Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki ABCDABCD dörtgeninde [AC][AC] köşegeni çizilmiştir. ∣AB∣=7|AB| = 7 cm, ∣BC∣=11|BC| = 11 cm ve ∣AD∣=5|AD| = 5 cm uzunlukları verilmiştir. m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ ve m(ADC^)<90∘m(\widehat{ADC}) < 90^\circ olduğu bilinmektedir.

∣AC∣|AC| ve ∣DC∣|DC| uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre, ∣DC∣|DC|'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

∣DC∣|DC| uzunluğu 8 farklı tam sayı değeri alabilir.
Çözüm iki aşamalıdır. Önce ABCABC üçgeninde geniş açı ve üçgen eşitsizliği kullanılarak ortak kenar ∣AC∣|AC|'nin alabileceği tam sayı değerleri bulunur ({14,15,16,17}\{14, 15, 16, 17\}). Sonra her bir ∣AC∣|AC| değeri için ADCADC üçgeninde dar açı şartı (b2<52+x2b^2 < 5^2 + x^2) ve üçgen eşitsizliği analiz edilerek ∣DC∣|DC|'nin (xx) alabileceği değerler kümesi oluşturulur. Bu kümelerin birleşimi 14'ten 21'e kadar olan tam sayılardır (8 adet).

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeni için ∣AC∣=b|AC| = b diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygula: ∣11−7∣<b<11+7⇒4<b<18|11-7| < b < 11+7 \Rightarrow 4 < b < 18.
4<b<184 < b < 18
Bir üçgenin kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
2
m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ (geniş açı) şartını uygula: b2>72+112⇒b2>49+121⇒b2>170b^2 > 7^2 + 11^2 \Rightarrow b^2 > 49 + 121 \Rightarrow b^2 > 170.
b>170≈13,03b > \sqrt{170} \approx 13,03
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.
3
∣AC∣|AC| bir tam sayı olduğundan, 1. ve 2. adımdaki şartları sağlayan bb değerlerini belirle.
b∈{14,15,16,17}b \in \{14, 15, 16, 17\}
132=16913^2=169 (küçük), 142=19614^2=196 (uygun). Üst sınır 18 dahil değil.
4
Her bir bb değeri için ADCADC üçgeninde (∣AD∣=5|AD|=5, ∣DC∣=x|DC|=x, ∣AC∣=b|AC|=b) dar açı ve üçgen eşitsizliği şartlarını incele. m(D^)<90∘⇒b2<52+x2⇒x>b2−25m(\widehat{D}) < 90^\circ \Rightarrow b^2 < 5^2 + x^2 \Rightarrow x > \sqrt{b^2-25}.
Analiz başlangıcı
DD açısı dar ise karşısındaki bb kenarının karesi, diğerlerinin kareleri toplamından küçüktür.
5
b=14b=14 için: x>196−25=171≈13,07x > \sqrt{196-25}=\sqrt{171}\approx13,07 ve 9<x<199 < x < 19.
x∈{14,15,16,17,18}x \in \{14, 15, 16, 17, 18\}
xx en az 14 olabilir, üst sınır üçgen eşitsizliğinden (14+514+5) gelir.
6
b=15b=15 için: x>200≈14,1x > \sqrt{200}\approx14,1. 10<x<2010 < x < 20. →x∈{15,16,17,18,19}\rightarrow x \in \{15, 16, 17, 18, 19\}
b=16b=16 için: x>231≈15,2x > \sqrt{231}\approx15,2. 11<x<2111 < x < 21. →x∈{16,17,18,19,20}\rightarrow x \in \{16, 17, 18, 19, 20\}
b=17b=17 için: x>264≈16,2x > \sqrt{264}\approx16,2. 12<x<2212 < x < 22. →x∈{17,18,19,20,21}\rightarrow x \in \{17, 18, 19, 20, 21\}
Tüm kümelerin birleşimi: {14,15,...,21}\{14, 15, ..., 21\}
Her durumdan gelen çözüm kümelerini birleştiriyoruz.
7
Elde edilen farklı tam sayı değerlerini say.
8 değer
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden tam sayı kısıtlamaları ve açı-kenar bağıntılarının (dar/geniş açı) birlikte analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru