda imza yetkililerinin 'birinci' ve 'ikinci' olarak belirlenmesi, seçim sırasının önemli olduğunu gösterir.
2
Birinci imza yetkilisi için 5 farklı kişi seçilebilir. O kişi seçildikten sonra geriye kaç kişi kaldığını bulun.
3
Birinci yetkili için 5, ikinci yetkili için kalan 4 seçeneği çarparak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer imza yetkilileri arasında kıdem veya sıra farkı olmasaydı (sadece 2 kişi seçilseydi), sonuç nasıl değişirdi? (Kombinasyon konusuna hazırlık).

Alternatif Yöntem

Permütasyon formülü P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} kullanılarak P(5,2)=5!(5−2)!=1206=20P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20 hesaplanabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →

Bir eğitim ve araştırma hastanesinin günlük ameliyat listesinde; 1 organ nakli, 2 farklı kalp bypass ve 3 farklı menisküs ameliyatı olmak üzere toplam 6 ameliyat planlanacaktır. Tıbbi gereklilikler ve personel yönetimi nedeniyle aşağıdaki kurallar uygulanacaktır:

* Organ nakli ameliyatı, sterilizasyon önceliği sebebiyle günün ilk sırasında yapılmalıdır.
* Cerrahların yorgunluk yönetimi açısından, iki kalp bypass ameliyatı arka arkaya (peş peşe) yapılmamalıdır.

Buna göre, bu ameliyatlar gün içinde kaç farklı sıralama ile gerçekleştirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Verilen kısıtlamalara göre ameliyatlar 72 farklı şekilde sıralanabilir.
Organ nakli ilk sırada sabitlendiği için geriye kalan 5 ameliyatın (2 Bypass, 3 Menisküs) sıralamasına bakılır. İki farklı yöntemle çözülebilir:

1. Yöntem (Tüm Durum - İstenmeyen Durum):
* Kalan 5 ameliyatın tüm sıralanışı: 5!=1205! = 120.
* İstenmeyen durum (Bypassların yan yana olması): Bypassları bir bütün kabul edersek 4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 48.
* Sonuç: 120−48=72120 - 48 = 72.

2. Yöntem (Ayıraç/Boşluk Yöntemi):
* Önce kısıtlaması olmayan 3 menisküs ameliyatı sıralanır: 3!=63! = 6.
* Bu ameliyatların arasına ve sonuna (Organ naklinden sonraki boşluklar) Bypasslar yerleştirilir. Menisküsler: _M1_M2_M3_\_ M_1 \_ M_2 \_ M_3 \_. Oluşan 4 boşluğa 2 Bypass ameliyatı P(4,2)=4×3=12P(4,2) = 4 \times 3 = 12 şekilde yerleşir.
* Sonuç: 6×12=726 \times 12 = 72.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit elemanı yerleştir
Organ nakli (O) 1. sırada sabitlenir. Geriye kalan 5 sıraya (2., 3., 4., 5., 6.) yerleştirilecek ameliyatlar: 2 kalp bypass (K1, K2) ve 3 menisküs (M1, M2, M3).
İlk şartı sağlamak için.
2
Tüm durumları hesapla (Kısıtlamasız)
Geriye kalan 5 farklı ameliyatın kendi arasındaki sıralanışı: P(5, 5) = 5! = 120.
Genel durumu görmek için.
3
İstenmeyen durumu hesapla (Bypasslar yan yana)
K1 ve K2'yi tek bir paket (X) gibi düşünürsek; elimizde {X, M1, M2, M3} olmak üzere 4 nesne olur. Bunların sıralanışı 4! = 24'tür. Paketin içindeki K1 ve K2'nin yer değiştirmesi 2! = 2'dir. Toplam istenmeyen durum: 24 x 2 = 48.
'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemini kullanmak için.
4
Sonucu bul
Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 120 - 48 = 72.
İstenen şartı sağlayan sıralama sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kısıtlamalı Permütasyon (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1
Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi (sadece organ nakli sabit) toplam sıralama sayısını bulun.
2
Toplam durumdan, kalp bypass ameliyatlarının yan yana geldiği durumları çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.
3
Bypasslar yan yana geldiğinde onları 'tek bir ameliyat' gibi paketleyip hesaplayın, sonra bu paketin kendi içindeki sıralamasını (2!2!) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3 kız ve 4 erkek öğrenci, kızlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?' sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ayıraç Yöntemi: Önce 3 menisküs ameliyatını sıralayın (3!3!). Sonra bu ameliyatların oluşturduğu 4 boşluğa (sağ, sol ve aralar) 2 bypass ameliyatını sıralı şekilde yerleştirin (P(4,2)P(4,2)).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →

Bir Bakanlığın teftiş kurulunda görevli 2 başmüfettiş ve 5 müfettiş, yan yana dizilmiş 7 sandalyelik bir protokol sırasına oturacaklardır.

Protokol kuralları gereği sıranın her iki ucunda (başında ve sonunda) birer müfettiş oturması ve başmüfettişlerin yan yana gelmemesi istenmektedir.

Buna göre, bu oturma düzeni kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1440

Cevap

1440 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru hesaplama için problemi üç aşamada çözmeliyiz: Önce şart koşulan uç noktalar yerleştirilir (P(5,2)=20P(5,2)=20). Daha sonra kalan 3 müfettiş araya dizilir (3!=63!=6). Son olarak, başmüfettişlerin yan yana gelmemesi için, aradaki 3 müfettişin oluşturduğu 4 boşluğa 2 başmüfettiş yerleştirilir (P(4,2)=12P(4,2)=12). Çarpma kuralı gereği sonuç 20×6×12=144020 \times 6 \times 12 = 1440 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Uçlardaki müfettişlerin yerleşimini hesapla.
P(5,2)=5×4=20P(5, 2) = 5 \times 4 = 20
Toplam 5 müfettişten 2 tanesi seçilip başa ve sona sıralanır.
2
Kalan müfettişlerin (3 kişi) aradaki yerleşimini hesapla.
3!=63! = 6
Uçlar dolduktan sonra kalan 3 müfettiş, ortadaki boşluklara kendi aralarında yerleşir.
3
Başmüfettişlerin yan yana gelmemesi için uygun boşlukları belirle ve yerleştir.
P(4,2)=4×3=12P(4, 2) = 4 \times 3 = 12
Ortadaki 3 müfettişin oluşturduğu 4 boşluğa (müfettişlerin sağı, solu ve araları) 2 başmüfettiş yerleştirilir.
4
Tüm ihtimalleri çarp.
20×6×12=144020 \times 6 \times 12 = 1440
Olaylar birbirine bağlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve Ayraç Yöntemi
Soru 10Soru →

Bir kaymakamlık ziyareti sırasında vali beyi karşılamak üzere; kaymakam, belediye başkanı ve 44 farklı şube müdürü tek sıra hâlinde yan yana dizileceklerdir.

Kaymakam ile belediye başkanı arasında tam olarak bir şube müdürünün bulunduğu kaç farklı sıralama yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192192

Cevap

Kaymakam ve belediye başkanı arasında bir kişinin bulunduğu toplam 192192 farklı sıralama yapılabilir.
Doğru cevap olan 192192 değerine ulaşmak için önce Kaymakam ve Belediye Başkanı arasındaki boşluğa gelebilecek 44 farklı şube müdürü olduğu, ardından bu iki ana yetkilinin kendi arasında 22 farklı şekilde yer değiştirebileceği görülmelidir. Bu üçlü yapı bir blok (11 birim) olarak alındığında, geriye kalan 33 şube müdürü ile birlikte toplam 44 birimin sıralanması 4!=244! = 24 durum oluşturur. Sonuç olarak 4×2×24=1924 \times 2 \times 24 = 192 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kaymakam (KK), belediye başkanı (BB) ve aralarındaki bir şube müdüründen (SS) oluşan bir blok yapısı kurgulanmalıdır.
(K,S,B)(K, S, B) bloğu.
Aralarında tam olarak bir kişi bulunması şartını sağlamak için bu üçlü grup bir bütün olarak hareket etmelidir.
2
Oluşturulan bloğun içindeki değişkenleri hesaplayalım.
4×2=84 \times 2 = 8 durum.
Aradaki şube müdürü 44 farklı müdür arasından seçilebilir (44 durum) ve Kaymakam ile Belediye Başkanı kendi aralarında yer değiştirebilir (2!=22! = 2 durum).
3
Toplam sıralama sayısını bulmak için blok ve dışarıda kalanları birer birim olarak kabul edelim.
1 (blok)+3 (kalan mu¨du¨rler)=41 \text{ (blok)} + 3 \text{ (kalan müdürler)} = 4 birim.
Blok bir bütün sayılır, geriye kalan 33 müdür ise serbesttir.
4
Tüm birimlerin sıralanışını ve blok içi durumları çarparak sonucu bulalım.
4!×8=24×8=1924! \times 8 = 24 \times 8 = 192.
44 birim 4!4! şeklinde sıralanır, her bir sıralama için bloğun kendi içindeki 88 farklı durumu geçerlidir.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) ve Bloklama Yöntemi

İpuçları

1
Kaymakam, aradaki kişi ve belediye başkanını bir paket (blok) gibi düşünün.
2
Paket içindeki şube müdürünü seçmeyi ve kaymakam ile belediye başkanını yer değiştirmeyi unutmayın.
3
Toplam 6 kişi var. 3 kişilik bir blok yaparsanız, dışarıda 3 kişi kalır. Toplamda 4 nesneyi sıralayacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az bir kişi bulunması' veya 'hiç yan yana gelmemeleri' durumlarını inceleyerek tüm durumdan çıkarma yöntemini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kaymakam ve belediye başkanının aralarında bir boşluk olacak şekilde oturabileceği yerleri manuel sayabiliriz: (1,3), (2,4), (3,5) ve (4,6). Bu 4 durumun her birinde yetkililer kendi arasında 2 farklı şekilde dizilir. Aradaki boşluğa 4 farklı kişi gelebilir. Kalan 3 kişi ise kalan 3 yere 3! şeklinde dizilir. İşlem: 4×2×4×6=1924 \times 2 \times 4 \times 6 = 192.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 320320'den büyük ve çift olan üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Toplam 26 farklı sayı yazılabilir.
Doğru cevap 26'dır. Çözüm üç aşamada yapılmalıdır: Yüzler basamağı 5 olanlar (12 tane), yüzler basamağı 4 olanlar (8 tane) ve yüzler basamağı 3 olup 320'den büyük olanlar (6 tane). Özellikle 300'lü sayılarda 320'nin dahil edilmemesi (büyüktür şartı) ve 400'lü sayılarda 4 rakamının birler basamağında tekrar kullanılamaması (rakamları farklı şartı) kritik noktalardır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi yüzler basamağındaki rakamın durumuna göre üç ana parçaya ayırın: Yüzler basamağı 5 olanlar, 4 olanlar ve 3 olanlar.
Durum 1 (5xx), Durum 2 (4xx), Durum 3 (3xx)
Sıfırın ve çift sayı kuralının basamaklara etkisi değiştiği için durumlar ayrı incelenmelidir.
2
Yüzler basamağı 5 (tek) olan durumları hesaplayın.
Yüzler: {5} (1 seçenek) × Birler: {0,2,4} (3 seçenek) × Onlar: Kalan 4 rakam = 1 × 3 × 4 = 12 sayı.
Yüzler basamağı tek olduğu için birler basamağına tüm çift rakamlar gelebilir.
3
Yüzler basamağı 4 (çift) olan durumları hesaplayın.
Yüzler: {4} (1 seçenek) × Birler: {0,2} (2 seçenek, çünkü 4 kullanıldı) × Onlar: Kalan 4 rakam = 1 × 2 × 4 = 8 sayı.
Yüzler basamağında çift rakam kullanıldığı için birler basamağı seçeneği azalır.
4
Yüzler basamağı 3 olan ve 320'den büyük sayıları detaylı inceleyin.
32_: {324} (1 sayı, 320 dahil değil). 34_: {340, 342} (2 sayı). 35_: {350, 352, 354} (3 sayı). Toplam 1 + 2 + 3 = 6 sayı.
320'den büyük olma şartı onlar ve birler basamağını kısıtlar.
5
Tüm durumları toplayın.
12 + 8 + 6 = 26
Ayrık durumların toplamı sonuç verir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları ve Kısıtlamalı Permütasyon

İpuçları

1
Soruyu üç farklı durumda incelemelisiniz: Yüzler basamağı 5 olanlar, 4 olanlar ve 3 olanlar.
2
Yüzler basamağı çift (4) olduğunda, birler basamağına koyabileceğiniz çift sayı adedi azalır. Rakamların farklı olması kuralını unutmayın.
3
300'lü sayılar için: 320'den büyük olması istendiği için 320 sayısını dahil etmeyin. Sadece 324, 340, 342, 350, 352 ve 354 sayılarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Rakamları farklı 3 basamaklı kaç sayının 5 ile tam bölünebileceğini soran bir alıştırma çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm 320'den büyük sayıları bulup bunlardan tek olanları çıkarmak da bir yöntemdir ancak bu soruda çift olma şartı daha kısıtlayıcı olduğu için doğrudan saymak daha güvenlidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Bir il nüfus müdürlüğünde yeni düzenlenen bir hizmet alanında; doğum, ölüm, evlenme, kimlik kartı ve adres kayıt işlemleri için 5 farklı banko yan yana dizilecektir. Kimlik kartı ve adres kayıt bankolarının teknik altyapı gereği yan yana olması istenmemektedir. Buna göre, bu 5 banko kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Kimlik kartı ve adres kayıt bankolarının yan yana gelmediği 72 farklı sıralama mevcuttur.
Doğru yanıt olan 72 değeri, toplam 120 olan tüm dizilişlerden, yan yana oldukları 48 durumun çıkarılmasıyla matematiksel olarak tutarlı bir şekilde elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası diziliş sayısını hesapla
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın 5 farklı banko 5! kadar farklı şekilde sıralanabilir.
2
Kimlik kartı ve adres bankolarının yan yana olduğu durum sayısını hesapla
4! x 2! = 24 x 2 = 48
Yan yana gelmesi istenen iki banka tek bir blok kabul edilirse (ID+AD), toplam 4 birim olur. Bu 4 birim 4! şeklinde sıralanır; blok içindeki iki banka da kendi arasında 2! kadar yer değiştirir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar
120 - 48 = 72
Kısıtlamasız tüm sıralamalardan, yan yana oldukları durumlar çıkarıldığında, yan yana olmadıkları durumlar bulunur.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Tüm durumlardan istenmeyen durumun çıkarılması yöntemi.

İpuçları

1
Soruyu çözerken tüm durumlardan istenmeyen durumları (iki bankanın yan yana olduğu) çıkarmayı dene.
2
Yan yana gelmesi istenmeyen iki bankayı tek bir nesne gibi paketleyip önce toplam nesne sayısını, sonra paketin içindeki yer değişimini hesapla.
3
Tüm durumlar 5! (120), yan yana oldukları durumlar ise (ID, AD paketlendiğinde) 4! x 2! (48) olur. Farkını al.

Daha Fazla Pratik

Yan yana gelme ve gelmeme sorularında 'bloklama' ve 'ayraç' yöntemlerini tekrar etmen faydalı olacaktır.

Alternatif Yöntem

Ayraç yöntemi de kullanılabilir: Diğer 3 banka (Doğum, Ölüm, Evlenme) önce yerleştirilir (3! = 6 durum). Bu 3 bankanın yarattığı 4 boşluğa ( _ B _ B _ B _ ) Kimlik ve Adres bankaları sırayla yerleştirilir: P(4, 2) = 12 durum. Toplam: 6 x 12 = 72.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Bir kültür merkezinde gerçekleştirilecek sergi için, birbirinden farklı 3 yağlı boya tablo ve birbirinden farklı 4 kara kalem çalışması bir duvar boyunca yan yana sıralanacaktır.

Yağlı boya tabloların tamamının bir arada olması koşuluyla, bu eserler kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Eserler 720 farklı şekilde sergilenebilir.
Soruda 'bir arada olması' istenen 3 yağlı boya tablo birbirine bağlanarak tek bir eleman gibi düşünülür. Bu durumda elimizde 1 bağlı grup ve 4 kara kalem çalışması olmak üzere toplam 5 eleman varmış gibi hareket edilir. Bu 5 eleman kendi arasında 5!5! farklı şekilde sıralanır. Ayrıca, bağlı grup içindeki 3 farklı tablo da kendi arasında 3!3! farklı şekilde yer değiştirebilir. Sayma kuralları gereği bu iki durum çarpılır: 5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu sağlayan grubu tek bir nesne olarak kabul etme
3 yağlı boya tabloyu tek bir 'paket' (1 nesne) olarak düşünürüz.
Bir arada olması istenen elemanlar, sıralama problemlerinde ayrılmaz bir bütün olarak ele alınır.
2
Toplam sıralanacak nesne sayısını belirleme ve sıralama
1 paket (yağlı boyalar) + 4 kara kalem = 5 nesne. Bu 5 nesne kendi aralarında 5!5! şeklinde sıralanır.
Paket, diğer bağımsız elemanlarla birlikte yer değiştirebilir.
3
Grup içi sıralamayı hesaplama
Paket içindeki 3 farklı yağlı boya tablo kendi aralarında 3!3! şeklinde sıralanır.
Bağlanan elemanlar birbirinden farklı olduğu için kendi içlerindeki yer değişimleri de sonucu değiştirir.
4
Genel çarpma kuralını uygulama
5!×3!=120×6=7205! \times 3! = 120 \times 6 = 720
Ana sıralama ve grup içi sıralama birbirine bağlı olaylar olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bağlama (Bloklama) Yöntemi
Soru 14Soru →

Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 4 hemşire ile 3 doktor, yan yana sıralanarak bir hatıra fotoğrafı çektireceklerdir. Ayşe ile Fatma'nın yan yana olması ve herhangi iki doktorun yan yana gelmemesi şartıyla bu grup kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Verilen koşullara göre grup 288 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki koşul aynı anda istenmektedir: Ayşe ve Fatma'nın bir arada olması (Bağlama Yöntemi) ve doktorların ayrık olması (Boşluk Yöntemi). Önce Ayşe ve Fatma bir paket yapılır (X). Diğer 2 hemşire ile birlikte 3 nesne 3! şeklinde sıralanır. Ayşe ve Fatma kendi içinde 2! yer değiştirir (Toplam 12). Bu 3 nesne 4 boşluk yaratır (_ N _ N _ N _). 3 doktor bu 4 boşluğa P(4,3)=24 şekilde oturur. Sonuç 12 x 24 = 288'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ayşe ve Fatma'nın yan yana olma şartını sağlamak için 'Bağlama Yöntemi' kullan
Ayşe ve Fatma'yı tek bir eleman (X) gibi düşünürsek; elimizde X, H3, H4 olmak üzere sıralanacak 3 birim oluşur.
Yan yana olması istenen elemanlar paketlenerek tek bir nesne gibi işleme dahil edilir.
2
Hemşire grubunun (paket dahil) kendi içindeki sıralamasını hesapla
3 birim kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır. Ayrıca Ayşe ve Fatma kendi içinde 2! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Toplam Hemşire dizilimi: 6 x 2 = 12.
Paket içindeki elemanların yer değiştirmesi (iç permütasyon) unutulmamalıdır.
3
Doktorların yan yana gelmemesi için 'Ayıraç/Boşluk Yöntemi' uygula
Sıralanmış 3 birim hemşire grubu (X, H3, H4) arasında ve uçlarında doktorların yerleşebileceği boşlukları belirle: _ B1 _ B2 _ B3 _. Toplam 4 boşluk vardır.
İki doktorun yan yana gelmemesi için doktorlar, hemşirelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmelidir.
4
3 doktoru 4 boşluğa yerleştir (Permütasyon)
P(4,3) = 4 x 3 x 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilebilir.
4 uygun boşluğa 3 kişi sıralı olarak yerleştirilecektir.
5
Tüm durumları çarparak sonucu bul
12 (Hemşire dizilimi) x 24 (Doktor yerleşimi) = 288.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız aşamaların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, 'Bağlama Yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'Ayıraç Yöntemi'nin (yan yana olmama şartı) birlikte kullanıldığı ileri düzey bir permütasyon problemidir.

İpuçları

1
Önce 'yan yana olması gereken' kişileri tek bir kişi gibi düşünerek hemşireleri sıralayın.
2
Hemşireleri yerleştirdikten sonra oluşan boşlukları sayın. Doktorları bu boşluklara yerleştirmeniz gerekecek.
3
Ayşe ve Fatma'yı bağlayınca 3 birim hemşire grubu oluşur (3! x 2!). Bu 3 birim, doktorlar için 4 adet boşluk yaratır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'rakamların yan yana gelmemesi' kuralıyla, örneğin çift rakamlar yan yana gelmeyecek şekilde sayı oluşturma üzerinden çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Bir kamu kurumunun yönetim kurulu toplantısında; 11 genel müdür, 11 genel müdür yardımcısı ve 44 daire başkanı yan yana dizilmiş altı koltuğa oturacaktır. Genel müdür ve genel müdür yardımcısının sıranın en başında veya en sonunda oturmaması şartıyla, bu 66 kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Genel müdür ve yardımcısının uçlarda oturmadığı toplam 288288 farklı sıralama mevcuttur.
Doğru cevap olan 288288 seçeneği, genel müdür ve yardımcısının içteki 44 koltuğa P(4,2)P(4,2) kadar farklı şekilde yerleşmesi ve kalan 44 daire başkanının boş yerlere 4!4! şeklinde dizilmesinin çarpımıdır (12×24=28812 \times 24 = 288).

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlı olan kişilerin yerleşebileceği koltukları belirle.
Toplam 66 koltuktan uçlardaki 22 koltuk hariç, iç kısımda 44 koltuk kalır.
Genel müdür ve genel müdür yardımcısının en başta veya en sonda oturmaması istendiği için sadece içteki 44 koltuğa oturabilirler.
2
Genel müdür ve genel müdür yardımcısını bu iç koltuklara yerleştir.
P(4,2)=4×3=12P(4, 2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde oturabilirler.
44 koltuk arasından 22 tanesi seçilip bu kişiler kendi aralarında sıralanır.
3
Kalan kişileri boş koltuklara yerleştir.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 farklı şekilde oturabilirler.
Geriye kalan 44 daire başkanı, boş kalan 44 koltuğa kısıtlama olmaksızın dizilir.
4
Toplam sıralama sayısını hesapla.
12×24=28812 \times 24 = 288 bulunur.
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre farklı aşamalardaki durum sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı permütasyon problemlerinde önce kısıtlı olan elemanlar uygun yerlere yerleştirilir, ardından kalan elemanlar dizilir.

İpuçları

1
Önce kısıtlı olan kişilerin (genel müdür ve yardımcısı) oturabileceği koltuk sayısını belirleyin.
2
Altı koltuğun uçlarındaki koltukları kapattığınızda geriye kaç koltuk kalır? Bu iki kişiyi o koltuklara yerleştirin.
3
İçteki koltuklar için P(4,2)P(4, 2) hesaplamasını yaptıktan sonra, kalan 44 kişiyi boş yerlere 4!4! ile dağıtıp sonuçları çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'Belirli iki kişinin yan yana gelmesi' şartını ekleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan (6!=7206! = 720), en az birinin uçta olduğu durumları çıkarabilirsiniz. Birinin uçta olduğu durumlar 2×2×5!=4802 \times 2 \times 5! = 480 gibi görünse de kesişim durumlarını (4848) çıkarmak gerekir: 720−(240+240−48)=288720 - (240 + 240 - 48) = 288.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Bir İl Kültür ve Turizm Müdürlüğü tarafından düzenlenen karma resim sergisinde; 33 farklı yağlı boya, 22 farklı kara kalem ve 22 farklı sulu boya çalışması sergi duvarında yan yana sıralanacaktır.

Yağlı boya çalışmalarının tamamının bir arada olması ve sulu boya çalışmalarının hiçbirinin yan yana gelmemesi koşuluyla, bu eserler kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 432

Cevap

432 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda iki temel kısıtlama vardır: Bir grubun bir arada olması ve diğer bir grubun ayrık olması. 'Bir arada' olma koşulu için yağlı boyalar (Y) tek bir paket gibi düşünülür. Kalan kara kalemlerle (K) birlikte önce bu paket ve K'lar sıralanır (3!3!). Yağlı boyalar kendi içinde yer değiştirir (3!3!). Son olarak, yan yana gelmemesi gereken sulu boyalar (S), oluşturulan bu dizilimin aralarındaki boşluklara yerleştirilir. 3 nesne 4 boşluk yaratır, 2 sulu boya bu boşluklara P(4,2)P(4,2) şeklinde dağıtılır. Sonuç: 6×6×12=4326 \times 6 \times 12 = 432.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları analiz et.
Koşul 1: 3 Yağlı Boya (Y) bir arada olacak. Bunları tek bir nesne (X) gibi düşünelim. Koşul 2: 2 Sulu Boya (S) yan yana gelmeyecek. 2 Kara Kalem (K) ise serbest.
Bloklama ve ayraç yöntemlerini belirlemek için.
2
Bloklanan grubu ve kısıtlamasız diğer elemanları sırala.
Elimizdeki elemanlar: (Y1,Y2,Y3) bloğu ve K1, K2. Toplam 3 eleman varmış gibi sıralanır: 3! = 6 farklı durum.
Sulu boyaları yerleştireceğimiz 'iskelet' yapıyı oluşturmak için.
3
Yağlı boyaların kendi içindeki sıralanışını hesapla.
3 farklı yağlı boya kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Blok içindeki yer değişimleri de farklı birer sıralama oluşturur.
4
Sulu boyaları boşluklara yerleştir (Ayraç Yöntemi).
Mevcut 3 elemanın (Blok Y, K1, K2) oluşturduğu 4 boşluk vardır: _ X _ K _ K _. Bu 4 boşluktan 2 tanesine sulu boyalar P(4,2) şeklinde yerleşir: 4 × 3 = 12.
Sulu boyaların yan yana gelmemesi için aralarında en az bir başka eser olmalıdır.
5
Tüm sonuçları çarp.
3! (İskelet) × 3! (Yağlı boya iç) × P(4,2) (Sulu boya yerleşimi) = 6 × 6 × 12 = 432.
Saymanın çarpma kuralı gereği.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Bloklama ve Ayraç Yöntemi

İpuçları

1
Önce 'bir arada olması gerekenleri' tek bir nesne gibi paketleyin (Bağlama Yöntemi).
2
Paketlediğiniz grup ve kısıtlaması olmayan diğer eserleri (kara kalemleri) sıralayın. Oluşan boşlukları sayın.
3
Yan yana gelmemesi gereken sulu boyaları, diğer eserlerin aralarında oluşan boşluklara tek tek yerleştirin (Ayraç Yöntemi).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen 'yuvarlak masa etrafında oturma' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi: Önce sadece yağlı boyaların bir arada olduğu tüm durumları hesaplayın (5!×3!=7205! \times 3! = 720). Sonra bundan, sulu boyaların da yan yana geldiği (istenmeyen) durumu (4!×3!×2!=2884! \times 3! \times 2! = 288) çıkarın. 720−288=432720 - 288 = 432.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir uluslararası sempozyumda sunulmak üzere, içerikleri birbirinden farklı olan 33 tarih, 22 ekonomi ve 11 sanat konulu bildiri seçilmiştir. Oturum planlaması yapılırken, konu bütünlüğünün sağlanması amacıyla aynı alandaki bildirilerin art arda sunulması kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu 66 bildiri kaç farklı sıra ile sunulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Bildiriler, verilen koşullar altında 72 farklı şekilde sıralanabilir.
Soruda verilen 'aynı alandaki bildirilerin art arda olması' koşulu, bloklama (paketleme) yöntemini gerektirir. Önce Tarih, Ekonomi ve Sanat grupları kendi aralarında birer bütün olarak sıralanır (3!=63! = 6). Daha sonra, her grubun içindeki farklı bildirilerin kendi aralarındaki yer değişimleri hesaplanır (Tarih: 3!=63! = 6, Ekonomi: 2!=22! = 2, Sanat: 1!=11! = 1). Çarpma kuralı ile 6×6×2×1=726 \times 6 \times 2 \times 1 = 72 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Grupları belirle
Tarih bildirileri (T), Ekonomi bildirileri (E) ve Sanat bildirisi (S) olmak üzere 3 ana grup oluşur. Aynı branştaki bildiriler ayrılmayacağı için her branş bir 'blok' olarak düşünülür.
Koşulda aynı alandaki bildirilerin art arda (yan yana) olması istenmiştir.
2
Grupların kendi arasındaki sıralanışını hesapla
3 farklı grup (Tarih Bloğu, Ekonomi Bloğu, Sanat Bloğu) kendi arasında P(3,3) = 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Blokların birbirine göre konumu değişebilir.
3
Grup içi sıralamaları hesapla
3 farklı Tarih bildirisi kendi içinde 3! = 6; 2 farklı Ekonomi bildirisi kendi içinde 2! = 2; 1 Sanat bildirisi kendi içinde 1! = 1 farklı şekilde sıralanır.
Bildirilerin hepsi birbirinden farklıdır, bu yüzden grup içinde yer değiştirebilirler.
4
Tüm olasılıkları çarp
Toplam Sıralama = (Grup Sıralaması) × (Tarih İçi) × (Ekonomi İçi) × (Sanat İçi) = 6 × 6 × 2 × 1 = 72.
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği bağımsız durumların sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) - Bloklama Yöntemi
Soru 18Soru →

Bir kamu kütüphanesinde çalışan memur, 3 farklı tarih ve 2 farklı coğrafya kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Tarih kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3636

Cevap

Kitaplar toplamda 36 farklı şekilde sıralanabilir.
Tarih kitaplarını tek bir nesne kabul ettiğimizde, elimizde toplam 3 nesne olur ve bunlar 3!=63! = 6 şekilde sıralanır. Ayrıca tarih kitapları da kendi içinde 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirebildiğinden, toplam dizilim sayısı 6×6=366 \times 6 = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tarih kitaplarını 'paketleme' yöntemiyle gruplandırın.
3 tarih kitabı tek bir nesne (paket) gibi düşünülür.
Soruda tarih kitaplarının 'bir arada' olması istendiği için onları ayıramayız.
2
Toplam birim sayısını belirleyip sıralayın.
11 (tarih paketi) + 22 (coğrafya kitabı) = 33 birim. Sıralama: 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6.
Paket ve diğer kitaplar raf üzerinde kendi aralarında yer değiştirebilir.
3
Paket içindeki kitapların kendi aralarındaki sıralamasını hesaplayın.
3 tarih kitabı kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Tarih kitapları kendi içlerinde de yer değiştirdikçe farklı dizilimler oluşur.
4
Çarpma kuralını uygulayarak sonucu bulun.
6×6=366 \times 6 = 36.
Sıralama işlemleri birbirine bağlı olaylar olduğu için sonuçlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyonda 'bir arada olma' (paketleme) yöntemi

İpuçları

1
Bir arada olması istenen nesneleri tek bir 'blok' veya 'paket' olarak düşünün.
2
Şu an elinizde 1 paket (tarihler) ve 2 ayrı coğrafya kitabı var. Toplam kaç birimi sıralamanız gerekiyor?
3
Bulduğunuz bu dış sıralama sonucunu, paket içindeki kitapların kendi aralarındaki 3!3! sıralamasıyla çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer kitaplardan biri rafın başında olmak zorunda olsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hayal ederek; (T T T) C C, C (T T T) C, C C (T T T) gibi 3 ana konum vardır. Her konum için tarihlerin iç sıralaması (3!3!) ve coğrafyaların sıralaması (2!2!) çarpılır: 3×6×2=363 \times 6 \times 2 = 36.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 3000'den büyük ve çift olan dört basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

İstenen şartları sağlayan 96 farklı doğal sayı yazılabilir.
Sayı 3000'den büyük ve çift olmalıdır. Binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} ve birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı her iki kümede de bulunduğu için işlem iki duruma ayrılır:

1. Binler basamağı 3 veya 5 ise:
- Binler: 2 seçenek (3, 5)
- Birler: 3 seçenek (0, 2, 4)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72

2. Binler basamağı 4 ise:
- Binler: 1 seçenek (4)
- Birler: 2 seçenek (0, 2) (4 kullanıldığı için)
- Ara basamaklar: Kalan 4 rakamdan 2'si (4×3=124 \times 3 = 12)
- Toplam: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24

Sonuç olarak toplam 72+24=9672 + 24 = 96 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki kısıtlamaları belirle.
Rakamlar: {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, Sayı: 4 basamaklı, Rakamları farklı, Çift, >3000>3000.
Permütasyon hesabında kullanılacak şartları netleştirmek gerekir.
2
Binler basamağına gelebilecek rakamları belirle.
Sayı 3000'den büyük olacağı için binler basamağı {3,4,5}\{3, 4, 5\} olabilir.
Sayının büyüklük şartı en soldaki basamağı belirler.
3
Birler basamağına gelebilecek rakamları belirle ve çakışma durumunu analiz et.
Sayı çift olacağı için birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} olabilir. 4 rakamı hem binler hem birler basamağı kümelerinde ortaktır.
Kümelerdeki ortak eleman (4), seçme işleminin sonucunu değiştireceği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.
4
Durum 1: Binler basamağı 3 veya 5 (Tek Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (3, 5) için 2 seçenek. Birler basamağı {0,2,4}\{0, 2, 4\} (hiçbiri kullanılmadı) için 3 seçenek. Aradaki 2 basamak için kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Hesap: 2×3×12=722 \times 3 \times 12 = 72.
Başlangıç rakamı tek olduğunda birler basamağındaki çift sayı seçenekleri azalmaz.
5
Durum 2: Binler basamağı 4 (Çift Sayı) ise hesapla.
Binler basamağı (4) için 1 seçenek. Birler basamağı {0,2}\{0, 2\} (4 kullanıldı) için 2 seçenek. Aradaki 2 basamak için yine 4×3=124 \times 3 = 12. Hesap: 1×2×12=241 \times 2 \times 12 = 24.
Başlangıç rakamı çift olduğunda birler basamağı için bir seçenek eksilir.
6
Tüm durumları topla.
72+24=9672 + 24 = 96.
Ayrık durumların (veya olayların) toplamı toplam permütasyon sayısını verir.

Anahtar Kavram

Permütasyon problemlerinde, eğer bir eleman birden fazla kısıtlama kümesinde (hem başta hem sonda) yer alıyorsa, işlemler bu elemanın durumuna göre ayrı ayrı incelenip toplanmalıdır (Toplama Kuralı).

İpuçları

1
Sayının 3000'den büyük olması için binler basamağı hangi rakamlar olabilir? Sayının çift olması için birler basamağı hangileri olabilir?
2
4 rakamı hem binler basamağı kümesinde (büyüklük şartı) hem de birler basamağı kümesinde (çiftlik şartı) yer almaktadır. Bu durumda tek bir çarpma işlemi yapmak yerine durumları ayırmalısın.
3
İki durumu ayrı ayrı topla: 1) Binler basamağının 4 olduğu durum. 2) Binler basamağının 3 veya 5 olduğu durum.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →

Bir kalkınma ajansının teknik heyeti; tarım, sanayi, enerji, çevre, eğitim ve sağlık olmak üzere 66 farklı sektöre ait projeyi aynı gün içerisinde sırasıyla inceleyecektir. Çevre projesinin, enerji projesinden daha önce incelenmesi planlandığına göre, bu 66 projenin inceleme sırası kaç farklı şekilde belirlenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360360

Cevap

İnceleme sırası 360360 farklı şekilde belirlenebilir.
Toplam 66 projenin dizilimi 6!=7206! = 720 farklı şekilde yapılabilir. Herhangi bir dizilimde Çevre (C\cÇ) ve Enerji (EE) projeleri için iki ihtimal vardır: Ya C\cÇ projesi EE'den öncedir ya da EE projesi C\cÇ'den öncedir. Bu iki durumun gerçekleşme sayıları birbirine eşit olduğundan, toplam durumun yarısında istenen şart sağlanır. Bu da 720/2=360720 / 2 = 360 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam proje sayısını ve kısıtsız sıralama durumunu belirleme
6!=7206! = 720
66 farklı projenin herhangi bir kısıtlama olmaksızın kendi aralarındaki tüm dizilimlerinin sayısı 66 faktöriyel ile hesaplanır.
2
Belirli iki proje arasındaki sıralama durumunu analiz etme
22 durum (Önce veya Sonra)
Herhangi bir sıralamada çevre projesi ya enerji projesinden öncedir ya da sonradır. Bu iki durum birbirine simetriktir.
3
Kısıtlı sıralama sayısını hesaplama
7202=360\frac{720}{2} = 360
Tüm durumların tam yarısında çevre projesi enerji projesinden önce yer alacağı için toplam durumu ikiye böleriz.

Anahtar Kavram

Sıralama kısıtı içeren permütasyon problemleri

İpuçları

1
Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi 66 projenin toplam kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplayın.
2
Herhangi bir sıralamada çevre projesinin enerji projesinden önce olma ihtimali ile sonra olma ihtimali eşittir.
3
Toplam sıralama sayısını, iki projenin kendi arasındaki yer değiştirme sayısı olan 2!2! değerine bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer Çevre, Enerji ve Eğitim projelerinin kendi aralarındaki sırası Çevre > Enerji > Eğitim şeklinde sabit olsaydı sonuç ne olurdu? (İpucu: 6!/3!6! / 3!)

Alternatif Yöntem

Genel bir kural olarak, nn tane nesne sıralanırken rr tanesinin kendi aralarındaki sırası belirli ise (örneğin A, B'den önce gelmeli gibi), tüm durumlar bu rr nesnenin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısına (r!r!) bölünür. Burada r=2r=2 (Çevre ve Enerji) olduğu için 6!/2!=720/2=3606! / 2! = 720 / 2 = 360 bulunur.
Tahmini Süre:1m 15s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Permütasyon (Sıralama) Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin