Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
2f(x)+f(−x)=3x2+x+62f(x) + f(-x) = 3x^2 + x + 6
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    5
  4. D
    6
  5. E
    10

Cevap

4
Soruda verilen fonksiyonel eşitlikte f(1)f(1) değerini bulmak için xx yerine hem 11 hem de −1-1 yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. İlk denklem 2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 10, ikinci denklem 2f(−1)+f(1)=82f(-1) + f(1) = 8 olur. Bu sistem çözüldüğünde doğru cevap 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren birinci denklemi oluşturun.
2f(1)+f(−1)=3(1)2+1+6⇒2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 3(1)^2 + 1 + 6 \Rightarrow 2f(1) + f(-1) = 10
Fonksiyonun kuralı her x değeri için geçerli olduğundan, istenen değeri bulmak için x=1 kullanılır.
2
Eşitlikte x yerine -1 yazarak f(-1) ve f(1) içeren ikinci bir denklem oluşturun.
2f(−1)+f(1)=3(−1)2+(−1)+6⇒2f(−1)+f(1)=3−1+6=82f(-1) + f(1) = 3(-1)^2 + (-1) + 6 \Rightarrow 2f(-1) + f(1) = 3 - 1 + 6 = 8
Bilinmeyen f(-1) terimini bulmak veya yok etmek için x'in zıt işaretlisi (-1) kullanılır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek f(1) değerini bulun.
1. Denklem: 2f(1)+f(−1)=102f(1) + f(-1) = 10
2. Denklem: f(1)+2f(−1)=8f(1) + 2f(-1) = 8

İkinci denklemi -2 ile çarpıp birinciyle toplayalım:
−2f(1)−4f(−1)=−16-2f(1) - 4f(-1) = -16

Yanlış yok etme yöntemi yerine f(-1)'i çekelim: f(−1)=10−2f(1)f(-1) = 10 - 2f(1).
İkinci denklemde yerine koyalım:
f(1)+2(10−2f(1))=8f(1) + 2(10 - 2f(1)) = 8
f(1)+20−4f(1)=8f(1) + 20 - 4f(1) = 8
−3f(1)=−12⇒f(1)=4-3f(1) = -12 \Rightarrow f(1) = 4
Sistem çözümü ile istenmeyen f(-1) yok edilerek f(1) bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1
Eşitlikte x gördüğünüz yere 1 yazarak f(1) ve f(-1) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.
2
Sadece x=1 yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen f(-1)'i bulmak veya yok etmek için x gördüğünüz yere -1 yazarak ikinci bir denklem daha oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (birinde 2f(1)+f(-1)=10, diğerinde f(1)+2f(-1)=8) bir denklem sistemi gibi düşünün ve yok etme metodunu kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen f(1/x) + 2f(x) = ... tipindeki soruları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

Bu konudan daha fazla soru